Volumen lopte. Kako pronaći volumen lopte: osnovne formule i primjer njihove upotrebe Kako izračunati volumen lopte

Prije nego što počnete proučavati pojam lopte, koliki je volumen lopte, i razmotrite formule za izračunavanje njenih parametara, morate se sjetiti koncepta kruga, proučavanog ranije u kursu geometrije. Uostalom, većina radnji u trodimenzionalnom prostoru je slična ili proizilazi iz dvodimenzionalne geometrije, prilagođene izgledu treće koordinate i trećeg stepena.

Šta je krug?

Krug je lik na kartezijskoj ravni (prikazan na slici 1); najčešće definicija zvuči kao "geometrijska lokacija svih tačaka na ravni, udaljenost od koje do date tačke (centra) ne prelazi određeni nenegativan broj koji se naziva radijus."

Kao što možemo vidjeti sa slike, tačka O je centar figure, a skup apsolutno svih tačaka koje ispunjavaju krug, na primjer, A, B, C, K, E, ne nalaze se dalje od datog polumjera (ne idite dalje od kruga prikazanog na sl. 2).

Ako je radijus nula, tada se krug pretvara u tačku.

Problemi sa razumevanjem

Učenici često brkaju ove koncepte. Lako je zapamtiti pomoću analogije. Obruč koji djeca vrte na časovima fizičkog je krug. Ako ovo razumiju ili zapamtite da su prva slova obje riječi "O", djeca će mnemonički razumjeti razliku.

Uvođenje koncepta "lopte"

Lopta je tijelo (slika 3) omeđeno određenom sfernom površinom. Šta je „sferna površina” postaće jasno iz njene definicije: ovo je geometrijsko mesto svih tačaka na površini, rastojanje od koje do date tačke (centra) ne prelazi određeni nenegativan broj koji se naziva radijus. Kao što vidite, koncepti kruga i sferne površine su slični, samo se prostori u kojima se nalaze razlikuju. Ako prikažemo loptu u dvodimenzionalnom prostoru, dobijamo kružnicu čija je granica kružnica (granica lopte je sferna površina). Na slici vidimo sfernu površinu poluprečnika OA = OB.

Lopta zatvorena i otvorena

U vektorskim i metričkim prostorima razmatraju se i dva koncepta vezana za sfernu površinu. Ako lopta uključuje ovu sferu, onda se zove zatvorena, ali ako ne, onda je lopta otvorena. Ovo su „napredniji“ koncepti; oni se proučavaju u institutima kao dio njihovog uvoda u analizu. Za jednostavnu, čak i svakodnevnu upotrebu, dovoljne su formule koje se izučavaju na kursu stereometrije za 10-11 razred. Upravo o ovim konceptima koji su dostupni gotovo svakoj prosječno obrazovanoj osobi će biti više riječi.

Koncepti koje trebate znati za sljedeće proračune

Radijus i prečnik.

Poluprečnik kugle i njen prečnik određuju se na isti način kao i za krug.

Radijus je segment koji povezuje bilo koju tačku na granici lopte i tačku koja je centar lopte.

Prečnik je segment koji spaja dvije tačke na ivici lopte i prolazi kroz njeno središte. Slika 5a jasno pokazuje koji su segmenti polumjeri lopte, a slika 5b prikazuje prečnike sfere (segmenti koji prolaze kroz tačku O).

Sekcije u sferi (lopta)

Svaki dio sfere je krug. Ako prolazi kroz centar lopte, naziva se veliki krug (krug prečnika AB), a preostali delovi se nazivaju mali krugovi (krug prečnika DC).

Površina ovih krugova se izračunava pomoću sljedećih formula:

Ovdje je S oznaka za površinu, R za polumjer, D za promjer. Postoji i konstanta jednaka 3,14. Ali nemojte se zbuniti da se za izračunavanje površine velikog kruga koristi polumjer ili promjer same lopte (sfere), a za određivanje površine potrebne su dimenzije polumjera malog kruga.

Može se nacrtati beskonačan broj takvih preseka koji prolaze kroz dve tačke istog prečnika koje leže na ivici lopte. Kao primjer, naša planeta: dvije tačke na sjevernom i južnom polu, koje su krajevi Zemljine ose, i u geometrijskom smislu, krajevi prečnika i meridijani koji prolaze kroz ove dvije tačke (slika 7) . To jest, broj velikih krugova na sferi teži beskonačnosti.

Dijelovi lopte

Ako odrežete "komad" od sfere pomoću određene ravni (slika 8), tada će se zvati sferni ili sferni segment. Imat će visinu - okomitu od središta ravnine reza na sfernu površinu O 1 K. Tačka K na sfernoj površini na koju dolazi visina naziva se vrh sfernog segmenta. I mali krug polumjera O 1 T (u ovom slučaju, prema slici, ravnina nije prošla kroz središte sfere, ali ako presjek prolazi kroz centar, tada će kružnica poprečnog presjeka biti veliki), formiran odsijecanjem sfernog segmenta, nazvat će se baza naše kuglice - sferni segment.

Ako svaku osnovnu tačku sfernog segmenta povežemo sa središtem sfere, dobićemo figuru koja se naziva “sferni sektor”.

Ako dvije ravni prolaze kroz sferu i paralelne su jedna s drugom, onda se dio sfere koji je zatvoren između njih naziva sferni sloj (slika 9, na kojoj je prikazana sfera s dvije ravni i zasebnim sfernim slojem).

Površina (naglašeni dio na slici 9 desno) ovog dijela sfere naziva se pojas (opet, radi boljeg razumijevanja, može se povući analogija sa globusom, odnosno sa njegovim klimatskim zonama - arktičkim, tropskim, umjerenim , itd.), a krugovi presjeka će biti sferni sloj baze. Visina sloja je dio promjera povučen okomito na ravni rezanja iz centara baza. Postoji i koncept sferne sfere. Nastaje kada ravni koje su jedna drugoj paralelne ne sijeku sferu, već je dodiruju u jednoj tački.

Formule za izračunavanje zapremine lopte i njene površine

Lopta se formira rotacijom oko fiksnog promjera polukruga ili kruga. Za izračunavanje različitih parametara datog objekta nije potrebno mnogo podataka.

Zapremina sfere, formula za izračunavanje koja je data gore, izvedena je integracijom. Hajde da to shvatimo tačku po tačku.

Razmatramo kružnicu u dvodimenzionalnoj ravni, jer, kao što je gore spomenuto, to je krug koji leži u osnovi konstrukcije lopte. Koristimo samo njen četvrti dio (slika 10).

Uzimamo kružnicu s jediničnim polumjerom i centrom na početku. Jednačina takvog kruga je sljedeća: X 2 + Y 2 = R 2. Odavde izražavamo Y: Y 2 = R 2 - X 2.

Obavezno imajte na umu da je rezultujuća funkcija nenegativna, kontinuirana i opadajuća na segmentu X (0; R), jer vrijednost X u slučaju kada razmatramo četvrtinu kruga leži od nule do vrijednosti radijus, odnosno na jedinstvo.

Sljedeće što radimo je rotiranje naše četvrtine kruga oko x-ose. Kao rezultat, dobijamo hemisferu. Da bismo odredili njegov volumen, pribjegavat ćemo metodama integracije.

Pošto je ovo zapremina samo hemisfere, udvostručimo rezultat, iz čega nalazimo da je zapremina lopte jednaka:

Male nijanse

Ako trebate izračunati zapreminu lopte kroz njen prečnik, zapamtite da je poluprečnik polovina prečnika i zamenite ovu vrednost u gornju formulu.

Formulu za volumen lopte možete doći i kroz područje njene granične površine - sfere. Podsjetimo da se površina sfere izračunava po formuli S = 4πr 2, integrirajući koju dolazimo i do gornje formule za volumen sfere. Iz istih formula možete izraziti radijus ako izraz problema sadrži vrijednost volumena.

WikiHow pažljivo prati rad svojih urednika kako bi osigurao da svaki članak ispunjava naše visoke standarde kvaliteta.

Radijus lopte (označen kao r ili R) je segment koji povezuje centar lopte sa bilo kojom tačkom na njenoj površini. Kao i kod kruga, radijus lopte je važna veličina potrebna za pronalaženje prečnika, obima, površine i/ili zapremine lopte. Ali radijus kugle se može naći i iz date vrijednosti prečnika, obima i druge veličine. Koristite formulu u koju možete zamijeniti ove vrijednosti.

Koraci

Formule za izračunavanje radijusa

Izračunajte radijus iz prečnika. Radijus je jednak polovini prečnika, pa koristite formulu g = D/2. Ovo je ista formula koja se koristi za izračunavanje polumjera i promjera kruga.

• Na primjer, data je lopta prečnika 16 cm. Poluprečnik ove lopte: r = 16/2 = 8 cm. Ako je prečnik 42 cm, onda je poluprečnik 21 cm (42/2=21).

1. Izračunajte polumjer iz obima. Koristite formulu: r = C/2π. Pošto je obim kruga C = πD = 2πr, onda formulu za izračunavanje obima podijelite sa 2π i dobijete formulu za pronalaženje polumjera.

   • Na primjer, data je lopta sa obimom od 20 cm. Poluprečnik ove lopte je: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Ista formula se koristi za izračunavanje polumjera i obima kružnice.

2. Izračunajte poluprečnik iz zapremine sfere. Koristite formulu: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Zapremina lopte se izračunava po formuli V = (4/3)πr 3. Izolirajući r na jednoj strani jednačine, dobijate formulu ((V/π)(3/4)) 3 = r, to jest, da biste izračunali polumjer, podijelite volumen lopte sa π, pomnožite rezultat sa 3/4, i podignite rezultirajući rezultat na stepen 1/3 (ili uzmite kubni korijen).

   • Na primjer, data je lopta zapremine 100 cm 3 . Poluprečnik ove lopte se izračunava na sljedeći način:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 cm= r

3. Izračunajte radijus iz površine. Koristite formulu: g = √(A/(4 π)). Površina lopte izračunava se po formuli A = 4πr 2. Izolovanjem r na jednoj strani jednačine dobijate formulu √(A/(4π)) = r, koja je da izračunate poluprečnik uzimanjem kvadratnog korena površine podeljene sa 4π. Umjesto uzimanja korijena, izraz (A/(4π)) se može podići na stepen 1/2.

   • Na primjer, data je kugla s površinom od 1200 cm 3 . Poluprečnik ove lopte se izračunava na sljedeći način:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 cm= r

   Određivanje osnovnih veličina

   1. Zapamtite osnovne veličine koje su relevantne za izračunavanje polumjera lopte. Radijus lopte je segment koji povezuje centar lopte sa bilo kojom tačkom na njenoj površini. Radijus lopte se može izračunati iz datih vrijednosti prečnika, obima, zapremine ili površine.

      Koristite vrijednosti ovih veličina da pronađete radijus. Radijus se može izračunati iz datih vrijednosti prečnika, obima, zapremine i površine. Štaviše, navedene vrijednosti se mogu pronaći iz date vrijednosti radijusa. Da biste izračunali radijus, jednostavno pretvorite formule da biste pronašli prikazane vrijednosti. Ispod su formule (koje uključuju radijus) za izračunavanje prečnika, obima, zapremine i površine.

   Pronalaženje polumjera na udaljenosti između dvije tačke

   1. Pronađite koordinate (x,y,z) centra lopte. Poluprečnik lopte jednak je udaljenosti između njenog središta i bilo koje tačke koja leži na površini lopte. Ako su poznate koordinate središta lopte i bilo koje točke koja leži na njenoj površini, možete pronaći polumjer lopte pomoću posebne formule izračunavanjem udaljenosti između dvije točke. Prvo pronađite koordinate centra lopte. Imajte na umu da pošto je lopta trodimenzionalna figura, tačka će imati tri koordinate (x, y, z), a ne dve (x, y).

      • Pogledajmo primjer. Zadana je lopta sa koordinatama centra (4,-1,12) . Koristite ove koordinate da pronađete polumjer lopte.

   2. Pronađite koordinate tačke koja leži na površini lopte. Sada moramo pronaći koordinate (x,y,z) bilo koji tačka koja leži na površini lopte. Budući da se sve točke koje leže na površini lopte nalaze na istoj udaljenosti od centra lopte, možete odabrati bilo koju tačku za izračunavanje polumjera lopte.

      • U našem primjeru, pretpostavimo da neka tačka koja leži na površini lopte ima koordinate (3,3,0) . Izračunavanjem udaljenosti između ove tačke i centra lopte, naći ćete radijus.

   3. Izračunajte poluprečnik koristeći formulu d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Nakon što ste saznali koordinate središta lopte i točke koja leži na njegovoj površini, možete pronaći udaljenost između njih, koja je jednaka polumjeru lopte. Udaljenost između dvije tačke se izračunava po formuli d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), gdje je d udaljenost između tačaka , (x 1, y 1 ,z 1) – koordinate centra lopte, (x 2 , y 2 , z 2) – koordinate tačke koja leži na površini lopte.

      • U primjeru koji se razmatra, umjesto (x 1 ,y 1 ,z 1) zamijenite (4,-1,12), a umjesto (x 2,y 2,z 2) zamijenite (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Ovo je željeni polumjer lopte.

   4. Imajte na umu da je u opštim slučajevima r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Sve tačke koje leže na površini lopte nalaze se na istoj udaljenosti od centra lopte. Ako se u formuli za određivanje udaljenosti između dvije tačke "d" zamijeni sa "r", dobićete formulu za izračunavanje polumjera lopte iz poznatih koordinata (x 1,y 1,z 1) centra lopte i koordinate (x 2,y 2,z 2 ) bilo koja tačka koja leži na površini lopte.

      • Kvadrirajte obe strane ove jednačine i dobićete r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Imajte na umu da ova jednačina odgovara jednačini sfere r 2 = x 2 + y 2 + z 2 sa centrom u koordinatama (0,0,0).
   • Ne zaboravite na redoslijed izvođenja matematičkih operacija. Ako se ne sjećate ovog redoslijeda, a vaš kalkulator može raditi sa zagradama, koristite ih.
   • Ovaj članak govori o izračunavanju polumjera lopte. Ali ako imate problema s učenjem geometrije, najbolje je započeti s izračunavanjem količina povezanih s loptom koristeći poznatu vrijednost radijusa.
   • π (Pi) je slovo grčkog alfabeta koje označava konstantu jednaku omjeru prečnika kruga i dužine njegovog obima. Pi je iracionalan broj koji nije zapisan kao omjer realnih brojeva. Postoji mnogo aproksimacija, na primjer, omjer 333/106 će vam omogućiti da pronađete Pi na četiri decimale. Po pravilu koriste približnu vrijednost Pi, koja je 3,14.

U geometriji lopta definira se kao određeno tijelo, koje je skup svih tačaka u prostoru koje se nalaze od centra na udaljenosti ne većoj od date, koja se naziva poluprečnik lopte. Površina lopte naziva se sfera, a sama lopta se formira rotacijom polukruga oko svog prečnika, ostajući nepomična.

Sa ovim geometrijskim tijelom se često susreću dizajneri i arhitekti, koji često moraju izračunati zapreminu sfere. Na primjer, u dizajnu prednjeg ovjesa velike većine modernih automobila koriste se takozvani kuglični zglobovi, u kojima su, kao što možete lako pretpostaviti iz samog naziva, kuglice jedan od glavnih elemenata. Uz njihovu pomoć spojene su glavčine upravljanih kotača i poluga. Koliko će to biti ispravno izračunati njihov obim u velikoj meri zavisi ne samo od trajnosti ovih jedinica i ispravnosti njihovog rada, već i od bezbednosti saobraćaja.

U tehnologiji se široko koriste takvi dijelovi kao što su kuglični ležajevi, uz pomoć kojih se osovine pričvršćuju u fiksne dijelove različitih komponenti i sklopova i osigurava njihova rotacija. Treba napomenuti da prilikom njihovog izračunavanja dizajneri trebaju pronađite zapreminu sfere(tačnije, loptice postavljene u kavez) sa visokim stepenom tačnosti. Što se tiče izrade metalnih kugli za ležaj, one se proizvode od metalne žice složenim procesom koji uključuje faze oblikovanja, kaljenja, grubog brušenja, dorade i čišćenja. Usput, one kuglice koje su uključene u dizajn svih hemijskih olovaka izrađuju se po potpuno istoj tehnologiji.

Vrlo često se kugle koriste u arhitekturi, gdje su najčešće ukrasni elementi zgrada i drugih građevina. U većini slučajeva izrađuju se od granita, što često zahtijeva dosta ručnog rada. Naravno, nije potrebno održavati tako visoku preciznost u proizvodnji ovih lopti kao one koje se koriste u raznim jedinicama i mehanizmima.

Tako zanimljiva i popularna igra kao što je bilijar nezamisliva je bez lopti. Za njihovu proizvodnju koriste se različiti materijali (kost, kamen, metal, plastika) i koriste se različiti tehnološki procesi. Jedan od glavnih zahtjeva za bilijarske kugle je njihova visoka čvrstoća i sposobnost da izdrže velika mehanička opterećenja (prvenstveno udar). Osim toga, njihova površina mora biti tačna sfera kako bi se osiguralo glatko i ravnomjerno kotrljanje po površini biljarskih stolova.

Konačno, nijedna novogodišnja ili božićna jelka ne može bez takvih geometrijskih tijela kao što su kuglice. Ovi ukrasi se u većini slučajeva izrađuju od stakla metodom puhanja, a pri njihovoj izradi najveća pažnja se ne poklanja dimenzijskoj preciznosti, već estetici proizvoda. Tehnološki proces je gotovo potpuno automatiziran, a božićne kuglice se pakuju samo ručno.

Definicija lopte

Lopta je tijelo čije se sve tačke nalaze od date tačke na udaljenosti koja ne prelazi R.

Online kalkulator

Zadata tačka koja se spominje u definiciji lopte naziva se centar ovu loptu. A spomenuta udaljenost je radijus ove lopte.

Lopta, po analogiji s krugom, također ima prečnik D D D, što je dvostruko veće dužine:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

Formula za zapreminu lopte u smislu njenog poluprečnika

Zapremina lopte se izračunava pomoću sljedeće formule:

Formula za zapreminu lopte u smislu radijusa

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R- radijus ove lopte.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Problem 1

Lopta je upisana u kocku, dijagonala d d dšto je jednako 500 cm \sqrt(500)\text( cm.)5 0 0 ​ cm . Pronađite zapreminu lopte.

Rješenje

D = 500 d=\sqrt(500) d =5 0 0 ​

Prvo morate odrediti dužinu stranice kocke. Pretpostavićemo da je jednako aa a. Dakle, dijagonala kocke je jednaka (na osnovu Pitagorine teoreme):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)d =a 2 + a 2 + a 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d =3 ⋅ a 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad =3 ​ ⋅ a

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ a

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))a =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12,9 a\približno 12,9 a ≈1 2 . 9

Ako je lopta upisana u kocku, tada je njen polumjer jednak polovini dužine stranice ove kocke. Kao rezultat imamo:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ​ ⋅ a

R = 1 2 ⋅ 12,9 ≈ 6,4 R=\frac(1)(2)\cdot 12,9\oko 6,4R=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Završna faza je pronalaženje volumena lopte pomoću formule:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097, 5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\približno1097.5\text( cm)^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 cm3

Odgovori

1097,5 cm3. 1097,5\tekst( cm)^3.1 0 9 7 , 5 cm3 .

Formula za zapreminu lopte u smislu njenog prečnika

Zapremina lopte se takođe može naći kroz njen prečnik. Da bismo to učinili, koristimo odnos između polumjera i prečnika lopte:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

R = D 2 R=\frac(D)(2) R=2 D​

Zamijenimo ovaj izraz u formulu za volumen lopte:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ D 3

Zapremina lopte kroz prečnik

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=6 π ​ ⋅ D 3

D D D- prečnik ove lopte.

Problem 2

Prečnik lopte je 15 cm 15\tekst (cm.) 1 5 cm . Pronađite njen volumen.

Rješenje

D=15 D=15 D=1 5

Vrijednost prečnika odmah zamijenite u formulu:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ približno 1766,25\tekst(cm)^3V=6 π ​ ⋅ D 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 cm3

Odgovori

$1766.25\text{cm3 .}$