किसी गोले का आयतन कैसे ज्ञात करें: मूल सूत्र और उनके उपयोग का एक उदाहरण। गोले का आयतन गोले के द्रव्यमान की गणना करें

गेंद की परिभाषा

गेंदएक पिंड है जिसके सभी बिंदु किसी दिए गए बिंदु से R से अधिक दूरी पर स्थित नहीं हैं।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

गेंद की परिभाषा में निर्दिष्ट बिंदु को कहा जाता है केंद्रयह गेंद. और बताई गई दूरी है RADIUSइस गेंद का.

वृत्त के अनुरूप एक गेंद का भी एक व्यास होता है डी डी डी, जो लंबाई में त्रिज्या का दोगुना है:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R डी=2 ⋅ आर

किसी गेंद के आयतन का उसकी त्रिज्या के संदर्भ में सूत्र

गेंद के आयतन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

त्रिज्या के संदर्भ में गेंद के आयतन का सूत्र

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3वी=3 4 ​ ⋅ π ⋅ आर 3

आर आर आर- इस गेंद की त्रिज्या.

आइए कुछ उदाहरण देखें.

समस्या 1

एक गेंद एक घन में विकर्ण अंकित है डी डी डीजो के बराबर है 500 सेमी. \sqrt(500)\text( सेमी.)5 0 0 ​ सेमी ।गेंद का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान

डी = 500 d=\sqrt(500) डी =5 0 0 ​

सबसे पहले आपको घन के किनारे की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता है। हम मान लेंगे कि यह बराबर है एक ए ए. इसलिए, घन का विकर्ण बराबर है (पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)डी =ए 2 + ए 2 + ए 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)डी =3 ⋅ ए 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot aडी =3 ​ ⋅ ए

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ ए

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))ए =3 5 0 0 ​ ​

ए ≈ 12.9 ए\लगभग12.9 ए ≈1 2 . 9

यदि किसी घन में एक गेंद अंकित हो तो उसकी त्रिज्या इस घन की भुजा की आधी लंबाई के बराबर होती है। परिणामस्वरूप हमारे पास है:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aआर=2 1 ​ ⋅ ए

आर = 1 2 ⋅ 12.9 ≈ 6.4 आर=\frac(1)(2)\cdot 12.9\लगभग6.4आर=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

अंतिम चरण सूत्र का उपयोग करके गेंद का आयतन ज्ञात करना है:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097, 5 सेमी 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\लगभग1097.5\text( सेमी)^3वी=3 4 ​ ⋅ π ⋅ आर 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 सेमी3

उत्तर

1097.5 सेमी3. 1097.5\पाठ( सेमी)^3.1 0 9 7 , 5 सेमी3 .

किसी गेंद के व्यास के संदर्भ में उसके आयतन का सूत्र

किसी गेंद का आयतन उसके व्यास से भी ज्ञात किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम गेंद की त्रिज्या और व्यास के बीच संबंध का उपयोग करते हैं:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R डी=2 ⋅ आर

आर = डी 2 आर=\frac(D)(2) आर=2 डी​

आइए इस अभिव्यक्ति को गेंद के आयतन के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3वी=3 4 ​ ⋅ π ⋅ आर 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 डी​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ डी 3

व्यास के माध्यम से एक गेंद का आयतन

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3वी=6 π ​ ⋅ डी 3

डी डी डी- इस गेंद का व्यास.

समस्या 2

गेंद का व्यास है 15 सेमी. 15\पाठ( सेमी.) 1 5 सेमी ।इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान

डी=15 डी=15 डी=1 5

व्यास मान को तुरंत सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766.25 सेमी 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ लगभग1766.25\पाठ( सेमी)^3वी=6 π ​ ⋅ डी 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 सेमी3

उत्तर

$1766.25\text{सेमी3 .}$

कई पिंड जो हमें जीवन में मिलते हैं या जिनके बारे में हमने सुना है उनका आकार गोलाकार होता है, जैसे सॉकर बॉल, बारिश के दौरान पानी की गिरती बूंद या हमारा ग्रह। इस संबंध में, इस प्रश्न पर विचार करना प्रासंगिक है कि किसी गोले का आयतन कैसे ज्ञात किया जाए।

ज्यामिति में गेंद की आकृति

गेंद के बारे में प्रश्न का उत्तर देने से पहले आइए इस पिंड पर करीब से नज़र डालें। कुछ लोग इसे गोला समझ लेते हैं। बाह्य रूप से, वे वास्तव में समान हैं, लेकिन एक गेंद अंदर भरी हुई एक वस्तु है, जबकि एक गोला केवल अनंत मोटाई की गेंद का बाहरी आवरण है।

ज्यामिति के दृष्टिकोण से, एक गेंद को बिंदुओं के संग्रह द्वारा दर्शाया जा सकता है, और उनमें से जो इसकी सतह पर स्थित हैं (वे एक गोला बनाते हैं) आकृति के केंद्र से समान दूरी पर हैं। इस दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। वास्तव में, त्रिज्या ही एकमात्र पैरामीटर है जिसका उपयोग किसी गेंद के किसी भी गुण, जैसे उसका सतह क्षेत्र या आयतन, का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

नीचे दी गई तस्वीर एक गेंद का उदाहरण दिखाती है।

यदि आप इस पूर्ण गोल वस्तु को ध्यान से देखें, तो आप अनुमान लगा सकते हैं कि इसे एक साधारण वृत्त से कैसे प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, इस सपाट आकृति को उस अक्ष के चारों ओर घुमाना पर्याप्त है जो इसके व्यास से मेल खाता है।

प्रसिद्ध प्राचीन साहित्यिक स्रोतों में से एक, जो इस त्रि-आयामी आकृति के गुणों पर पर्याप्त विस्तार से चर्चा करता है, ग्रीक दार्शनिक यूक्लिड का काम है - "तत्व"।

सतह क्षेत्र और आयतन

किसी गेंद का आयतन कैसे ज्ञात किया जाए, इस प्रश्न पर विचार करते समय, इस मान के अतिरिक्त, इसके क्षेत्रफल का एक सूत्र दिया जाना चाहिए, क्योंकि दोनों अभिव्यक्तियाँ एक-दूसरे से संबंधित हो सकती हैं, जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा।

इसलिए, एक गेंद के आयतन की गणना करने के लिए, आपको निम्नलिखित दो सूत्रों में से एक को लागू करना चाहिए:

• वी = 4/3 *पीआई * आर3;
• वी = 67/16 * आर3.

यहाँ R आकृति की त्रिज्या है। दिया गया पहला सूत्र सटीक है, लेकिन इसका लाभ उठाने के लिए, आपको पाई के लिए उचित दशमलव स्थानों की संख्या का उपयोग करना होगा। दूसरी अभिव्यक्ति काफी अच्छा परिणाम देती है, पहली से केवल 0.03% भिन्न है। कई व्यावहारिक कार्यों के लिए, यह सटीकता पर्याप्त से अधिक है।

एक गोले के लिए यह मान बराबर है, अर्थात सूत्र S = 4 * pi * R2 द्वारा व्यक्त किया गया है। यदि हम यहां से त्रिज्या व्यक्त करते हैं और फिर इसे आयतन के लिए पहले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi) )).

इस प्रकार, हमने इस प्रश्न की जांच की कि त्रिज्या और उसके सतह क्षेत्र के माध्यम से एक गेंद का आयतन कैसे ज्ञात किया जाए। इन अभिव्यक्तियों को व्यवहार में सफलतापूर्वक लागू किया जा सकता है। लेख में बाद में हम उनके उपयोग का एक उदाहरण देंगे।

वर्षाबूंद की समस्या

भारहीनता की स्थिति में पानी एक गोलाकार बूंद का रूप ले लेता है। यह सतह तनाव बलों की उपस्थिति के कारण होता है, जो सतह क्षेत्र को कम कर देता है। बदले में, गेंद का मूल्य समान द्रव्यमान वाले सभी ज्यामितीय आकृतियों में सबसे कम होता है।

बारिश के दौरान पानी की गिरती बूंद भारहीनता में होती है, इसलिए उसका आकार गोलाकार होता है (यहां हम वायु प्रतिरोध के बल की उपेक्षा करते हैं)। इस बूंद का आयतन, सतह क्षेत्र और त्रिज्या निर्धारित करना आवश्यक है यदि यह ज्ञात हो कि इसका द्रव्यमान 0.05 ग्राम है।

आयतन निर्धारित करना आसान है; ऐसा करने के लिए, ज्ञात द्रव्यमान को H 2 O (ρ = 1 g/cm 3) के घनत्व से विभाजित करें। तब V = 0.05/1 = 0.05 सेमी 3.

गेंद का आयतन कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए, हमें सूत्र से त्रिज्या व्यक्त करनी चाहिए और परिणामी मान को प्रतिस्थापित करना चाहिए, हमारे पास है: आर = ∛ (3 * वी / (4 * पीआई)) = ∛ (3 * 0.05 / (4) *3.1416)) = 0.2285 सेमी.

अब हम आकृति के सतह क्षेत्र के लिए अभिव्यक्ति में त्रिज्या मान को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: एस = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 सेमी 2।

इस प्रकार, एक गेंद का आयतन कैसे ज्ञात किया जाए, यह जानने के बाद, हमें समस्या के सभी प्रश्नों के उत्तर प्राप्त हुए: आर = 2.285 मिमी, एस = 0.6561 सेमी 2 और वी = 0.05 सेमी 3।

ज्यामिति में गेंदइसे एक निश्चित पिंड के रूप में परिभाषित किया गया है, जो अंतरिक्ष में उन सभी बिंदुओं का एक संग्रह है जो केंद्र से दी गई दूरी से अधिक दूरी पर स्थित नहीं हैं, जिसे गेंद की त्रिज्या कहा जाता है। गेंद की सतह को गोला कहा जाता है, और गेंद स्वयं अपने व्यास के चारों ओर एक अर्धवृत्त घुमाकर, स्थिर रहकर बनाई जाती है।

इस ज्यामितीय निकाय का सामना अक्सर डिज़ाइन इंजीनियरों और वास्तुकारों को करना पड़ता है एक गोले के आयतन की गणना करें. उदाहरण के लिए, अधिकांश आधुनिक कारों के फ्रंट सस्पेंशन के डिज़ाइन में, तथाकथित बॉल जॉइंट्स का उपयोग किया जाता है, जिसमें, जैसा कि आप नाम से ही आसानी से अनुमान लगा सकते हैं, गेंदें मुख्य तत्वों में से एक हैं। उनकी मदद से स्टीयरिंग व्हील और लीवर के हब जुड़े हुए हैं। यह कितना सही होगा इस पर गणनाउनकी मात्रा काफी हद तक न केवल इन इकाइयों के स्थायित्व और उनके संचालन की शुद्धता पर निर्भर करती है, बल्कि यातायात सुरक्षा पर भी निर्भर करती है।

प्रौद्योगिकी में बॉल बेयरिंग जैसे भागों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिनकी सहायता से विभिन्न घटकों और असेंबलियों के निश्चित भागों में कुल्हाड़ियों को बांधा जाता है और उनका घुमाव सुनिश्चित किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उनकी गणना करते समय डिजाइनरों को इसकी आवश्यकता होती है गोले का आयतन ज्ञात कीजिए(या बल्कि, पिंजरे में रखी गेंदें) उच्च स्तर की सटीकता के साथ। जहां तक ​​धातु असर वाली गेंदों के निर्माण की बात है, तो इन्हें एक जटिल प्रक्रिया का उपयोग करके धातु के तार से बनाया जाता है जिसमें बनाने, सख्त करने, खुरदरा पीसने, परिष्करण और सफाई के चरण शामिल होते हैं। वैसे, वे गेंदें जो सभी बॉलपॉइंट पेन के डिज़ाइन में शामिल हैं, बिल्कुल उसी तकनीक का उपयोग करके बनाई गई हैं।

अक्सर, गेंदों का उपयोग वास्तुकला में किया जाता है, जहां वे अक्सर इमारतों और अन्य संरचनाओं के सजावटी तत्व होते हैं। ज्यादातर मामलों में, वे ग्रेनाइट से बने होते हैं, जिसके लिए अक्सर बहुत अधिक शारीरिक श्रम की आवश्यकता होती है। बेशक, इन गेंदों के निर्माण में इतनी उच्च परिशुद्धता बनाए रखना आवश्यक नहीं है जितना कि विभिन्न इकाइयों और तंत्रों में उपयोग किया जाता है।

बिलियर्ड्स जैसा दिलचस्प और लोकप्रिय खेल गेंदों के बिना अकल्पनीय है। उनके उत्पादन के लिए, विभिन्न सामग्रियों का उपयोग किया जाता है (हड्डी, पत्थर, धातु, प्लास्टिक) और विभिन्न तकनीकी प्रक्रियाओं का उपयोग किया जाता है। बिलियर्ड गेंदों के लिए मुख्य आवश्यकताओं में से एक उनकी उच्च शक्ति और उच्च यांत्रिक भार (मुख्य रूप से झटका) का सामना करने की क्षमता है। इसके अलावा, पूल टेबल की सतह पर चिकनी और समान रोलिंग सुनिश्चित करने के लिए उनकी सतह एक सटीक गोलाकार होनी चाहिए।

अंत में, एक भी नया साल या क्रिसमस का पेड़ गेंदों जैसे ज्यामितीय निकायों के बिना पूरा नहीं हो सकता। ये सजावट ज्यादातर मामलों में उड़ाने की विधि का उपयोग करके कांच से बनाई जाती है, और उनके उत्पादन में सबसे बड़ा ध्यान आयामी सटीकता पर नहीं, बल्कि उत्पादों के सौंदर्यशास्त्र पर दिया जाता है। तकनीकी प्रक्रिया लगभग पूरी तरह से स्वचालित है और क्रिसमस गेंदों को केवल मैन्युअल रूप से पैक किया जाता है।

इससे पहले कि आप एक गेंद की अवधारणा का अध्ययन करना शुरू करें, एक गेंद का आयतन क्या है, और इसके मापदंडों की गणना के लिए सूत्रों पर विचार करें, आपको एक वृत्त की अवधारणा को याद रखना होगा, जिसका अध्ययन पहले ज्यामिति पाठ्यक्रम में किया गया था। आख़िरकार, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अधिकांश क्रियाएं द्वि-आयामी ज्यामिति के समान होती हैं या उसका अनुसरण करती हैं, जिन्हें तीसरे समन्वय और तीसरी डिग्री की उपस्थिति के लिए समायोजित किया जाता है।

वृत्त क्या है?

एक वृत्त कार्तीय तल पर एक आकृति है (चित्र 1 में दिखाया गया है); अक्सर परिभाषा ऐसी लगती है जैसे "समतल पर सभी बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति, जिससे किसी दिए गए बिंदु (केंद्र) की दूरी एक निश्चित गैर-नकारात्मक संख्या से अधिक नहीं होती है जिसे त्रिज्या कहा जाता है।"

जैसा कि हम चित्र से देख सकते हैं, बिंदु O चित्र का केंद्र है, और वृत्त को भरने वाले सभी बिंदुओं का समूह, उदाहरण के लिए, A, B, C, K, E, दिए गए त्रिज्या से आगे स्थित नहीं हैं (चित्र 2 में दिखाए गए वृत्त से आगे न जाएं)।

यदि त्रिज्या शून्य है, तो वृत्त एक बिंदु में बदल जाता है।

समझने में समस्या

छात्र अक्सर इन अवधारणाओं को भ्रमित करते हैं। इसे सादृश्य से याद रखना आसान है। शारीरिक शिक्षा पाठों में बच्चे जिस घेरा को घुमाते हैं वह एक वृत्त है। इसे समझने से या यह याद रखने से कि दोनों शब्दों के पहले अक्षर "ओ" हैं, बच्चे स्मरणीय रूप से अंतर को समझेंगे।

"गेंद" की अवधारणा का परिचय

गेंद एक पिंड है (चित्र 3) जो एक निश्चित गोलाकार सतह से घिरा होता है। यह किस प्रकार की "गोलाकार सतह" है यह इसकी परिभाषा से स्पष्ट हो जाएगा: यह सतह पर सभी बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है, जिससे किसी दिए गए बिंदु (केंद्र) की दूरी एक निश्चित गैर-नकारात्मक संख्या से अधिक नहीं होती है जिसे कहा जाता है त्रिज्या. जैसा कि आप देख सकते हैं, एक वृत्त और एक गोलाकार सतह की अवधारणाएँ समान हैं, केवल वे स्थान जिनमें वे स्थित हैं, भिन्न हैं। यदि हम एक गेंद को द्वि-आयामी अंतरिक्ष में चित्रित करते हैं, तो हमें एक वृत्त मिलता है जिसकी सीमा एक वृत्त है (गेंद की सीमा एक गोलाकार सतह है)। चित्र में हम त्रिज्या OA = OB वाली एक गोलाकार सतह देखते हैं।

गेंद बंद और खुली

वेक्टर और मीट्रिक स्थानों में, गोलाकार सतह से संबंधित दो अवधारणाओं पर भी विचार किया जाता है। यदि गेंद में यह गोला शामिल है, तो इसे बंद कहा जाता है, लेकिन यदि नहीं, तो गेंद खुली है। ये अधिक "उन्नत" अवधारणाएँ हैं; इनका विश्लेषण के परिचय के भाग के रूप में संस्थानों में अध्ययन किया जाता है। सरल, यहां तक ​​कि रोजमर्रा के उपयोग के लिए, ग्रेड 10-11 के लिए स्टीरियोमेट्री पाठ्यक्रम में अध्ययन किए गए सूत्र पर्याप्त होंगे। ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जो लगभग हर औसत शिक्षित व्यक्ति के लिए सुलभ हैं जिन पर आगे चर्चा की जाएगी।

निम्नलिखित गणनाओं के लिए आपको जिन अवधारणाओं को जानने की आवश्यकता है

त्रिज्या और व्यास.

एक गेंद की त्रिज्या और उसका व्यास उसी तरह निर्धारित किया जाता है जैसे एक वृत्त के लिए।

त्रिज्या गेंद की सीमा पर किसी बिंदु और गेंद के केंद्र बिंदु को जोड़ने वाला एक खंड है।

व्यास एक गेंद की सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला और उसके केंद्र से गुजरने वाला एक खंड है। चित्र 5ए स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि कौन से खंड गेंद की त्रिज्या हैं, और चित्र 5बी गोले के व्यास (बिंदु ओ से गुजरने वाले खंड) को दर्शाता है।

एक गोले में अनुभाग (गेंद)

गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है। यदि यह गेंद के केंद्र से होकर गुजरती है, तो इसे एक बड़ा वृत्त (व्यास AB वाला वृत्त) कहा जाता है, शेष खंडों को छोटे वृत्त (व्यास DC वाला वृत्त) कहा जाता है।

इन वृत्तों के क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

यहां S क्षेत्रफल के लिए, R त्रिज्या के लिए, D व्यास के लिए पदनाम है। 3.14 के बराबर एक स्थिरांक भी है। लेकिन इस बात से भ्रमित न हों कि किसी बड़े वृत्त का क्षेत्रफल निकालने के लिए गेंद (गोले) की त्रिज्या या व्यास का ही उपयोग किया जाता है और क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए छोटे वृत्त की त्रिज्या के आयामों की आवश्यकता होती है।

गेंद की सीमा पर स्थित एक ही व्यास के दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाले ऐसे खंडों की अनंत संख्या खींची जा सकती है। एक उदाहरण के रूप में, हमारा ग्रह: उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर दो बिंदु, जो पृथ्वी की धुरी के छोर हैं, और एक ज्यामितीय अर्थ में, व्यास के छोर, और इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली मेरिडियन (चित्रा 7) . अर्थात्, एक गोले पर बड़े वृत्तों की संख्या अनंत हो जाती है।

गेंद के हिस्से

यदि आप एक निश्चित तल (चित्र 8) का उपयोग करके गोले से एक "टुकड़ा" काटते हैं, तो इसे गोलाकार या गोलाकार खंड कहा जाएगा। इसकी ऊंचाई होगी - काटने वाले तल के केंद्र से गोलाकार सतह O 1 K तक लंबवत। गोलाकार सतह पर बिंदु K जिस पर ऊंचाई आती है उसे गोलाकार खंड का शीर्ष कहा जाता है। और O 1 T की त्रिज्या वाला एक छोटा वृत्त (इस मामले में, चित्र के अनुसार, विमान गोले के केंद्र से नहीं गुजरा, लेकिन यदि अनुभाग केंद्र से होकर गुजरता है, तो क्रॉस-सेक्शन वृत्त होगा) बड़ा), गोलाकार खंड को काटने से बना, हमारे टुकड़े की गेंद का आधार कहा जाएगा - गोलाकार खंड।

यदि हम गोलाकार खंड के प्रत्येक आधार बिंदु को गोले के केंद्र से जोड़ते हैं, तो हमें एक आकृति प्राप्त होती है जिसे "गोलाकार क्षेत्र" कहा जाता है।

यदि दो तल एक गोले से होकर गुजरते हैं और एक दूसरे के समानांतर हैं, तो गोले का वह भाग जो उनके बीच घिरा होता है, गोलाकार परत कहलाता है (चित्र 9, जो दो विमानों और एक अलग गोलाकार परत वाले एक गोले को दर्शाता है)।

गोले के इस भाग की सतह (दाईं ओर चित्र 9 में हाइलाइट किया गया भाग) को बेल्ट कहा जाता है (फिर से, बेहतर समझ के लिए, ग्लोब के साथ एक सादृश्य खींचा जा सकता है, अर्थात् इसके जलवायु क्षेत्रों के साथ - आर्कटिक, उष्णकटिबंधीय, समशीतोष्ण , आदि), और अनुभाग वृत्त आधार की गोलाकार परत होंगे। परत की ऊंचाई आधारों के केंद्रों से काटने वाले विमानों के लंबवत खींचे गए व्यास का हिस्सा है। गोलाकार गोले की अवधारणा भी है। इसका निर्माण तब होता है जब एक-दूसरे के समानांतर स्थित विमान गोले को काटते नहीं हैं, बल्कि उसे एक-एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं।

गेंद के आयतन और उसके सतह क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र

गेंद किसी अर्धवृत्त या वृत्त के निश्चित व्यास के चारों ओर घूमने से बनती है। किसी दिए गए ऑब्जेक्ट के विभिन्न मापदंडों की गणना करने के लिए अधिक डेटा की आवश्यकता नहीं होती है।

एक गोले का आयतन, जिसकी गणना का सूत्र ऊपर दिया गया है, एकीकरण के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। आइए इसे बिंदुवार समझें।

हम एक द्वि-आयामी विमान में एक वृत्त पर विचार करते हैं, क्योंकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह वह वृत्त है जो गेंद के निर्माण का आधार है। हम केवल इसके चौथे भाग का उपयोग करते हैं (चित्र 10)।

हम इकाई त्रिज्या और मूल बिंदु पर केंद्र वाला एक वृत्त लेते हैं। ऐसे वृत्त का समीकरण इस प्रकार है: X 2 + Y 2 = R 2. हम यहाँ से Y को व्यक्त करते हैं: Y 2 = R 2 - X 2.

यह ध्यान रखना सुनिश्चित करें कि परिणामी फ़ंक्शन गैर-नकारात्मक, निरंतर और खंड त्रिज्या, यानी एकता के लिए।

अगली चीज़ जो हम करते हैं वह है अपने चतुर्थ वृत्त को x-अक्ष के चारों ओर घुमाना। परिणामस्वरूप, हमें एक गोलार्ध प्राप्त होता है। इसकी मात्रा निर्धारित करने के लिए, हम एकीकरण विधियों का सहारा लेंगे।

चूँकि यह केवल एक गोलार्ध का आयतन है, हम परिणाम को दोगुना करते हैं, जिससे हम पाते हैं कि गेंद का आयतन बराबर है:

छोटी-छोटी बारीकियाँ

यदि आपको किसी गेंद के व्यास के माध्यम से उसके आयतन की गणना करने की आवश्यकता है, तो याद रखें कि त्रिज्या व्यास का आधा है, और इस मान को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

आप किसी गेंद के आयतन के सूत्र तक उसकी सीमावर्ती सतह - गोले के माध्यम से भी पहुँच सकते हैं। आइए याद करें कि एक गोले के क्षेत्रफल की गणना सूत्र S = 4πr 2 द्वारा की जाती है, जिसे एकीकृत करके हम एक गोले के आयतन के लिए उपरोक्त सूत्र पर भी पहुंचते हैं। यदि समस्या कथन में आयतन मान है तो उन्हीं सूत्रों से आप त्रिज्या व्यक्त कर सकते हैं।