Modelos matemáticos estadísticos probabilísticos. Modelado estadístico

Modelado estadístico

un método numérico para resolver problemas matemáticos, en el que las cantidades requeridas están representadas por las características probabilísticas de algún fenómeno aleatorio, se modela este fenómeno, después de lo cual las características necesarias se determinan aproximadamente mediante el procesamiento estadístico de las "observaciones" del modelo. Por ejemplo, es necesario calcular los flujos de calor en una placa de metal delgada calentada, cuyos bordes se mantienen a temperatura cero. La distribución del calor se describe mediante la misma ecuación que la dispersión de una mancha de pintura en una capa de líquido (ver Conductividad térmica, Difusión). Por lo tanto, simulan el movimiento plano browniano de las partículas de “pintura” en la placa, monitoreando sus posiciones en momentos kτ, k= 0, 1, 2,... Se supone aproximadamente que en un pequeño intervalo τ la partícula se mueve un paso h igualmente probable en todas direcciones. Cada vez la dirección se elige al azar, independientemente de todo lo anterior. La relación entre τ y h determinado por el coeficiente de conductividad térmica. El movimiento comienza en la fuente de calor y termina cuando se llega por primera vez al borde (se observa que la “pintura” se pega al borde). El flujo de calor Q (C) a través de la sección C del límite se mide por la cantidad de pintura adherida. Con cantidad total norte partículas según la ley de los grandes números dicha estimación da un error relativo aleatorio de orden h debido a la discreción del modelo elegido).

El valor deseado está representado por la expectativa matemática (Ver Expectativa matemática) de una función numérica F del resultado aleatorio ω del fenómeno: , es decir, una integral sobre la medida de probabilidad P (ver Medida de un conjunto). Para evaluar , donde ω 1 ,..., ω N -los resultados simulados pueden verse como una fórmula de cuadratura para la integral indicada con nodos aleatorios ω k y error aleatorio R Generalmente se acepta N , considerar un error grande como insignificante; Dispersión df se puede evaluar mediante observaciones (ver Teoría del error).

En el ejemplo anterior F(ω)= 1 , cuando la trayectoria termina en C; de lo contrario F(ω) = 0. Variación

La realización de cada “experimento” se divide en dos partes: el “sorteo” de un resultado aleatorio ω y el posterior cálculo de la función F(ω). Cuando el espacio de todos los resultados y la medida de probabilidad P son demasiado complejos, el sorteo se realiza secuencialmente en varias etapas (ver ejemplo). La selección aleatoria en cada etapa se lleva a cabo utilizando números aleatorios, por ejemplo generados por algún sensor físico; También se utiliza su imitación aritmética: números pseudoaleatorios (ver Números aleatorios y pseudoaleatorios). Se utilizan procedimientos de selección aleatoria similares en estadística matemática y teoría de juegos.

SM se usa ampliamente para resolver ecuaciones integrales en una computadora, por ejemplo, en el estudio de sistemas grandes (ver Sistema grande). Son convenientes por su versatilidad, por regla general, no requieren mucha memoria. La desventaja son los grandes errores aleatorios, que disminuyen demasiado lentamente a medida que aumenta el número de experimentos. Por tanto, se han desarrollado métodos de transformación de modelos que permiten reducir la dispersión de los valores observados y el volumen del experimento del modelo.

Iluminado.: Método de pruebas estadísticas (método de Montecarlo), M., 1962; Ermakov S. M., Método de Montecarlo y cuestiones relacionadas, M., 1971.

N. N. Chentsov.

Gran enciclopedia soviética. - M.: Enciclopedia soviética. 1969-1978 .

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Libros

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Los supuestos incorporados en el modelado estadístico describen un conjunto de distribuciones de probabilidad, algunas de las cuales se supone que se aproximan adecuadamente a la distribución. De la definición, se selecciona un conjunto de datos específico. Las distribuciones de probabilidad inherentes al modelado estadístico son las que distinguen a los modelos estadísticos de otros modelos matemáticos no estadísticos.

Conexión con las matemáticas

Este método científico tiene sus raíces principalmente en las matemáticas. El modelado estadístico de sistemas generalmente se especifica mediante ecuaciones matemáticas que relacionan una o más variables aleatorias y posiblemente otras variables no aleatorias. Por tanto, un modelo estadístico es “una representación formal de una teoría” (Herman Ader, citando a Kenneth Bollen).

Todas las pruebas de hipótesis estadísticas y todas las estimaciones estadísticas se derivan de modelos estadísticos. De manera más general, los modelos estadísticos son parte de la base de la inferencia estadística.

Métodos de modelado estadístico.

De manera informal, se puede considerar un modelo estadístico como un supuesto estadístico (o un conjunto de supuestos estadísticos) con una determinada propiedad: este supuesto nos permite calcular la probabilidad de cualquier evento. Como ejemplo, consideremos un par de dados normales de seis caras. Estudiaremos dos supuestos estadísticos diferentes sobre los dados.

El primer supuesto estadístico constituye un modelo estadístico porque con un solo supuesto podemos calcular la probabilidad de cualquier evento. Un supuesto estadístico alternativo no constituye un modelo estadístico porque con un solo supuesto no podemos calcular la probabilidad de cada evento.

En el ejemplo anterior, con el primer supuesto, calcular la probabilidad de un evento es fácil. Sin embargo, en algunos otros ejemplos, el cálculo puede resultar difícil o incluso poco práctico (por ejemplo, puede requerir millones de años de cálculos). Para el supuesto que conforma el modelo estadístico, esta dificultad es aceptable: realizar el cálculo no tiene por qué ser práctico, sólo teóricamente posible.

Ejemplos de modelos

Supongamos que tenemos una población de escolares con niños distribuidos uniformemente por edades. La altura de un niño estará relacionada estocásticamente con la edad: por ejemplo, cuando sabemos que un niño tiene 7 años, esto afecta la probabilidad de que mida 5 pies (aproximadamente 152 cm). Podríamos formalizar esta relación en un modelo de regresión lineal, por ejemplo: altura = b0 + b1agei + εi, donde b0 es el intercepto, b1 es el parámetro por el cual se multiplica la edad para obtener la predicción de la altura, εi es el término de error. Esto implica que la altura se predice por edad con cierto error.

Un modelo válido debe ajustarse a todos los puntos de datos. Entonces, una línea recta (alturai = b0 + b1agei) no puede ser una ecuación para un modelo de datos, a menos que se ajuste exactamente a todos los puntos de datos, es decir, todos los puntos de datos se encuentran perfectamente en la línea. El término de error εi debe incluirse en la ecuación para que el modelo se ajuste a todos los puntos de datos.

Para hacer inferencias estadísticas, primero debemos asumir algunas distribuciones de probabilidad para εi. Por ejemplo, podemos suponer que las distribuciones de εi son gaussianas, con media cero. En este caso, el modelo tendrá 3 parámetros: b0, b1 y la varianza de la distribución gaussiana.

descripción general

Esta es una clase especial de modelo matemático. Lo que diferencia a un modelo estadístico de otros modelos matemáticos es que no es determinista. Se utiliza para modelar datos estadísticos. Así, en un modelo estadístico definido por ecuaciones matemáticas, algunas variables no tienen valores específicos, sino que tienen distribuciones de probabilidad; es decir, algunas variables son estocásticas. En el ejemplo anterior, ε es una variable estocástica; sin esta variable el modelo sería determinista.

Los modelos estadísticos se utilizan a menudo en análisis y modelado estadístico, incluso cuando el proceso físico que se modela es determinista. Por ejemplo, lanzar una moneda al aire es, en principio, un proceso determinista; sin embargo, normalmente se modela como estocástico (mediante el proceso de Bernoulli).

Modelos paramétricos

Son los modelos estadísticos más utilizados. Con respecto a los modelos semiparamétricos y no paramétricos, Sir David Cox dijo: "Generalmente incluyen menos suposiciones sobre la estructura y forma de la distribución, pero generalmente contienen suposiciones sólidas sobre la independencia". Como todos los demás modelos mencionados, también se utilizan a menudo en el método estadístico de modelización matemática.

Modelos multinivel

Los modelos multinivel (también conocidos como modelos lineales jerárquicos, modelos de datos anidados, modelos mixtos, coeficientes aleatorios, modelos de efectos aleatorios, modelos de parámetros aleatorios o modelos particionados) son modelos estadísticos de parámetros que varían en más de un nivel. Un ejemplo sería un modelo de desempeño estudiantil que contenga medidas para estudiantes individuales así como medidas para las aulas en las que se agrupan los estudiantes. Estos modelos pueden considerarse como generalizaciones de modelos lineales (en particular, de regresión lineal), aunque también pueden extenderse a modelos no lineales. Estos modelos se hicieron mucho más populares una vez que estuvo disponible suficiente potencia informática y software.

Los modelos multinivel son especialmente adecuados para proyectos de investigación donde los datos de los participantes están organizados en más de un nivel (es decir, datos anidados). Las unidades de análisis suelen ser individuos (en un nivel inferior) que están anidados dentro de unidades contextuales/agregadas (en un nivel superior). Si bien el nivel más bajo de datos en los modelos multinivel suele ser individual, también se pueden considerar medidas repetidas de individuos. Por lo tanto, los modelos multinivel proporcionan un tipo alternativo de análisis para análisis de medidas repetidas univariados o multivariados. Se pueden considerar diferencias individuales en las curvas de crecimiento. Además, se pueden utilizar modelos multinivel como alternativa a ANCOVA, donde las puntuaciones de la variable dependiente se ajustan según las covariables (p. ej., diferencias individuales) antes de probar las diferencias de tratamiento. Los modelos multinivel pueden analizar estos experimentos sin el supuesto de homogeneidad de las pendientes de regresión, que exige ANCOVA.

Los modelos multinivel se pueden utilizar para datos con muchos niveles, aunque los modelos de dos niveles son los más comunes y el resto de este artículo se centra únicamente en ellos. La variable dependiente debe examinarse en el nivel más bajo de análisis.

Selección de modelo

La selección de modelos es la tarea de seleccionar datos dados de un conjunto de modelos candidatos, realizada en el marco del modelado estadístico. En los casos más simples, se considera un conjunto de datos ya existente. Sin embargo, la tarea también puede implicar diseñar experimentos para que los datos recopilados se adapten bien a la tarea de selección del modelo. Dados modelos candidatos con poder predictivo o explicativo similar, es probable que el modelo más simple sea la mejor opción (la navaja de Occam).

Konishi y Kitagawa afirman: "La mayoría de los problemas de inferencia estadística pueden considerarse problemas asociados con el modelado estadístico". Asimismo, dijo Cox, "cómo se traduce el problema en cuestión en un modelo estadístico es a menudo la parte más importante del análisis".

La selección de modelos también puede referirse al problema de seleccionar algunos modelos representativos de un gran conjunto de modelos computacionales con el fin de tomar decisiones u optimizar en condiciones de incertidumbre.

Modelos gráficos

Un modelo gráfico, o modelo gráfico probabilístico (PGM) o modelo de probabilidad estructurado, es un modelo probabilístico cuyo gráfico expresa la estructura de la relación condicional entre variables aleatorias. Se utilizan comúnmente en teoría de la probabilidad, estadística (especialmente estadística bayesiana) y aprendizaje automático.

Modelos econométricos

Los modelos econométricos son modelos estadísticos utilizados en econometría. Un modelo econométrico define las relaciones estadísticas que se cree que existen entre varias cantidades económicas relacionadas con un fenómeno económico particular. Un modelo econométrico puede derivarse de un modelo económico determinista que tenga en cuenta la incertidumbre o de un modelo económico que sea en sí mismo estocástico. Sin embargo, también es posible utilizar modelos econométricos que no estén vinculados a ninguna teoría económica en particular.

La estadística matemática es una rama de las matemáticas aplicadas, directamente adyacente y basada en la teoría de la probabilidad. Como cualquier teoría matemática, la estadística matemática se desarrolla en el marco de un determinado modelo que describe una determinada gama de fenómenos reales. Para definir un modelo estadístico y explicar los detalles de los problemas en estadística matemática, recordemos algunas disposiciones de la teoría de la probabilidad.

El modelo matemático de fenómenos aleatorios estudiado en la teoría de la probabilidad se basa en el concepto de espacio de probabilidad. Además, en cada situación específica, la probabilidad se considera una función numérica completamente conocida en el álgebra, es decir, para cualquier número, el número está completamente determinado. La tarea principal de la teoría de la probabilidad es desarrollar métodos para encontrar las probabilidades de varios eventos complejos a partir de probabilidades conocidas de otros más simples (por ejemplo, utilizando leyes conocidas de distribución de variables aleatorias, sus características numéricas y leyes de distribución de funciones de variables aleatorias son determinado).

Sin embargo, en la práctica, al estudiar un experimento aleatorio específico, la probabilidad es, por regla general, desconocida o parcialmente conocida. Sólo se puede suponer que la probabilidad verdadera es un elemento de alguna clase de probabilidades. (lo peor - la clase de todas las probabilidades posibles que se pueden especificar en ). Clase llamado un conjunto aceptable para describir un experimento dado las probabilidades y el conjunto modelo estadístico experimento. En general, la tarea de la estadística matemática es perfeccionar el modelo probabilístico del fenómeno aleatorio que se está estudiando (es decir, encontrar la probabilidad verdadera o cercana a ella) utilizando la información proporcionada por los resultados observados del experimento, que se denominan datos estadísticos. .

En la estadística matemática clásica, que estudiaremos más a fondo, nos ocupamos de experimentos aleatorios que consisten en realizar norte observaciones independientes repetidas de alguna variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidad desconocida, es decir, función de distribución desconocida. En este caso, el conjunto de todos los valores posibles de la variable aleatoria observada se llama población general , teniendo una función de distribución o distribuido según . Números , que son el resultado de observaciones independientes de una variable aleatoria, se llaman muestreo de la población general o selectivo (Datos estadísticos. El número de observaciones se llama volumen muestras.

La principal tarea de la estadística matemática es cómo utilizar una muestra para de la población general, extrayendo la mayor cantidad de información posible de ella, para sacar conclusiones informadas sobre las características probabilísticas desconocidas de la variable aleatoria observada.

Por un modelo estadístico que corresponde a observaciones independientes repetidas de una variable aleatoria, es natural entender en cambio un conjunto, donde es la población general, es el álgebra de Borel, los subconjuntos de, es la clase de funciones de distribución admisibles para una variable aleatoria dada. , a la que también pertenece la verdadera función de distribución desconocida.

Al triple a menudo se le llama experimento estadístico.

Si las funciones de distribución se especifican hasta los valores de un determinado parámetro, es decir, ( es un conjunto paramétrico), entonces dicho modelo se llama paramétrico . Dicen que en este caso se sabe tipo distribución de la variable aleatoria observada, y sólo se desconoce el parámetro del que depende la distribución. El parámetro puede ser escalar o vectorial.

El modelo estadístico se llama continuo o discreto , si tales son todos los componentes de la clase de función de distribución, respectivamente.

Ejemplo 1. Supongamos que la distribución de la variable aleatoria observada es gaussiana con varianza conocida y valor esperado desconocido.

En este caso, el modelo estadístico es continuo y tiene la forma:

Si también se desconoce la varianza, entonces el modelo estadístico tiene la forma:

y la función de distribución tiene una densidad de probabilidad

Este es el llamado modelo normal general, denotado.

Ejemplo 2. Supongamos que la distribución de la variable aleatoria observada es Poisson con un parámetro desconocido. En este caso, el modelo estadístico es discreto y tiene la forma: , variables aleatorias (dicen que las variables aleatorias son copias), y que aún no ha tomado un valor específico como resultado del experimento. Transición de muestra específica a una muestra aleatoria se utilizará repetidamente más adelante en la resolución de preguntas y problemas teóricos para obtener conclusiones que sean válidas para cualquier muestra de la población general.

Los principales problemas considerados en estadística matemática se pueden dividir en dos grandes grupos:

1. Problemas relacionados con la determinación de la ley de distribución desconocida de una variable aleatoria observada y los parámetros incluidos en ella (se consideran en el marco de la teoría de la estimación estadística).

2. Problemas relacionados con la prueba de hipótesis sobre la ley de distribución de una variable aleatoria observada (resueltos en el marco de la teoría de la prueba de hipótesis estadísticas).

La estadística matemática es una rama de las matemáticas que desarrolla métodos para registrar, describir y analizar datos observacionales y experimentales con el fin de construir modelos probabilísticos de fenómenos y procesos aleatorios. Dependiendo de la naturaleza matemática de los resultados de observación específicos, la estadística matemática se divide en estadística de números, análisis estadístico multivariante, análisis de funciones (procesos) y series de tiempo, estadística de objetos de naturaleza no numérica. La estadística matemática combina varios métodos de análisis estadístico basados ​​en el uso de patrones estadísticos o sus características.

La historia de la estadística suele considerarse a partir del problema de la restauración de las dependencias, desde su desarrollo por K. Gauss en 1794 (según otras fuentes, en 1795). método de mínimos cuadrados. El desarrollo de métodos para aproximar datos y reducir la dimensión de la descripción comenzó hace más de 100 años, cuando K. Pearson creó método del componente principal. Posteriormente fueron desarrollados análisis factorial, varios métodos de construcción (análisis de conglomerados), análisis y uso (análisis discriminante) clasificaciones (tipologías) y otros A principios del siglo XX. La teoría de la estadística matemática fue desarrollada por A. A. Chuprov. A. A. Markov, E. E. Slutsky, A. N. Kolmogorov, A. Ya. Khinchin y otros hicieron importantes contribuciones a la teoría de los procesos aleatorios, desarrollada en el primer tercio del siglo XX. La teoría del análisis de datos se llama. estadísticas paramétricas, ya que su principal objeto de estudio son muestras de distribuciones descritas por uno o un pequeño número de parámetros. La más común es la familia de curvas de Pearson, definida por cuatro parámetros. La más popular fue la distribución normal. Para probar las hipótesis se utilizaron las pruebas de Pearson, Student y Fisher. Se propusieron el método de máxima verosimilitud y el análisis de varianza y se formularon las ideas básicas de la planificación de experimentos.

En 1954, el académico de la Academia de Ciencias de la República Socialista Soviética de Ucrania, B.V. Gnedenko, dio la siguiente definición: “La estadística consta de tres secciones:

• 1) recopilación de información estadística, es decir información que caracteriza unidades individuales de cualquier agregado masivo;
• 2) estudio estadístico de los datos obtenidos, que consiste en identificar aquellos patrones que pueden establecerse a partir de datos de observación masiva;
• 3) desarrollo de técnicas de observación estadística y análisis de datos estadísticos.

La última sección, de hecho, constituye el contenido de la estadística matemática."

Según el grado de especificidad de los métodos asociados a la inmersión en problemas específicos, se distinguen tres tipos de actividades científicas y aplicadas en el campo de los métodos estadísticos de análisis de datos:

• a) desarrollo e investigación de métodos de propósito general, sin tener en cuenta las particularidades del campo de aplicación;
• b) desarrollo e investigación de modelos estadísticos de fenómenos y procesos reales de acuerdo con las necesidades de un área particular de actividad;
• c) aplicación de métodos y modelos estadísticos para el análisis estadístico de datos específicos.

Los métodos más comunes de análisis estadístico son:

• análisis de regresión (basado en la comparación de expectativas matemáticas);
• análisis de varianza (basado en comparación de varianzas);
• análisis de correlación (tiene en cuenta expectativas matemáticas, variaciones y características de las conexiones entre eventos o procesos);
• análisis factorial (procesamiento estadístico de un experimento multifactorial);
• correlación de rango (una combinación de correlación y análisis factorial).

Al aplicar varios métodos de estadística matemática, los patrones estadísticos o sus características se obtienen de diversas maneras: observando y estudiando muestras, utilizando métodos aproximados basados ​​​​en varios métodos de conversión o división de la muestra en forma de una serie de variaciones, dividiendo muestras en flujos. , secciones, intervalos de tiempo aleatorios, etc.

La estadística matemática se utiliza en diversas áreas de la gestión.

El término "estadísticas" se utilizó originalmente para describir la condición económica y política de un estado o parte de él. Por ejemplo, la definición se remonta a 1792: "las estadísticas describen el estado del estado en el momento actual o en algún momento conocido del pasado". Y en la actualidad, las actividades de los servicios estadísticos estatales encajan bien en esta definición. La estadística se definió como una rama del conocimiento que se ocupa de cuestiones generales de recopilación, medición y análisis de datos estadísticos masivos (cuantitativos o cualitativos); el estudio del lado cuantitativo de los fenómenos sociales de masas en forma numérica.

La palabra estadística proviene del latín. estado - la situación actual. El término "estadística" fue introducido en la ciencia por el científico alemán Gottfried Achenwall en 1746, quien propuso reemplazar el nombre de la carrera "Estudios del Estado" impartida en las universidades alemanas por "Estadística", marcando así el comienzo del desarrollo de la estadística como una ciencia y disciplina académica.

La estadística utiliza una metodología especial para la investigación y el procesamiento de materiales: observaciones estadísticas masivas, método de agrupaciones, promedios, índices, método de balance, método de imágenes gráficas y otros métodos de análisis de datos estadísticos.

El desarrollo de la tecnología informática ha tenido un impacto significativo en las estadísticas. Anteriormente, los modelos estadísticos estaban representados principalmente por modelos lineales. El aumento de la velocidad de las computadoras y el desarrollo de los algoritmos numéricos correspondientes han llevado a un mayor interés en los modelos no lineales, como las redes neuronales artificiales, y han llevado al desarrollo de modelos estadísticos complejos, como el modelo lineal generalizado y el modelo jerárquico. Los métodos computacionales basados ​​en muestreos repetidos se han generalizado. Actualmente, la estadística computacional se está desarrollando y existe una variedad de software estadístico para fines generales y especializados. Los métodos estadísticos se utilizan en una dirección llamada "Minería de datos" (ver Capítulo 8).

Modelado estadístico

Modelización estadística y econométrica.- investigación de objetos de conocimiento sobre sus modelos estadísticos; construcción y estudio de modelos de objetos, procesos o fenómenos de la vida real (por ejemplo: procesos económicos en econometría) con el fin de obtener explicaciones de estos fenómenos, así como predecir fenómenos o indicadores de interés para el investigador.

Los parámetros de dichos modelos se estiman mediante métodos estadísticos. Por ejemplo: método de máxima verosimilitud, método de mínimos cuadrados, método de momentos.

Y = b_1 + b_2×X

donde Y - gastos, X - ingresos, b_1 y b_2 - parámetros de la ecuación (parámetros), u - error estocástico (perturbación, término de error).

Tipos de modelos estadísticos y econométricos

Regresión lineal (OLS) Regresiones sobre variables binarias Modelo autorregresivo Sistema de ecuaciones simultáneas (SEM) Modelo de probabilidad lineal (LPM) Modelo logit (Logit) Modelo probit (Probit), etc.

Fundación Wikimedia. 2010.

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