ที่บทเรียนนี้เราจะพิจารณาการดำเนินงานอีกสองครั้งกับเวกเตอร์: เวกเตอร์เวกเตอร์เวกเตอร์ และ เวกเตอร์ผสม (ลิงค์ทันทีที่ต้องการมัน. ไม่มีอะไรน่ากลัวดังนั้นบางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกจากนี้ เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์นอกจากนี้ยังจำเป็น ที่นี่คือการติดยาเสพติดเวกเตอร์ อาจแสวงหาความประทับใจที่เราปีนเข้าไปในเศษของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่ไม่เป็นความจริง. ในส่วนนี้ของคณิตศาสตร์สูงสุดมีฟืนไม่เพียงพอโดยทั่วไปยกเว้น Pinocchio ในความเป็นจริงวัสดุเป็นเรื่องธรรมดามากและเรียบง่าย - ยากกว่าเดิม ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แม้แต่งานทั่วไปจะมีขนาดเล็กลง สิ่งสำคัญในรูปทรงเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์มากเท่าที่มากจะถูกฆ่าหรือได้รับการมั่นใจแล้วไม่เข้าใจผิดในการคำนวณ ทำซ้ำเป็นคาถาและคุณจะมีความสุข \u003d)

หากเวกเตอร์เป็นประกายที่ใดที่หนึ่งจนถึงฟ้าผ่าบนขอบฟ้าไม่ใช่ปัญหาเริ่มต้นจากบทเรียน เวกเตอร์สำหรับกาน้ำชาเพื่อเรียกคืนหรือรับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมไว้มากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับการเลือกข้อมูลฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบที่สุดที่มักพบในงานจริง

สิ่งที่คุณโปรดทันที เมื่อฉันมีขนาดเล็กฉันก็รู้วิธีการเล่นปาหี่สองลูกและสามลูก deftly ประสบความสำเร็จ ตอนนี้คุณจะไม่ต้องเล่นปาหี่เลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์อวกาศเท่านั้นและเวกเตอร์แบนที่มีสองพิกัดจะยังคงอยู่เหนือน้ำ ทำไม? การกระทำเหล่านี้เกิดขึ้น - เวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและดำเนินการในพื้นที่สามมิติ ง่ายขึ้นแล้ว!

ในการดำเนินการนี้ในลักษณะเดียวกับในผลิตภัณฑ์สเกลาร์เข้าร่วม สองเวกเตอร์. ปล่อยให้มันเป็นตัวอักษรไร้สาระ

การกระทำของตัวเอง หมายถึง ด้วยวิธีต่อไปนี้:. มีตัวเลือกอื่น ๆ แต่ฉันเคยแสดงผลงานศิลปะเวกเตอร์ของเวกเตอร์เช่นนั้นในวงเล็บเหลี่ยมที่มีไม้กางเขน

และทันที คำถาม: ถ้าใน เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ สองเวกเตอร์มีส่วนร่วมและที่นี่สองรุ่นจะทวีคูณที่นี่แล้ว อะไรคือความแตกต่าง? ความแตกต่างอย่างชัดเจนก่อนอื่นเป็นผล:

ผลของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือจำนวน:

ผลลัพธ์ของเวกเตอร์เวกเตอร์เวกเตอร์คือเวกเตอร์: นั่นคือเราคูณเอดส์และรับเวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด จริง ๆ แล้วชื่อของการดำเนินการ ในวรรณกรรมการเรียนรู้ต่าง ๆ การกำหนดยังสามารถแตกต่างกันได้ฉันจะใช้จดหมาย

นิยามของเวกเตอร์ศิลปะ

ก่อนอื่นจะมีคำจำกัดความที่มีรูปภาพจากนั้นแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: งานเวกเตอร์ nonollyline เวกเตอร์ ถ่ายในคำสั่งนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาว ซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับจัตุรัสของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นบนข้อมูลเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ เวกเตอร์ orthogonal และมันเป็นคำสั่งเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เราถอดแยกชิ้นส่วนนิยามของกระดูกมีสิ่งที่น่าสนใจมากมาย!

ดังนั้นคุณสามารถเลือกช่วงเวลาที่จำเป็นต่อไปนี้:

1) แหล่งเวกเตอร์ที่ทำเครื่องหมายด้วยลูกศรสีแดงตามคำจำกัดความ ไม่ใช่ collinear. กรณีของเวกเตอร์ Collinear จะเหมาะสมที่จะพิจารณาในภายหลังเล็กน้อย

2) เวกเตอร์ที่ถ่าย ในการสั่งซื้อที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "A" ถูกคูณด้วย "เป็น"ไม่ "เป็น" ใน "A" ผลของเวกเตอร์คูณ มันเป็นเวกเตอร์ที่ระบุเป็นสีน้ำเงิน หากเวกเตอร์ถูกคูณในการสั่งซื้อย้อนกลับจากนั้นเราจะเท่ากับความยาวและเวกเตอร์ตรงกันข้าม (สีราสเบอร์รี่) นั่นคือความเท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง .

3) ตอนนี้ให้ทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และดังนั้นเวกเตอร์ราสเบอร์รี่) จึงเท่ากับจัตุรัสของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นในเวกเตอร์ ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มีสีดำในสีดำ

บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผังและตามธรรมชาติความยาวเล็กน้อยของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เราจำหนึ่งในสูตรทางเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับผลิตภัณฑ์ของด้านข้างที่อยู่ติดกันที่มุมไซน์ระหว่างพวกเขา. ดังนั้นขึ้นอยู่กับการวางตลาดสูตรสำหรับการคำนวณความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ฉันเน้นว่าในสูตรที่เรากำลังพูดถึงความยาวของเวกเตอร์และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์มาก ความหมายในทางปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในภารกิจของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของเวกเตอร์ศิลปะ:

เราจะได้รับสูตรสำคัญที่สอง เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สีแดง dottedier) แบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมสร้างขึ้นในเวกเตอร์ (ฟักสีแดง) สามารถพบได้โดยสูตร:

4) ไม่มีความจริงที่สำคัญน้อยกว่าคือเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์มุมฉากนั่นคือ . แน่นอนว่าเวกเตอร์กำกับของฝ่ายตรงข้าม (ลูกศรราสเบอร์รี่) ยังเป็นมุมฉากในเวกเตอร์ดั้งเดิม

5) เวกเตอร์ถูกกำกับเพื่อให้ เกณฑ์ มันมี ขวา ปฐมนิเทศ. ในห้องเรียน O. การเปลี่ยนเป็นพื้นฐานใหม่ ฉันพูดในรายละเอียดเกี่ยวกับ ปฐมนิเทศของเครื่องบินและตอนนี้เราจะจัดการกับการปฐมนิเทศของพื้นที่ ฉันจะอธิบายนิ้วของคุณ มือขวา. ผสมผสานทางจิตใจ นิ้วชี้ กับเวกเตอร์ I. นิ้วกลาง กับเวกเตอร์ นิ้วที่ไม่มีชื่อและนิ้วจ้อย กดฝ่ามือ ผลที่ตามมา นิ้วหัวแม่มือ - ศิลปะเวกเตอร์จะเงยหน้าขึ้นมอง นี่คือพื้นฐานที่ถูกต้อง (ในรูปที่เขา) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( ดัชนีและนิ้วกลาง) สถานที่เป็นผลให้นิ้วหัวแม่มือแผ่ออกไปและงานเวกเตอร์จะมองลงไปแล้ว นี่เป็นพื้นฐานเป็นประจำ บางทีคุณอาจมีคำถาม: ทิศทางซ้ายพื้นฐานคืออะไร? "ชื่อ" นิ้วมือเดียวกัน มือซ้าย เวกเตอร์และรับพื้นฐานทางซ้ายและทิศทางซ้ายของอวกาศ (ในกรณีนี้นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ที่ต่ำกว่า). การพูดเป็นรูปเป็นร่างฐานเหล่านี้ "หมุน" หรือพื้นที่ตะวันออกในทิศทางที่แตกต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถือว่ามีบางสิ่งที่ขัดขวางหรือเป็นนามธรรมเช่นการวางแนวของพื้นที่เปลี่ยนกระจกธรรมดาที่สุดและถ้าคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนจาก castorcal" มันจะไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ ทั่วไป. โดยวิธีการนำสามนิ้วไปที่กระจกและวิเคราะห์การสะท้อน ;-)

... เป็นเรื่องที่ดีที่คุณรู้ตอนนี้ กฎหมายและทางซ้ายที่มุ่งเน้น ฐานสำหรับข้อความที่น่ากลัวของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของการปฐมนิเทศ \u003d)

เวกเตอร์งานศิลปะของเวกเตอร์คอลลินีส

คำจำกัดความที่ถอดประกอบในรายละเอียดมันยังคงที่จะหาสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเวกเตอร์คอลลินีส หากเวกเตอร์เป็น collinear พวกเขาสามารถวางไว้บนเส้นตรงหนึ่งเส้นและสี่เหลี่ยมด้านขนานของเรายัง "พับ" เป็นหนึ่งตรง พื้นที่ของสิ่งนี้เป็นคณิตศาสตร์พูดว่า เสื่อมโทรม สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นศูนย์ มันตามมาจากสูตร - ไซนัสศูนย์หรือ 180 องศาเป็นศูนย์ดังนั้นพื้นที่จึงเป็นศูนย์

ดังนั้นถ้า และ . โปรดทราบว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ตัวเองเป็นศูนย์เวกเตอร์ แต่ในทางปฏิบัติมักถูกทอดทิ้งและเขียนว่ามันเป็นศูนย์

กรณีส่วนตัว - เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กับตัวเอง:

ด้วยความช่วยเหลือของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์การยิงของเวกเตอร์สามมิติสามารถตรวจสอบได้และเราจะดูงานนี้ในหมู่คนอื่น ๆ

เพื่อแก้ตัวอย่างการปฏิบัติอาจต้องการ ตารางตรีโกณมิติเพื่อค้นหาค่าของไซนัส

จุดไฟ:

ตัวอย่างที่ 1

a) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ศิลปะเวกเตอร์ถ้า

b) ค้นหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นในรุ่นถ้า

การตัดสินใจ: ไม่นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิดข้อมูลเริ่มต้นในเงื่อนไขของประโยคฉันตั้งใจทำเช่นเดียวกัน เพราะการตัดสินใจจะแตกต่างกัน!

a) ภายใต้เงื่อนไขที่คุณต้องการค้นหา ความยาว เวกเตอร์ (ศิลปะเวกเตอร์) ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

ตอบ:

ในไม่ช้า Kohl ถามเกี่ยวกับความยาวจากนั้นในการตอบสนองระบุมิติ - หน่วย

b) ภายใต้เงื่อนไขที่จำเป็นในการค้นหา พื้นที่ สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นในเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เท่ากับความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ตอบ:

โปรดทราบว่าในการตอบสนองเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของการพูดไม่ได้ไปเลยเราถูกถามเกี่ยวกับ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังนั้นมิติจะเป็นหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เรามักจะดูสิ่งที่ต้องการโดยเงื่อนไขและขึ้นอยู่กับสิ่งนี้เรากำหนด ชัดเจน ตอบ. มันอาจดูเป็นคีย์ แต่มีคีย์สสสสต์เพียงพอในหมู่ครูและงานที่มีโอกาสที่ดีจะกลับไปที่การปรับแต่ง แม้ว่านี่จะไม่ใช่ Quarid ที่ยืดออกเป็นพิเศษ - หากคำตอบนั้นไม่ถูกต้องดูเหมือนว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งที่ง่ายและ / หรือไม่ในสาระสำคัญของงาน ช่วงเวลานี้ควรอยู่ในการควบคุมการแก้ปัญหาใด ๆ ในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและในวิชาอื่น ๆ เช่นกัน

Big Bucchka "en" อยู่ที่ไหน โดยหลักการแล้วมันสามารถเข้าร่วมการแก้ปัญหาได้นอกจากนี้เพื่อลดบันทึกฉันไม่ได้ ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจว่านี่คือการกำหนดเหมือนกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับการแก้ปัญหาตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นในเวกเตอร์ถ้า

สูตรสำหรับการค้นหาพื้นที่สามเหลี่ยมผ่านศิลปะเวกเตอร์จะได้รับในความคิดเห็นต่อคำนิยาม วิธีแก้ปัญหาและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ในทางปฏิบัติงานที่พบได้บ่อยมากสามเหลี่ยมโดยทั่วไปสามารถทรมานได้

ในการแก้ปัญหางานอื่น ๆ เราจะต้อง:

คุณสมบัติของเวกเตอร์งานศิลปะ

คุณสมบัติบางอย่างของงานเวกเตอร์ที่เราได้พิจารณาแล้วอย่างไรก็ตามฉันจะรวมไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์โดยพลการและตัวเลขตามอำเภอใจคุณสมบัติต่อไปนี้มีความยุติธรรม:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่น ๆ รายการนี้มักจะไม่ถูกระบุในคุณสมบัติ แต่เป็นสิ่งสำคัญมากในแง่การปฏิบัติ ดังนั้นให้มันเป็น

2) - ทรัพย์สินยังถอดประกอบด้านบนบางครั้งเรียกว่า ต่อต้านการสับเปลี่ยน. กล่าวอีกนัยหนึ่งคำสั่งของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) - เยือกเย็นหรือ ซึ่งเชื่อมโยงกัน กฎหมายของการทำงานเวกเตอร์ ค่าคงที่ถูกนำออกจากงานเวกเตอร์ชั่วคราว แน่นอนพวกเขาทำอะไรที่นั่น?

4) - จำหน่ายหรือ จำหน่าย กฎหมายของการทำงานเวกเตอร์ ด้วยการเปิดเผยข้อมูลของวงเล็บไม่มีปัญหา

เป็นการสาธิตให้พิจารณาตัวอย่างสั้น ๆ :

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาว่า

การตัดสินใจ: ตามเงื่อนไขมีความจำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์อีกครั้ง เรานำจิ๋วของเรา:

(1) ตามกฎหมายเชื่อมโยงเราอดทนต่อค่าคงที่สำหรับการกระจายการทำงานของเวกเตอร์

(2) เราทนต่อค่าคงที่นอกโมดูลในขณะที่โมดูล "กิน" เครื่องหมาย "ลบ" ความยาวไม่สามารถลบได้

(3) เข้าใจได้ต่อไป

ตอบ:

ถึงเวลาที่จะโยนฟืนเข้าสู่ไฟ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นในเวกเตอร์ถ้า

การตัดสินใจ: สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมหาสูตร . อุปสรรค์คือ "CE" และ "de" เวกเตอร์ตัวเองจะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและมีลักษณะคล้ายกับตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 บทเรียน เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์. วิธีการแก้ปัญหาเพื่อความชัดเจนในการแบ่งเป็นสามขั้นตอน:

1) ในขั้นตอนแรกเราแสดงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ผ่านศิลปะเวกเตอร์ในความเป็นจริง ด่วนเวกเตอร์ผ่านเวกเตอร์. เกี่ยวกับความยาวไม่ใช่คำ!

(1) เราแทนที่การแสดงออกของเวกเตอร์

(2) ใช้กฎหมายการกระจายการเปิดเผยวงเล็บตามกฎของการคูณของพหุนาม

(3) การใช้กฎหมายเชื่อมโยงเราอดทนต่อค่าคงที่ทั้งหมดที่อยู่นอกเหนือการทำงานของเวกเตอร์ ภายใต้ประสบการณ์ Malomal, 2 และ 3 สามารถทำได้พร้อมกัน

(4) คำแรกและระยะสุดท้ายคือศูนย์ (ศูนย์เวกเตอร์) ขอบคุณคุณสมบัติที่น่ารื่นรมย์ ในเทอมที่สองเราใช้คุณสมบัติต่อต้านการขายของเวกเตอร์:

(5) เราให้ส่วนประกอบดังกล่าว

เป็นผลให้เวกเตอร์กลายเป็นที่แสดงผ่านเวกเตอร์ซึ่งจำเป็นต้องได้รับ:

2) ในขั้นตอนที่สองเราจะพบความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่คุณต้องการ การกระทำนี้มีลักษณะคล้ายกับ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

ขั้นตอน 2-3 โซลูชั่นสามารถจัดเรียงได้หนึ่งบรรทัด

ตอบ:

งานที่ถือว่าได้รับการเผยแพร่อย่างเพียงพอในการทดสอบนี่เป็นตัวอย่างสำหรับการตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน เรามาดูกันว่าคุณใส่ใจคุณเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้า ;-)

เวกเตอร์งานศิลปะของเวกเตอร์ในพิกัด

กำหนดไว้ในพื้นฐานของ orthonormal แสดงสูตร:

สูตรและ sprydskaya ที่แท้จริง: ในบรรทัดบนของตัวกำหนดเราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสาม "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์และพอดี ในการสั่งซื้อที่เข้มงวด - ก่อนอื่นพิกัดของเวกเตอร์ "VE" จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์ "ดับล่วง" หากเวกเตอร์ต้องทวีคูณในลำดับที่แตกต่างกันแถวควรเปลี่ยนในสถานที่:

ตัวอย่างที่ 10

ตรวจสอบว่า collinear จะเป็นเวทอวกาศต่อไปนี้:
แต่)
b)

การตัดสินใจ: การตรวจสอบขึ้นอยู่กับหนึ่งในข้อความของบทเรียนนี้: หากเวกเตอร์ Collinear แล้วผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของพวกเขาเป็นศูนย์ (ศูนย์เวกเตอร์): .

a) ยินดีต้อนรับศิลปะเวกเตอร์:

ดังนั้นเวกเตอร์จะไม่เกิดขึ้นกับ Collegear

b) ค้นหาเวกเตอร์ศิลปะ:

ตอบ: a) ไม่ collinear, b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มากเนื่องจากงานที่ใช้ผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์เล็กน้อย ในความเป็นจริงทุกอย่างจะถูก จำกัด ในคำนิยามความหมายทางเรขาคณิตและสูตรการทำงานสองสามสูตร

งานศิลปะแบบผสมของเวกเตอร์เป็นงานของสามเวกเตอร์:

นั่นเป็นวิธีที่พวกเขาเรียงรายไปด้วยรถไฟและรอไม่รอเมื่อคำนวณ

ครั้งแรกคำจำกัดความและรูปภาพอีกครั้ง:

คำนิยาม: งานผสม ไม่มีรายละเอียด เวกเตอร์ ถ่ายในคำสั่งนี้เรียกว่า ปริมาตรของ parallelepipeda, สร้างขึ้นบนข้อมูลของเวกเตอร์, พร้อมกับเครื่องหมาย "+" ถ้าเป็นพื้นฐานที่ถูกต้องและเครื่องหมาย "-" ถ้าเป็นพื้นฐาน

ทำภาพ สายที่มองไม่เห็นถูกทำลายโดยเส้นประ:

ดื่มด่ำกับความหมาย:

2) เวกเตอร์ที่ถ่าย ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการจัดขึ้นใหม่ของเวกเตอร์ในการทำงานอย่างที่คุณเดาไม่ผ่านโดยไม่มีผลกระทบ

3) ก่อนแสดงความคิดเห็นความหมายทางเรขาคณิตฉันจะทราบความจริงที่ชัดเจน: เวกเตอร์ผสมเป็นตัวเลข. ในวรรณคดีทางการศึกษาการออกแบบอาจแตกต่างกันค่อนข้างแตกต่างกันฉันเคยลงนามในผลิตภัณฑ์ผสมผ่านและผลการคำนวณของตัวอักษร "PE"

a-priory งานผสมเป็นปริมาตรแบบขนานสร้างขึ้นในเวกเตอร์ (รูปที่ทำความสะอาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาณของขนานนี้

บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผัง

4) อย่าปล่อยไอน้ำอีกครั้งด้วยแนวคิดของการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่ ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบในระดับเสียงได้ คำง่าย ๆ ผลิตภัณฑ์ผสมอาจเป็นลบ:.

โดยตรงจากนิยามตามสูตรสำหรับการคำนวณปริมาตรของ parallelepiped, สร้างขึ้นในเวกเตอร์

นิยาม เวกเตอร์ของเวกเตอร์ A บน Vector B เรียกว่าเวกเตอร์ที่กำหนดโดยสัญลักษณ์ [", b] (หรือ lxb) เช่นนั้น 1) ความยาวของเวกเตอร์ [A, B] เท่ากับ (p, ที่ y เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ A และ B (รูปที่ 31); 2) เวกเตอร์ [A, B) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ A และ B, I. ตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์เหล่านี้ 3) เวกเตอร์ [A, B] กำกับเพื่อให้จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์นี้การหมุนที่สั้นที่สุดจาก A ถึง B นั้นมองเห็นทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 32) รูปที่. 32 รูปที่ 31 ในคำอื่น ๆ เวกเตอร์ A, B และ [A, B) สร้างเวกเตอร์ที่เหมาะสมทั้งสาม I.E ตั้งอยู่ที่ขนาดใหญ่ดัชนีและนิ้วกลางของมือขวา หากเวกเตอร์ A และ B Collinear เราคิดว่า [A, B] \u003d 0 ตามคำจำกัดความความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นั้นเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานของ SA (รูปที่ 33) สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ตัวแปร A และ B ด้านข้าง: 6.1 คุณสมบัติของการทำงานเวกเตอร์ 1. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เท่ากับศูนย์เวกเตอร์จากนั้นและเมื่ออย่างน้อยหนึ่งของเวกเตอร์ตัวแปรที่เป็นศูนย์หรือเมื่อเวกเตอร์คอลลิเนียร์เหล่านี้ (ถ้าเวกเตอร์ A และ B collinear แล้วมุมระหว่างนั้นเป็น 0 หรือ 7G) มันง่ายที่จะได้รับจากความจริงที่ว่าถ้าคุณนับศูนย์เวกเตอร์ที่เป็นศูนย์กับ clincons ของเวกเตอร์ใด ๆ สภาพของการจัดคอลลิเน็ตเรียลของเวกเตอร์ A และ B สามารถแสดงได้ดังนั้นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คือการต่อต้านการสับเปลี่ยน, I.e. เสมอ ในความเป็นจริงเวกเตอร์ (a, b) และมีความยาวและ collinear เท่ากัน ทิศทางของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นตรงกันข้ามกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ [A, B] การหมุนที่สั้นที่สุดจาก A ถึง B จะถูกมองว่าเทียบกับตามเข็มนาฬิกาและจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ [B, A] - ตามเข็มนาฬิกา ( รูปที่ 34) 3. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการจัดจำหน่ายที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่ม 4. ตัวคูณตัวเลข L สามารถทำเพื่อสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ 6.2 ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัดปล่อยให้เวกเตอร์และถูกกำหนดโดยพิกัดของพวกเขาในฐาน การใช้คุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เราพบว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด งานผสม เราขับไล่ผลงานเวกเตอร์ของ orts พิกัด (รูปที่ 35) ดังนั้นสำหรับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ A และ B เราได้รับจากสูตร (3) สูตรนิพจน์ต่อไปนี้ (4) สามารถเขียนได้ในสัญลักษณ์ที่น่าจดจำได้ง่าย แบบฟอร์มหากคุณใช้ตัวกำหนดคำสั่งที่ 3: การย่อยสลายตัวนี้เป็นตัวกำหนดสำหรับองค์ประกอบของบรรทัดที่ 1 เราได้รับ (4) ตัวอย่าง. 1. ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นในพื้นที่ที่ต้องการของเวกเตอร์เพื่อให้เราพบ \u003d จากที่ 2 ค้นหาพื้นที่สามเหลี่ยม (รูปที่ 36) เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ B "D สามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส S สแควร์เกี่ยวกับ AU V. การคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ (A, B | เวกเตอร์ A \u003d OA และ B \u003d OH เราได้รับคำพูดผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คือ ไม่เชื่อมโยง, เช่นความเท่าเทียมกัน ((a, b), c) \u003d [A, | B, C)) ในกรณีทั่วไปไม่ถูกต้องตัวอย่างเช่นเมื่อ A \u003d SS J เรามี§ 7. ผลิตภัณฑ์ที่หลากหลายของ เวกเตอร์ให้พวกเขามีสามเวกเตอร์ A, B และ S เคลื่อนย้ายเวกเตอร์ A และ 1\u003e เร็ว ๆ นี้เป็นผลให้เราได้รับเวกเตอร์ [A, 1\u003e] ทวีคูณมันเป็นสเกลาร์ในเวกเตอร์ C: (k b) c) หมายเลข ([A, B], E) เรียกว่าผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ A, B ด้วยและระบุโดยสัญลักษณ์ (A, 1), E) 7.1 ความหมายทางเรขาคณิตของงานผสม Postpone , B และจากจุดที่ใช้จ่าย O (รูปที่ 37) หากทั้งสี่คะแนนโอ้ A, B, C นอนในระนาบเดียวกัน (เวกเตอร์ A, B และ C ถูกเรียกในกรณีนี้) จากนั้นผลิตภัณฑ์ผสม ( [A, B], C) \u003d 0. สิ่งนี้ตามมาจากความจริงที่ว่าเวกเตอร์ [A, B | ตั้งฉากกับระนาบที่เวกเตอร์ A และ 1 มีฉากตั้งฉาก "ดังนั้นเวกเตอร์ด้วย / ถ้า t คะแนน O, A, B, C ไม่ได้โกหกในกระดูกแบนเดียวกัน (เวกเตอร์ A, B และกับ Noncomplaunar) เราสร้างที่ขอบของ OA, OB และ ParallePiped (รูปที่ 38 a) ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เรามี (A, B) \u003d ดังนั้นที่จะเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน OADB และ C เป็นเวกเตอร์เดียวตั้งฉากกับเวกเตอร์ A และ B และนั่นคือ Troika A, B, C - ขวา เช่น เวกเตอร์ A, B และ C ตั้งอยู่ตามลำดับเป็นขนาดใหญ่ดัชนีและนิ้วกลางของมือขวา (รูปที่ 38 b) การคูณทั้งสองส่วนของความเสมอภาคสุดท้ายไปยังสเกลาร์ที่เหมาะสมกับเวกเตอร์ C เราได้รับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ของพิกัดที่ระบุ งานผสม จำนวน RGS C เท่ากับความสูงของ H ที่สร้างขึ้นแบบขนานถ่ายด้วยเครื่องหมาย "+" ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์กับและด้วยเฉียบพลัน (Troika A, B, C - ขวา) และด้วยเครื่องหมาย "-" , ถ้ามุมโง่ (troika a, b, с - ซ้าย) ดังนั้นจึงรวมถึงผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ A, B และเท่ากับปริมาณ v parallelepiped สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้เช่นเดียวกับการฉีกขาดถ้า troika a, b, c - ขวา, และ -v, ถ้า troika a, b, s - ซ้าย ขึ้นอยู่กับความหมายทางเรขาคณิตของงานผสมสามารถสรุปได้ว่าการคูณเวกเตอร์ TC A, B และ C ในลำดับอื่น ๆ เราจะได้รับ +7 หรือ -k เสมอ สัญลักษณ์ของการผลิต 38 การบำรุงรักษาจะขึ้นอยู่กับเพียงเพราะสามกำลังสร้างเวกเตอร์ตัวแปร - ขวาหรือซ้าย หากเวกเตอร์ A, B, ด้วย troika ที่เหมาะสมจากนั้น triogy b, c, a และ c, a, b ยังถูกต้อง ในเวลาเดียวกันทั้งสามกองทหาร B และด้วย; A, S, B และ S, B, A - ซ้าย ดังนั้น (A, B, C) \u003d (B, S, A) \u003d (S, A, B) \u003d - (B, A, C) \u003d - (A, S, B) \u003d - (S, B, แต่). Esherase เราเน้นว่าผลิตภัณฑ์ที่หลากหลายของเวกเตอร์เท่ากับ nuduchoga เฉพาะเมื่อเวกเตอร์ตัวแปร A, B, กับเพื่อน: (A, B, กับเพื่อน) 7.2 งานผสมในพิกัดให้เวกเตอร์ A, B ถูกกำหนดโดยพิกัดของพวกเขาในพื้นฐาน I, J, K: A \u003d (x \\, y \\, z]), B \u003d (x2, y2\u003e z2), C \u003d (x3, uz, 23) เราพบนิพจน์สำหรับงานผสมของพวกเขา (A, B, C) เรามีผลิตภัณฑ์ที่หลากหลายของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดในฐาน I, J, K, เท่ากับปัจจัยการสั่งซื้อที่สามแถวที่ประกอบด้วยจากพิกัดของพิกัดแรกที่สองและสามของเวกเตอร์ตัวแปร เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสหายของเวกเตอร์และ y \\, z |), b \u003d (h u2 22), c \u003d (zhz, uz, 23) จะถูกบันทึกในลักษณะต่อไปนี้ | Z, AG2 Y2 -2 \u003d 0 ตัวอย่างพิเศษ ตรวจสอบว่าเวกเตอร์เป็น "\u003d (7,4,6), B \u003d (2, 1,1), C \u003d (19, II, 17) เวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะเป็น บริษัท ที่ไม่ได้รับการสนับสนุนหรือไม่เป็นพันธุกรรมขึ้นอยู่กับว่าจะเป็นศูนย์หรือไม่มีปัจจัยที่จะย่อยสลายตามองค์ประกอบของสตริงแรกเราได้รับ D \u003d 7-6- 4- 15 + 6-3 \u003d 0 ^ - เวกเตอร์ N, B กับเพื่อน 7.3 ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ Double Vector Double Vector [A, [B, C]] เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ A และ [B, C] ดังนั้นจึงอยู่ในระนาบของเวกเตอร์ B และ C และสามารถย่อยสลายบนเวกเตอร์เหล่านี้ สามารถแสดงได้ว่าสูตรนั้นถูกต้อง [A, [!\u003e S]] \u003d B (A, E) - ด้วย (A, K) แบบฝึกหัด 1. สามเวกเตอร์ av \u003d c, f? \u003d O และ CA \u003d B ใช้เป็นด้านข้างของสามเหลี่ยม แสดงผ่าน A, B และด้วยเวกเตอร์ที่ตรงกับ Medians AM, DN, CP สามเหลี่ยม 2. สภาพใดที่เวกเตอร์ควรเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ P + Q แบ่งมุมระหว่างครึ่งหนึ่ง? สันนิษฐานว่าทั้งสามเวกเตอร์มีสาเหตุมาจากการเริ่มต้นทั่วไป 3. คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นในเวกเตอร์ A \u003d 5P + 2Q และ B \u003d P - 3Q หากเป็นที่ทราบกันว่า | P | \u003d 2V / 2, | Q | \u003d 3 h- (p7ci) \u003d f 4. การคำนวณรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอีกครั้งเป็นด้าน A และ B ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในแนวทแยงมุมนั้นตั้งฉากกัน 5. คำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ A \u003d 4I + 7J + 3K และ B \u003d 31 - 5J + K 6. ค้นหาหน่วยเวกเตอร์ A0, เวกเตอร์ขนาน A \u003d (6, 7, -6) 7. ค้นหาการฉายภาพของเวกเตอร์ A \u003d L + J- KHA Vector B \u003d 21 - J - 3K 8. ค้นหาโคไซน์ของมุมระหว่างคือเวกเตอร์ถ้า A (-4,0,0,4) ใน (-1,6,7), C (1,10,9) 9. ค้นหาเวกเตอร์เดียวของ P °ในเวลาเดียวกันเวกเตอร์ตั้งฉาก A \u003d (3, 6, 8) และแกนวัว 10. คำนวณไซนัสมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของ Paralleloofamma สร้างขึ้นในเวกเตอร์ A \u003d 2i + J-K, B \u003d I-3J + K เช่นเดียวกับด้านข้าง คำนวณความสูง h parall.epiped, สร้างขึ้นในเวกเตอร์ A \u003d 31 + 2J - 5K, B \u003d i- J + 4KNC \u003d I-3J + K หากฐานถูกถ่ายโดยสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นในเวกเตอร์ A และ I) คำตอบ

คุณสมบัติของชิ้นส่วนของสเกลาร์

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์นิยามคุณสมบัติ

การดำเนินงานเชิงเส้นมากกว่าเวกเตอร์

เวกเตอร์แนวคิดพื้นฐานคำจำกัดความการดำเนินงานเชิงเส้นกับพวกเขา

เวกเตอร์บนเครื่องบินเรียกว่าไพ่คู่ที่สั่งซื้อในขณะที่จุดแรกเรียกว่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่สอง - เวกเตอร์

สองเวกเตอร์เรียกว่าเท่ากันหากมีความเท่าเทียมกันและร่วม

เวกเตอร์นอนอยู่บนเส้นตรงหนึ่งสายเรียกว่าเหรียญถ้าพวกเขาเคลือบด้วยบางอย่างและเวกเตอร์เดียวกันไม่ได้นอนอยู่บนเส้นตรงนี้

เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้นหรือบนตรงตามขนานเรียกว่า collinear และ collinear แต่ไม่ได้ร่วมกัน - ทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์นอนอยู่บนเส้นตรงตั้งฉากเรียกว่า orthogonal

ความละเอียดสูง 5.4. ผลรวม a + B เวกเตอร์ ก. และ b. เรียกว่าเวกเตอร์มาจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ แต่ ในตอนท้ายของเวกเตอร์ b. หากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ b. เกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ แต่ .

ความละเอียดสูง 5.5. ความแตกต่าง a - B. เวกเตอร์ แต่ และ b. เรียกว่าเวกเตอร์ดังกล่าว จาก ซึ่งเป็นผลรวมกับเวกเตอร์ b. ให้เวกเตอร์ แต่ .

ความละเอียดสูง 5.6 งานเค. ก. เวกเตอร์ แต่ จำนวน เค.เรียกว่าเวกเตอร์ b. , Collinear Vector แต่ มีโมดูลเท่ากัน เค.||ก. | และทิศทางที่สอดคล้องกับทิศทาง แต่ สำหรับ เค.\u003e 0 และตรงกันข้าม แต่ สำหรับ เค.<0.

คุณสมบัติการคูณเวกเตอร์โดย:

คุณสมบัติ 1. k (a + B ) \u003d K ก.+ เค b..

อสังหาริมทรัพย์ 2. (k + m)ก. \u003d เค ก.+ M. ก..

คุณสมบัติ 3. k (M. ก.) \u003d (กม.)ก. .

conollary หากไม่มีเวกเตอร์ แต่ และ b. collinear แล้วมีจำนวนดังกล่าว เค., อะไร b \u003d. เค. ก..

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสองเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ก. และ b. มันเรียกว่าหมายเลข (สเกลาร์) เท่ากับผลิตภัณฑ์ของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้บนโคไซน์ของมุมφระหว่างพวกเขา ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามารถแสดงได้หลายวิธีเช่นเช่นเดียวกับ ab, ก. · b., (ก. , b.), (ก. · b.. ดังนั้นผลิตภัณฑ์สเกลาร์คือ:

ก. · b. = |ก.| · | b.| · COS φ

หากอย่างน้อยหนึ่งของเวกเตอร์เป็นศูนย์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นศูนย์

·คุณสมบัติของการเปลี่ยนแปลง: ก. · b. = b. · ก. (ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงตัวคูณ);

·คุณสมบัติการจัดจำหน่าย: ก. · ( b. · ค.) = (ก. · b.) · ค. (ผลลัพธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับคำสั่งของการคูณ);

·คุณสมบัติการรวมกัน (เกี่ยวกับปัจจัยสเกลาร์): (λ ก.) · b. = λ ( ก. · b.).

·คุณสมบัติของมุมฉาก (ตั้งฉาก): ถ้าเวกเตอร์ ก. และ b. ไม่ใช่ศูนย์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขาเป็นศูนย์เฉพาะเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมฉาก (ตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ ) ก. ┴ b.;

·คุณสมบัติสแควร์: ก. · ก. = ก. 2 = |ก.| 2 (ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์นั้นเท่ากับจัตุรัสของโมดูล)

·หากพิกัดเวกเตอร์พิกัด ก.\u003d (x 1, y 1, z 1) และ b.\u003d (x 2, y 2, Z 2) จากนั้นผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะเท่ากัน ก. · b. \u003d x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

เวกเตอร์โฮลดิ้งเวกเตอร์ คำนิยาม: ภายใต้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์และเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นเวกเตอร์ที่:

โมดูลเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนข้อมูลของเวกเตอร์ I.e. ที่มุมระหว่างเวกเตอร์กับ

เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตัวแปร I.e.

หากเวกเตอร์เป็นนีโอลีไลน์พวกเขาจะสร้างเวกเตอร์สามตัวขวา

คุณสมบัติของงานเวกเตอร์:

1. เมื่อเปลี่ยนลำดับของปัจจัยผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนสัญญาณไปทางตรงกันข้ามการบันทึกโมดูล I.e.

2 .Vector Square เป็นศูนย์ - เวกเตอร์, I.e.

3 . สามารถสร้างทวีคูณได้เต็มรูปแบบสำหรับสัญญาณทำงานเวกเตอร์ I.E.

4 . สำหรับผู้ที่มีความเท่าเทียมกันทั้งสามเวกเตอร์

5 . EUGENE และสภาพที่เพียงพอสำหรับการสร้างคอลล่วงของสองเวกเตอร์และ:

เห็นได้ชัดว่าในกรณีของการทำงานเวกเตอร์คำสั่งที่ใช้เวกเตอร์ยิ่งกว่านั้น

นอกจากนี้โดยตรงจากคำจำกัดความมันติดตามได้สำหรับสเกลาร์ทวีคูณ K (หมายเลข) ต่อไปนี้เป็นจริง:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์คอลลินีสเท่ากับศูนย์เวกเตอร์ นอกจากนี้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์เป็นศูนย์ถ้าหากพวกเขาเป็น Collegear (ในกรณีที่หนึ่งในพวกเขาเป็นศูนย์เวกเตอร์จะต้องจำได้ว่าเวกเตอร์ศูนย์คือ collinear ในเวกเตอร์ใด ๆ โดยนิยาม)

งานเวกเตอร์ครอบครอง อสังหาริมทรัพย์, i.e

การแสดงออกของศิลปะเวกเตอร์ผ่านพิกัดของเวกเตอร์

ให้สองรุ่นได้รับ

(วิธีการค้นหาพิกัดของพิกัดเวกเตอร์ของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด - ดูบทความผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์นิยามรายการทางเลือกของผลิตภัณฑ์สเกลาร์หรือคำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวที่ระบุโดยพิกัด)

ทำไมฉันต้องทำงานเวกเตอร์?

มีหลายวิธีในการใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เช่นเดียวกับที่เขียนไว้แล้วข้างต้นการคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์สามารถพบได้ว่าพวกเขาเป็น collinear หรือไม่

หรือสามารถใช้เป็นวิธีการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความความยาวของเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้

นอกจากนี้ยังมีการใช้งานจำนวนมากในไฟฟ้าและแม่เหล็ก

เครื่องคิดเลขศิลปะเวกเตอร์ออนไลน์

ในการค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสองเวกเตอร์โดยใช้เครื่องคิดเลขนี้คุณต้องเข้าสู่บรรทัดแรกตามลำดับของพิกัดของเวกเตอร์แรกในวินาทีที่สอง พิกัดของเวกเตอร์สามารถคำนวณได้โดยพิกัดของจุดเริ่มต้นและสิ้นสุดของพวกเขา (ดูบทความ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์นิยามรายการทางเลือกของผลิตภัณฑ์สเกลาร์หรือคำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสองเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัดของมัน)