เวกเตอร์งานศิลปะบนเวกเตอร์ เวกเตอร์ศิลปะ

ผลิตภัณฑ์ที่หลากหลายของสามเวกเตอร์และคุณสมบัติของมัน

งานผสม สามเวกเตอร์เรียกหมายเลขเท่ากับ หมายถึง . ที่นี่ทั้งสองเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ทวีคูณและจากนั้นเวกเตอร์ที่ได้จะถูกคูณด้วยสเกลาร์ในเวกเตอร์ที่สาม เห็นได้ชัดว่าผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเป็นจำนวนหนึ่ง

พิจารณาคุณสมบัติของงานผสม

1. ความหมายทางเรขาคณิต งานผสม ผลิตภัณฑ์ที่หลากหลายของ 3 เวกเตอร์ที่มีความแม่นยำของเครื่องหมายเท่ากับปริมาณของลวดลายขนานสร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้เช่นเดียวกับบนถูไม้ I.e. .

   ดังนั้นและ .

   

   หลักฐาน. เราเลื่อนเวกเตอร์จากการเริ่มต้นทั่วไปและสร้างขนานกับพวกเขา แสดงและจดบันทึกว่า โดยนิยามของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

   สมมติว่าและหมายถึงการแสดงผ่าน เอช. ความสูงของขนานที่เราพบ

   ดังนั้นเมื่อ

   ถ้าแล้ว ดังนั้น.

   การรวมทั้งสองกรณีเหล่านี้เราได้รับหรือ

   จากการพิสูจน์ของอสังหาริมทรัพย์นี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นไปตามที่ด้านบนของเวกเตอร์นั้นถูกต้องแล้วผลิตภัณฑ์ผสมและถ้าซ้ายแล้ว

2. สำหรับเวกเตอร์ใด ๆ ความเสมอภาคอย่างยุติธรรม

   หลักฐานของอสังหาริมทรัพย์นี้ติดตามจากอสังหาริมทรัพย์ 1 อันที่จริงมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า และสัญญาณ "+" และ "-" ถูกถ่ายในเวลาเดียวกันเพราะ มุมระหว่างเวกเตอร์และในเวลาเดียวกันคมหรือโง่

3. เมื่อมีสองปัจจัยใด ๆ งานผสมเปลี่ยนสัญญาณ

   แน่นอนถ้าเราพิจารณางานผสมแล้วตัวอย่างเช่นหรือ

4. งานผสมถ้าและเฉพาะในกรณีที่หนึ่งในปัจจัยคือศูนย์หรือเวกเตอร์ - ช่อง

   หลักฐาน.

   ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสหายของ 3 เวกเตอร์คือศูนย์ความเท่าเทียมกันของงานผสมของพวกเขา นอกจากนี้ยังติดตามว่าเวกเตอร์สามแบบเป็นพื้นฐานในอวกาศถ้า

   หากระบุเวกเตอร์ในรูปแบบพิกัดจะสามารถแสดงได้ว่าผลิตภัณฑ์ที่ผสมของพวกเขาอยู่ในสูตร:

   .

   ต. เกี่ยวกับ. ผลิตภัณฑ์ผสมเท่ากับตัวกำหนดลำดับที่สามซึ่งพิกัดเวกเตอร์แรกอยู่ในบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สอง - พิกัดของเวกเตอร์ที่สองและในบรรทัดที่สาม - เวกเตอร์ที่สาม

   ตัวอย่าง.

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ในอวกาศ

สมการ f (x, y, z) \u003d 0 กำหนดในอวกาศ oxyz พื้นผิวบางอย่าง, I.e. จุดตำแหน่งทางเรขาคณิตที่มีพิกัด x, y, z ตอบสนองสมการนี้ สมการนี้เรียกว่าสมการของพื้นผิวและ x, y, z - พิกัดปัจจุบัน

อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่พื้นผิวถูกกำหนดโดยสมการ แต่เป็นชุดของจุดอวกาศที่มีคุณสมบัติเฉพาะ ในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้สมการพื้นผิวตามคุณสมบัติทางเรขาคณิต

เครื่องบิน.

ระนาบเวกเตอร์ปกติ

สมการของระนาบผ่านจุดนี้

พิจารณาในอวกาศระนาบโดยพลการ ตำแหน่งของมันถูกกำหนดโดยการออกแบบของเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้และบางจุดคงที่ m 0.(x 0, y 0, z 0) นอนอยู่บนเครื่องบินσ

ระนาบตั้งฉากเวกเตอร์σเรียกว่า ปกติ เวกเตอร์ของระนาบนี้ ให้เวกเตอร์มีพิกัด

เราได้รับสมการของเครื่องบินσที่ผ่านจุดนี้ m 0. และมีเวกเตอร์ปกติ ทำสิ่งนี้ใช้กับเครื่องบินσจุดโดยพลการ m (x, y, z) และดูที่เวกเตอร์

สำหรับจุดใดก็ได้ เอ็มîσเวกเตอร์ดังนั้นผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขาเป็นศูนย์ ความเสมอภาคนี้เป็นเงื่อนไขที่จุด เอ็มîσ มันใช้ได้สำหรับทุกจุดของระนาบนี้และถูกรบกวนทันทีที่จุด เอ็ม ปรากฎว่าออกจากเครื่องบินσ

หากคุณกำหนดให้ผ่านรัศมี - เวกเตอร์จุด เอ็ม- รัศมี - เวกเตอร์จุด m 0.ดังนั้นสมการสามารถเขียนเป็น

สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์ สมการของเครื่องบิน เราเขียนไว้ในรูปแบบพิกัด ตั้งแต่นั้นมา

ดังนั้นเราได้รับสมการของระนาบที่ผ่านจุดนี้ ดังนั้นเพื่อที่จะดึงสมการของระนาบคุณต้องรู้พิกัดของเวกเตอร์ปกติและพิกัดของบางจุดนอนอยู่บนเครื่องบิน

โปรดทราบว่าสมการของระนาบเป็นสมการของระดับที่ 1 เมื่อเทียบกับพิกัดปัจจุบัน x, y และ z..

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเครื่องบิน

มันสามารถแสดงได้ว่าสมการใด ๆ ของระดับแรกที่สัมพันธ์กับพิกัดคาร์ทีเซียน x, y, z มันเป็นสมการของระนาบบางตัว สมการนี้เขียนในแบบฟอร์ม:

AX + โดย + CZ + D=0

และเรียกว่า สมการทั่วไป เครื่องบินและประสานงาน A, B, C นี่คือพิกัดของเวกเตอร์ระนาบปกติ

พิจารณากรณีส่วนตัวของสมการทั่วไป เราค้นหาว่าเครื่องบินอยู่ที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดอย่างไรหากค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าของสมการได้รับการรักษาในศูนย์

A คือความยาวของส่วนที่ถูกตัดโดยเครื่องบินแกน วัว.. ในทำนองเดียวกันคุณสามารถแสดงให้เห็นว่า b. และ ค. - ความยาวของเซ็กเมนต์ถูกตัดออกจากเครื่องบินภายใต้การพิจารณาของแกน oy. และ ออนซ์..

สมการของระนาบในกลุ่มมีความสะดวกในการใช้สำหรับการก่อสร้างเครื่องบิน

คุณสมบัติของชิ้นส่วนของสเกลาร์

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์นิยามคุณสมบัติ

การดำเนินงานเชิงเส้นมากกว่าเวกเตอร์

เวกเตอร์แนวคิดพื้นฐานคำจำกัดความการดำเนินงานเชิงเส้นกับพวกเขา

เวกเตอร์บนเครื่องบินเรียกว่าไพ่คู่ที่สั่งซื้อในขณะที่จุดแรกเรียกว่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่สอง - เวกเตอร์

สองเวกเตอร์เรียกว่าเท่ากันหากมีความเท่าเทียมกันและร่วม

เวกเตอร์นอนอยู่บนเส้นตรงหนึ่งสายเรียกว่าเหรียญถ้าพวกเขาเคลือบด้วยบางอย่างและเวกเตอร์เดียวกันไม่ได้นอนอยู่บนเส้นตรงนี้

เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้นหรือบนตรงตามขนานเรียกว่า collinear และ collinear แต่ไม่ได้ร่วมกัน - ทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์นอนอยู่บนเส้นตรงตั้งฉากเรียกว่า orthogonal

ความละเอียดสูง 5.4. ผลรวม a + B เวกเตอร์ ก. และ b. เรียกว่าเวกเตอร์มาจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ แต่ ในตอนท้ายของเวกเตอร์ b. หากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ b. เกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ แต่ .

ความละเอียดสูง 5.5. ความแตกต่าง a - B. เวกเตอร์ แต่ และ b. เรียกว่าเวกเตอร์ดังกล่าว จาก ซึ่งเป็นผลรวมกับเวกเตอร์ b. ให้เวกเตอร์ แต่ .

ความละเอียดสูง 5.6 งานเค. ก. เวกเตอร์ แต่ จำนวน เค.เรียกว่าเวกเตอร์ b. , Collinear Vector แต่ มีโมดูลเท่ากัน เค.||ก. | และทิศทางที่สอดคล้องกับทิศทาง แต่ สำหรับ เค.\u003e 0 และตรงกันข้าม แต่ สำหรับ เค.<0.

คุณสมบัติการคูณเวกเตอร์โดย:

คุณสมบัติ 1. k (a + B ) \u003d K ก.+ เค b..

อสังหาริมทรัพย์ 2. (k + m)ก. \u003d เค ก.+ M. ก..

คุณสมบัติ 3. k (M. ก.) \u003d (กม.)ก. .

conollary หากไม่มีเวกเตอร์ แต่ และ b. collinear แล้วมีจำนวนดังกล่าว เค., อะไร b \u003d. เค. ก..

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสองเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ก. และ b. มันเรียกว่าหมายเลข (สเกลาร์) เท่ากับผลิตภัณฑ์ของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้บนโคไซน์ของมุมφระหว่างพวกเขา ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามารถแสดงได้หลายวิธีเช่นเช่นเดียวกับ ab, ก. · b., (ก. , b.), (ก. · b.. ดังนั้นผลิตภัณฑ์สเกลาร์คือ:

ก. · b. = |ก.| · | b.| · COS φ

หากอย่างน้อยหนึ่งของเวกเตอร์เป็นศูนย์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นศูนย์

·คุณสมบัติของการเปลี่ยนแปลง: ก. · b. = b. · ก. (ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงตัวคูณ);

·คุณสมบัติการจัดจำหน่าย: ก. · ( b. · ค.) = (ก. · b.) · ค. (ผลลัพธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับคำสั่งของการคูณ);

·คุณสมบัติการรวมกัน (เกี่ยวกับปัจจัยสเกลาร์): (λ ก.) · b. = λ ( ก. · b.).

·คุณสมบัติของมุมฉาก (ตั้งฉาก): ถ้าเวกเตอร์ ก. และ b. ไม่ใช่ศูนย์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกเขาเป็นศูนย์เฉพาะเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมฉาก (ตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ ) ก. ┴ b.;

·คุณสมบัติสแควร์: ก. · ก. = ก. 2 = |ก.| 2 (ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์นั้นเท่ากับจัตุรัสของโมดูล)

·หากพิกัดเวกเตอร์พิกัด ก.\u003d (x 1, y 1, z 1) และ b.\u003d (x 2, y 2, Z 2) จากนั้นผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะเท่ากัน ก. · b. \u003d x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

เวกเตอร์โฮลดิ้งเวกเตอร์ คำนิยาม: ภายใต้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์และเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นเวกเตอร์ที่:

โมดูลเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนข้อมูลของเวกเตอร์ I.e. ที่มุมระหว่างเวกเตอร์กับ

เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตัวแปร I.e.

หากเวกเตอร์เป็นนีโอลีไลน์พวกเขาจะสร้างเวกเตอร์สามตัวขวา

คุณสมบัติของงานเวกเตอร์:

1. เมื่อเปลี่ยนลำดับของปัจจัยผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนสัญญาณไปทางตรงกันข้ามการบันทึกโมดูล I.e.

2 .Vector Square เป็นศูนย์ - เวกเตอร์, I.e.

3 . สามารถสร้างทวีคูณได้เต็มรูปแบบสำหรับสัญญาณทำงานเวกเตอร์ I.E.

4 . สำหรับผู้ที่มีความเท่าเทียมกันทั้งสามเวกเตอร์

5 . EUGENE และสภาพที่เพียงพอสำหรับการสร้างคอลล่วงของสองเวกเตอร์และ:

ก่อนที่คุณจะให้แนวคิดของการทำงานเวกเตอร์หันไปหาคำถามของการวางแนวของเวกเตอร์ที่สั่งให้→, B →, C →ในพื้นที่สามมิติ

เราจะเลื่อนตัวเวกเตอร์ A →, B →, C →จากจุดหนึ่ง การวางแนวของ Triple A →, B →, C →ถูกหรือซ้ายขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ C → ในทิศทางที่การหมุนที่สั้นที่สุดของเวกเตอร์ A → K B →จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ C →ชนิดของ Troika A →, B →, C →ถูกกำหนด

หากการหมุนที่สั้นที่สุดดำเนินการทวนเข็มนาฬิกาจากนั้นสามตัวของเวกเตอร์ A →, B →, C →เรียกว่า ขวาถ้าตามเข็มนาฬิกา - leva.

ต่อไปใช้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ collinear สองตัว A →และ B → จากนั้นฉันจะโพสต์จากจุด a เวกเตอร์ a b → \u003d a →และ a c → \u003d b → เราสร้างเวกเตอร์ A D → \u003d C →ซึ่งอยู่ในแนวตั้งฉากพร้อมกันกับทั้ง B →และ C → ดังนั้นเมื่อสร้างเวกเตอร์ตัวเองเป็น d → \u003d c →เราสามารถทำ bicon ตั้งค่าหรือทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

สั่งสามเวกเตอร์ A →, B →, C →อาจเป็นไปตามที่เราคิดออกด้านขวาหรือซ้ายขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์

จากที่กล่าวมาเราสามารถป้อนคำจำกัดความของงานเวกเตอร์ คำจำกัดความนี้จะได้รับสำหรับสองเวกเตอร์ที่กำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของพื้นที่สามมิติ

คำนิยาม 1.

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ A →และ B → เราจะโทรหาเวกเตอร์ที่ระบุในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของพื้นที่สามมิติเช่น:

• หากเวกเตอร์เป็น→และ b → collinear มันจะเป็นศูนย์;
• มันจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ a →และเวกเตอร์ b → i.e. ∠ A → C → \u003d ∠ B → C → \u003d π 2;
• ความยาวของมันถูกกำหนดโดยสูตร: C → \u003d A →· B →· Sin ∠ A →, B →;
• กองทหารของเวกเตอร์ A →, B →, C →มีทิศทางเดียวกันกับระบบพิกัดที่ระบุ

งานศิลปะเวกเตอร์ของเวกเตอร์ A →และ B →มีการกำหนดดังต่อไปนี้: A →× B →

พิกัดของงานเวกเตอร์

เนื่องจากเวกเตอร์ใด ๆ มีพิกัดบางอย่างในระบบพิกัดคุณสามารถป้อนคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ซึ่งจะช่วยให้คุณค้นหาพิกัดตามพิกัดที่ระบุของเวกเตอร์

นิยาม 2.

ในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของพื้นที่สามมิติ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ A → \u003d (a x; a y; a z) และ b → \u003d (b x; b y; b z) เรียกว่า Vector C → \u003d A →× B → \u003d (AY · BZ - AZ ·โดย) · i → + (AZ · BX - AX · Bz) · J → + (AX ·โดย - AY · BX) · K → ที่ฉัน→, J →, K →เป็นพิกัดเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามารถนำมาใช้เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นลำดับที่สามซึ่งบรรทัดแรกคือหรือ→, J →, K →บรรทัดที่สองมีพิกัดของเวกเตอร์ A →และที่สาม - พิกัดของเวกเตอร์ B →ในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนดของเมทริกซ์นี้มีลักษณะดังนี้: c → \u003d a →× B → \u003d i → j → k → axayazbxbybz

การคัดลอกปัจจัยนี้สำหรับองค์ประกอบของบรรทัดแรกเราได้รับความเท่าเทียมกัน: c → \u003d a →× b → \u003d i → j → k → axazbxbybz \u003d ayazbybx · i → axazbxbz · j → + axaybxby → k → × B → \u003d (AY · BZ - AZ ·โดย) · i → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX ·โดย - AY · BX) · K →

คุณสมบัติของงานเวกเตอร์

เป็นที่ทราบกันดีว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในพิกัดดูเหมือนว่าจะเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ C → \u003d A →× B → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z แล้วบนพื้นฐาน คุณสมบัติของตัวกำหนดของเมทริกซ์ แสดงต่อไปนี้ คุณสมบัติของงานเวกเตอร์:

1. anti-commutativeness A →× B → \u003d - B →× A →;
2. การกระจาย A (1) → + A (2) →× B \u003d A (1) →× B → + A (2) →× B →หรือ→× B (1) → + B (2) → \u003d A →→× B (1) → + A →× B (2) →;
3. associativity λ· A →→× B → \u003d λ·→→→× B →หรือ→× (λ· B →) \u003d λ· A →→× B →ที่λเป็นหมายเลขที่ถูกต้องตามอำเภอใจ

คุณสมบัติเหล่านี้ไม่มีหลักฐานที่ยาก

ตัวอย่างเช่นเราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต่อต้านการสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

หลักฐานการต่อต้านการชนชั้น

โดยนิยาม A →× B → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z และ b → k → \u003d i → j → k → b x b y b z a x a y a z และถ้าทั้งสองบรรทัดของเมทริกซ์จัดเรียงใหม่ในสถานที่ค่าของตัวกำหนดของเมทริกซ์ควรเปลี่ยนไปที่ตรงกันข้ามดังนั้น, a →× b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d - i → j → k → bxbybzaxaz \u003d - b →× a →และพิสูจน์การต่อต้านการขายของเวกเตอร์

เวกเตอร์ศิลปะ - ตัวอย่างและการแก้ปัญหา

ในกรณีส่วนใหญ่มีงานสามประเภท

ในภารกิจของประเภทแรกความยาวของสองเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกเขามักจะตั้งค่าและคุณต้องค้นหาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ในกรณีนี้ใช้สูตรต่อไปนี้ C → \u003d A →· B → SIN ∠ A →, B →

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ A →และ B →หากเป็นที่รู้จัก A → \u003d 3, B → \u003d 5, ∠ A →, B → \u003d π 4

การตัดสินใจ

การใช้นิยามของความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ A →และ B →ฉันแก้ปัญหานี้: A →× B → \u003d A →· B →· Sin ∠ A →, B → \u003d 3 · 5 · Sin π 4 \u003d 15 2 2

ตอบ: 15 2 2 .

วัตถุของประเภทที่สองเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ความยาว ฯลฯ ค้นหาผ่านพิกัดที่รู้จักกันดีของเวกเตอร์ที่ระบุ A → \u003d (a x; a y; a z) และ b → \u003d (b x; b y; b z) .

สำหรับงานประเภทนี้คุณสามารถแก้ไขตัวเลือกงานจำนวนมาก ตัวอย่างเช่นพิกัดของเวกเตอร์ A →และ B → แต่การสลายตัวของพวกเขาบนเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์มสามารถให้ได้ b → \u003d b x · i → + b y · j → + b z · k → และ C → \u003d A →× B → \u003d (AY · BZ - AZ ·โดย) · i → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX ·โดย - AY · BX) · K →หรือ เวกเตอร์ A →และ B →สามารถกำหนดได้โดยพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของพวกเขา

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสองเวกเตอร์ A → \u003d (2; 1; - 3), B → \u003d (0; - 1; 1) ค้นหาศิลปะเวกเตอร์ของพวกเขา

การตัดสินใจ

ในคำจำกัดความที่สองเราพบว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ในพิกัดที่ระบุ: A →× B → \u003d (AY · Bz - AZ ·โดย) · i → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (ขวาน·โดย - AY · BX) · k → \u003d \u003d (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · J → 2 · (- 1) - 1 · 0) · k → \u003d - 2 i → 2 j → - 2 k →

หากคุณบันทึกผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ผ่านตัวกำหนดเมทริกซ์จากนั้นวิธีการแก้ปัญหาของตัวอย่างนี้มีดังนี้: A →× B → \u003d i → J → K → AXAYAZBXBYBZ \u003d i → J → K → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →

ตอบ: A →× B → \u003d - 2 i → 2 J → - 2 K →

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ i → - j →และ i → + j → + k →ที่ฉัน→, j →, k → - orthops ของระบบพิกัด cartesian รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

การตัดสินใจ

เพื่อเริ่มต้นด้วยเราจะพบพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่ระบุ i → - J →→→→ + J → + K →ในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้

เป็นที่ทราบกันดีว่าเวกเตอร์ i → - j →และ i → + j → + k →มีพิกัด (1; - 1; 0) และ (1; 1; 1) ตามลำดับ ค้นหาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์โดยใช้ตัวกำหนดของเมทริกซ์จากนั้นเรามี i → - j →× i → + j → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - i → - j → + 2 k →

ดังนั้นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ i → j →× i → + j → + k →พิกัด (- 1; - 1; 2) ในระบบพิกัดที่กำหนด

เราจะพบความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ตามสูตร (ดูส่วนการค้นหาความยาวของเวกเตอร์): i → - j →× i → + j → + k → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6.

ตอบ: i → - J →× i → + J → + K → \u003d 6 .

ตัวอย่างที่ 4

ในระบบพิกัดรูปทรงสี่เหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัดสามคะแนน A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ถูกตั้งค่า ค้นหาเวกเตอร์บางอย่างตั้งฉากกับ B →และ C →ในเวลาเดียวกัน

การตัดสินใจ

เวกเตอร์ a b →และ c →มีพิกัดต่อไปนี้ (- 1; 2; 2) และ (0; 4; 1) ตามลำดับ พบว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ของเวกเตอร์ A B →และ C →เห็นได้ชัดว่าเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากตามคำจำกัดความและเป็น B →และเป็น C →นั่นคือการแก้ปัญหาของงานของเรา เราพบว่ามันเป็น b →× a c → \u003d i → j → k → 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 i → + j → - 4 k →

ตอบ: - 6 I → + J → - 4 K → - หนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ภารกิจประเภทที่สามมุ่งเน้นไปที่การใช้คุณสมบัติศิลปะเวกเตอร์ หลังจากการใช้งานของเราจะได้รับการแก้ไขปัญหาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เวกเตอร์ A →และ B →แนวตั้งฉากและความยาวของพวกเขาเท่ากันตามลำดับ 3 และ 4 ค้นหาความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ 3 · A → - B →× A → 2 · B → \u003d 3 · A →× A → - 2 · B → + - B →→× A → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · a →× A → + 3 · A →→→× - 2 · B → + - B →→× A → + - B →× - 2 · B →

การตัดสินใจ

โดยคุณสมบัติของการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เราสามารถเขียน 3 · A → - B →× A → 2 · B → A \u003d 3 · A →→× A → - 2 · B → + - B →→→→→ - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A →× A → + 3 · A →→× - 2 · B → + - B →× A → + - B →× - 2 · B →

โดยคุณสมบัติของการเชื่อมโยงเราจะดำเนินการสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลขสำหรับสัญลักษณ์ของเวกเตอร์ทำงานในการแสดงออกล่าสุด: 3 · A →→ A → + 3 · A →→ - 2 · B → + - B →× A → + B →× - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A →× A → + 3 · (- 2) · A →× B → + (- 1) · B →× A → + (- 1) · (- 2) ) · B →× B → \u003d \u003d 3 · A →× A → - 6 · A →→× B → - B →× A → + 2 · B →× B →

เวกเตอร์ทำงาน A →× A →และ B →× B →เท่ากับ 0, เป็น→× A → \u003d A →→→· Sin 0 \u003d 0 และ B →× B → \u003d B →· B →· Sin 0 \u003d 0 จากนั้น 3 · A →→× A → - 6 · A →→× B → - B →× A → + 2 · B →× B → \u003d - 6 · A →× B → A → A .

จากการต่อต้านการขายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ 6 · A →× B → - B →→→ \u003d - 6 · A →× B → (- 1) · A →× B → \u003d - 5 · A →× B → . .

การใช้คุณสมบัติของงานเวกเตอร์เราได้รับความเท่าเทียมกัน 3 · A → - B →× A → - 2 · B → \u003d \u003d - 5 · A →× B →

ตามเงื่อนไขเวกเตอร์ A →และ B →ตั้งฉากนั่นคือมุมระหว่างพวกเขาเท่ากับπ 2 ตอนนี้มันยังคงเป็นเพียงการทดแทนค่าที่พบในสูตรที่สอดคล้องกัน: 3 · A → - B →× A → - 2 · B → \u003d - 5 · A →× B → \u003d 5 · A →× B → \u003d 5 · A →· B →·บาป (a →, b →) \u003d 5 · 3 · 4 ·บาปπ 2 \u003d 60

ตอบ: 3 · A → - B →× A → - 2 · B → \u003d 60

ความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์เวกเตอร์มีค่าเท่ากับ A →× B → \u003d A →· B → SIN ∠ A →, B → เนื่องจากเป็นที่รู้จักกันดี (จากหลักสูตรของโรงเรียน) ว่าพื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของการทำงานของความยาวของทั้งสองฝ่ายคูณด้วยมุมระหว่างปาร์ตี้เหล่านี้ ดังนั้นความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สามเหลี่ยมคู่คือผลิตภัณฑ์ของคู่กรณีในรูปแบบของเวกเตอร์ A →และ B →รอการอนุมัติจากจุดหนึ่งบนไซนัสมุมระหว่าง พวกเขาทำบาป∠ A →, B →

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ความหมายทางกายภาพของการทำงานเวกเตอร์

ในกลไกหนึ่งในส่วนของฟิสิกส์ต้องขอบคุณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คุณสามารถกำหนดช่วงเวลาของแรงที่สัมพันธ์กับจุดของพื้นที่

นิยาม 3.

ภายใต้ช่วงเวลาของพลังงาน F →นำไปใช้กับจุด B ซึ่งสัมพันธ์กับจุดที่เราเข้าใจผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ต่อไปนี้ A B → F →

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความโปรดเลือกและกด CTRL + ENTER

มุมมองระหว่างเวกเตอร์

เพื่อให้เราสามารถแนะนำแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์คุณต้องคิดว่าแนวคิดเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้

ให้เราให้สองเวกเตอร์ $ \\ overline (α) $ และ $ \\ overline (β) $ ใช้ในอวกาศจุดใดก็ได้ $ o $ และโพสต์ออกจากเวกเตอร์ $ \\ overline (α) \u003d \\ overline (OA) $ และ $ \\ overline (β) \u003d \\ overline (OB) $ จากนั้น $ AOB $ Angle จะเป็น เรียกว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ (รูปที่ 1)

การกำหนด: $ ∠ (\\ overline (α), \\ overline (β)) $

แนวคิดของงานศิลปะเวกเตอร์และสูตร

คำนิยาม 1.

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ของเวกเตอร์ทั้งสองเรียกว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ข้อมูลทั้งสองและความยาวของมันจะเท่ากับผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์เหล่านี้กับมุมไซน์ระหว่างเวกเตอร์ข้อมูลรวมถึงเวกเตอร์นี้ที่มีสองชื่อย่อมีทิศทางที่เข้มงวดมากขึ้น เช่นเดียวกับระบบพิกัดของคาร์เดียน

การกำหนด: $ \\ overline (α) x \\ overline (β) $

คณิตศาสตร์ดูเหมือนว่า:

1. $ | \\ overline (α) x \\ overline (β) | \u003d | \\ overline (α) || \\ overline (β) | Sin\u2061∠ (\\ overline (α), \\ overline (α)) $
2. $ \\ overline (α) x \\ overline (β) ⊥ \\ overline (α) $, $ \\ overline (α) x \\ overline (β) ⊥ \\ overline (β) $
3. $ (\\ overline (α) x \\ overline (β), \\ overline (α), \\ overline (β)) $ และ $ (\\ overline (i), \\ overline (j), \\ overline (k)) $ เท่ากัน มุ่งเน้น (รูปที่ 2)

เห็นได้ชัดว่าผลิตภัณฑ์ภายนอกของเวกเตอร์จะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ในสองกรณี:

1. หากความยาวของเวกเตอร์หนึ่งหรือทั้งสองเป็นศูนย์
2. หากมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็น $ 180 ^ \\ circ $ หรือ $ 0 ^ \\ circ $ (เช่นในกรณีนี้ไซนัสเป็นศูนย์)

เพื่อดูว่าเวกเตอร์เวกเตอร์ตั้งอยู่ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ของการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ $ \\ overline (δ) $ ซึ่งจะเป็นผลมาจากผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ด้วยพิกัด $ \\ overline (α) \u003d (0.4.0) $ และ $ \\ overline (β) \u003d ( 3.0.0) $

การตัดสินใจ.

รูปภาพเวกเตอร์เหล่านี้ในพื้นที่พิกัดคาร์ทีเซียน (รูปที่ 3):

รูปที่ 3 เวกเตอร์ในพื้นที่พิกัดคาร์ทีเซียน Author24 - การแลกเปลี่ยนอินเทอร์เน็ตของนักเรียน

เราเห็นว่าเวกเตอร์เหล่านี้อยู่บนแกนของ $ OX $ และ $ OY $ ตามลำดับ ดังนั้นมุมระหว่างพวกเขาจะเป็น $ 90 ^ \\ circ $ ค้นหาความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้:

$ | \\ overline (α) | \u003d \\ sqrt (0 + 16 + 0) \u003d $ 4

$ | \\ \\ overline (β) | \u003d \\ sqrt (9 + 0 + 0) \u003d $ 3

จากนั้นตามคำนิยาม 1 เราได้รับ $ | โมดูล Overline $ (δ) | $

$ | \\ \\ overline (δ) | \u003d | \\ overline (α) || \\ overline (β) | Sin90 ^ \\ circ \u003d 4 \\ cdot 3 \\ cdot 1 \u003d 12 $

คำตอบ: $ 12 $

การคำนวณศิลปะเวกเตอร์ตามพิกัดของเวกเตอร์

จากคำจำกัดความ 1 การไหลทันทีและวิธีการค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สำหรับสองเวกเตอร์ เนื่องจากเวกเตอร์นอกเหนือจากค่ายังมีทิศทางมันเป็นไปไม่ได้ที่จะพบกับค่าสเกลาร์เท่านั้น แต่นอกจากเขายังมีวิธีการหาเวกเตอร์ด้วยพิกัดเหล่านี้

ให้เราให้ความเวกเตอร์ $ \\ overline (α) $ และ $ \\ overline (β) $ ซึ่งจะมีพิกัด $ (α_1, α_2, α_3) $ และ $ (β_1, β_2, β_3) $ ตามลำดับ จากนั้นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ทำงาน (นั่นคือพิกัดของมันสามารถพบได้ตามสูตรต่อไปนี้:

$ \\ overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ เริ่มต้น (vmatrix) \\ overline (i) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ α__1α__β3 \\\\ β_1 & β_2β_3 \\ end (vmatrix) เงิน

มิฉะนั้นเผยให้เห็นปัจจัยการควบคุมเราได้รับพิกัดต่อไปนี้

$ \\ overline (α) x \\ overline (β) \u003d (α_2β_3-α_3β_2, α_3β_1-α_1 _3, α_1β_2-α_2β_1) $

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์ของเวกเตอร์คอลลินีส $ \\ overline (α) $ และ $ \\ overline (β) $ ด้วยพิกัด $ (0.3.3) $ และ $ (- 1,2,6) $

การตัดสินใจ.

เราใช้สูตรด้านบน รับ

$ \\ overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ begin (vmatrix) \\ overline (i) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ 0 & 3 & 3 \\\\ - 1 & 2 & 6 \\\\ - 1 & 2 & 6 \\\\ - 1 & 2 & 6 \\ End (vmatrix) \u003d (18 -6) \\ overline (i) - (0 + 3) \\ overline (j) + (0 + 3) \\ overline (k) \u003d 12 \\ overline (i) -3 \\ overline (j) -3 \\ overline (j) -3 \\ overline (j) ) +3 \\ overline (k) \u003d (12, -3.3) $

คำตอบ: $ (12, -3.3) $

คุณสมบัติของเวกเตอร์งานศิลปะ

สำหรับการผสมกันสามตัวของ $ \\ overline (α) $, $ \\ overline (β) $ และ $ \\ overline (γ) $ เช่นเดียวกับ $ R∈r $ คุณสมบัติต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งจุดยอดมีพิกัด $ (3.0.0) $, $ (0.0.0) $, $ (0.8.0) $ และ $ (3.8.0) $

การตัดสินใจ.

ในขั้นต้นเราจะแสดงสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ในพื้นที่พิกัด (รูปที่ 5):

รูปที่ 5. Pollogram ในพื้นที่พิกัด Author24 - การแลกเปลี่ยนอินเทอร์เน็ตของนักเรียน

เราเห็นว่าทั้งสองด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ถูกสร้างขึ้นโดยใช้เวกเตอร์คอลลินีสที่มีพิกัด $ \\ overline (α) \u003d (3.0.0) $ และ $ \\ overline (β) \u003d (0.8.0) $ การใช้คุณสมบัติที่สี่เราได้รับ:

$ s \u003d | \\ overline (α) x \\ overline (β) | $

เราจะค้นหาเวกเตอร์ $ \\ overline (α) x \\ overline (β) $:

$ \\ overline (α) x \\ overline (β) \u003d \\ เริ่มต้น (vmatrix) \\ overline (i) \\ overline (j) & \\ overline (k) \\\\ 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 8 & 0 \\ end (vmatrix) \u003d 0 \\ overline (i) -0 \\ overline (j) +24 \\ overline (k) \u003d (0,0,24) $

ด้วยเหตุนี้

$ s \u003d | \\ overline (α) x \\ overline (β) | \u003d \\ sqrt (0 + 0 + 24 ^ 2) \u003d 24 $

ศิลปะเวกเตอร์ - นี่คือ pseudoctor ระนาบตั้งฉากสร้างขึ้นบนสองสงสัยซึ่งเป็นผลมาจากการดำเนินการไบนารี "การคูณเวกเตอร์" เหนือเวกเตอร์ในอวกาศยุคสามมิติ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่มีคุณสมบัติของการลดหย่อนและการเชื่อมโยง (ต่อต้านการสับเปลี่ยน) และไม่เหมือนกับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ ใช้กันอย่างแพร่หลายในการใช้งานทางเทคนิคและทางกายภาพจำนวนมาก ตัวอย่างเช่นช่วงเวลาของแรงกระตุ้นและ Lorentz Power บันทึกทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของงานเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีประโยชน์สำหรับ "การวัด" ของการตั้งฉากของเวกเตอร์ - โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์มีค่าเท่ากับผลิตภัณฑ์ของโมดูลของพวกเขาหากพวกเขาตั้งฉากและลดลงเป็นศูนย์หากเวกเตอร์ขนานหรือแฝง .

คุณสามารถกำหนดผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในรูปแบบที่แตกต่างกันและในทางทฤษฎีในพื้นที่ของมิติใด ๆ ใด ๆ ก็เป็นไปได้ที่จะคำนวณผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ N-1 โดยได้รับเวกเตอร์เฉพาะที่ตั้งฉากกับพวกเขาทั้งหมด แต่ถ้างาน จำกัด อยู่ที่งานไบนารีที่ไม่สำคัญกับผลลัพธ์เวกเตอร์จากนั้นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แบบดั้งเดิมจะถูกกำหนดเฉพาะในช่องว่างสามมิติและเจ็ดมิติเท่านั้น ผลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นสเกลาร์ขึ้นอยู่กับเมตริกของอวกาศยุคลิด

ในทางตรงกันข้ามกับสูตรสำหรับการคำนวณตามพิกัดของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามมิติสูตรสำหรับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับการวางแนวของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมหรือมิฉะนั้น "Chirality" เป็นอย่างอื่น

คำนิยาม:
ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ A บน Vector B ใน Space R 3 เรียกว่า Vector C พอใจตามข้อกำหนดต่อไปนี้:
ความยาวของเวกเตอร์ C เท่ากับผลิตภัณฑ์ของความยาวของเวกเตอร์ A และ B บนไซน์ของมุมφระหว่างพวกเขา:
| C | \u003d | A || B | Sin φ;
Vector C เป็น orthogonal กับแต่ละเวกเตอร์ A และ B;
เวกเตอร์ C นั้นกำกับเพื่อให้ส่วนบนของเวกเตอร์ ABC ถูกต้อง
ในกรณีของ Space R7, การเชื่อมโยงของทั้งสามเวกเตอร์ A, B, C จำเป็น
การกำหนด:
c \u003d\u003d\u003d a × b

รูปที่. 1. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับโมดูลผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

คุณสมบัติทางเรขาคณิตของการทำงานเวกเตอร์:
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการจัดคอลลอยของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวคือศูนย์ความเท่าเทียมกันของศิลปะเวกเตอร์ของพวกเขา

โมดูลของเวกเตอร์ศิลปะ เท่ากับสแควร์ S. สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนรุ่นที่กำหนดให้กับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั่วไป ก. และ b. (ดูรูปที่ 1)

ถ้าเป็น อี. - เวกเตอร์เดียวเวกเตอร์มุมฉาก ก. และ b. และเลือกเพื่อให้ไตรก้า a, B, E - ขวาและ S. - พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนพวกเขา (มอบให้กับการเริ่มต้นทั่วไป) จากนั้นสูตรจะถูกต้องสำหรับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
\u003d S E.

รูปที่ 2. ปริมาตรของขนานกันเมื่อใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และสเกลาร์ของเวกเตอร์ เส้นประแสดงการฉายภาพของเวกเตอร์ C บน× B และเวกเตอร์ A บน B × C ขั้นตอนแรกคือการหางานสเกลาร์

ถ้าเป็น ค. - เวกเตอร์บางอย่าง, π - ระนาบใด ๆ ที่มีเวกเตอร์นี้ อี. - เวกเตอร์เดียวนอนอยู่ในระนาบ π และ orthogonal k c, G.- เวกเตอร์เดี่ยว, orthogonal ไปยังเครื่องบิน π และกำกับเพื่อให้ด้านบนของเวกเตอร์ คลื่นไฟฟ้าหัวใจ ถูกต้องแล้วสำหรับเครื่องบินใด ๆ π เวกเตอร์ ก. Formula Fair:
\u003d pr e a | c | g
ที่ pr e การฉายภาพของเวกเตอร์ e บน
| คโมดูลเวกเตอร์ด้วย

เมื่อใช้งานเวกเตอร์และสเกลาร์คุณสามารถคำนวณปริมาตรของขนานที่สร้างขึ้นบนรุ่นที่กำหนดให้กับจุดเริ่มต้นทั่วไปของรุ่น a, B และ ค.. ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวของสามเวกเตอร์เรียกว่าผสม
v \u003d | A (B × C) |
ตัวเลขแสดงให้เห็นว่าโวลุ่มนี้สามารถพบได้ในสองวิธี: ผลลัพธ์ทางเรขาคณิตถูกเก็บรักษาไว้แม้ว่าจะเปลี่ยน "สเกลาร์" และ "เวกเตอร์" ทำงานในสถานที่:
v \u003d a × b c \u003d a b × c

ขนาดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ดั้งเดิมดังนั้นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามารถรับรู้เป็นระดับของ "ตั้งฉาก" ของเวกเตอร์เช่นเดียวกับผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามารถถือเป็นระดับของ "ขนาน" . ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์เดียวคือ 1 (เวกเตอร์เดียว) หากเวกเตอร์ดั้งเดิมตั้งฉากและเท่ากับ 0 (ศูนย์เวกเตอร์) หากเวกเตอร์ขนานหรือต่อต้านขนาน

การแสดงออกสำหรับเวกเตอร์ทำงานในพิกัดคาร์ทีเซียน
ถ้าสองเวกเตอร์ ก. และ b. นิยามโดยพิกัด cartesian รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของพวกเขาและแม่นยำยิ่งขึ้น - นำเสนอในพื้นฐานของ orthonormal
a \u003d (a x, a y, a z)
b \u003d (B X, B Y, B Z)
และระบบพิกัดถูกต้องแล้วศิลปะเวกเตอร์ของพวกเขามีลักษณะ
\u003d (a y b z-z b y, a z b x-x b z, a x b y -a y b x)
ในการจดจำสูตรนี้:
ฉัน \u003d σε ijk a j b k
ที่ไหน ε ijk- สัญลักษณ์ Levi-Civita