วิธีหาปริมาตรของลูกบอล: สูตรพื้นฐานและตัวอย่างการใช้งาน ปริมาตรของลูกบอล คำนวณมวลของลูกบอล

คำจำกัดความของลูกบอล

ลูกบอลเป็นวัตถุซึ่งจุดทั้งหมดอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดให้เป็นระยะทางไม่เกิน R

เครื่องคิดเลขออนไลน์

จุดที่กำหนดที่อ้างถึงในคำจำกัดความของลูกบอลเรียกว่า ศูนย์ลูกนี้ และระยะทางดังกล่าวคือ รัศมีของลูกนี้.

ทรงกลมโดยการเปรียบเทียบกับวงกลมก็มีเส้นผ่านศูนย์กลางเช่นกัน ดี ดี งซึ่งยาวเป็นสองเท่าของรัศมี:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ ร

สูตรหาปริมาตรของทรงกลมในรูปของรัศมี

ปริมาตรของทรงกลมคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

สูตรหาปริมาตรของทรงกลมในรูปของรัศมี

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3วี =3 4 ​ ⋅ π ⋅ ร 3

อาร์ อาร์ รคือรัศมีของทรงกลมที่กำหนด

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ภารกิจที่ 1

ลูกบอลถูกจารึกไว้ในลูกบาศก์ในแนวทแยง d d งซึ่งเท่ากับ 500 ดู \sqrt(500)\text( ดู)5 0 0 ​ ซม.หาปริมาตรของทรงกลม.

สารละลาย

D=500 d=\sqrt(500) ง=5 0 0 ​

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดความยาวของด้านของลูกบาศก์ เราจะถือว่ามันเท่ากับ ก ก. ดังนั้นเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์คือ (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)ง=ก 2 + ก 2 + ก 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)ง=3 ⋅ ก 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot กง=3 ​ ⋅ ก

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot ก5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ ก

= 500 3 =\sqrt(\frac(500)(3))ก =3 5 0 0 ​ ​

ก ≈ 12.9 ก\ประมาณ 12.9 ≈1 2 . 9

ถ้าใส่ทรงกลมลงในลูกบาศก์ รัศมีของมันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวด้านของลูกบาศก์นี้ เป็นผลให้เรามี:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aร=2 1 ​ ⋅ ก

R = 1 2 ⋅ 12.9 ≈ 6.4 R=\frac(1)(2)\cdot 12.9\ประมาณ6.4ร=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

ขั้นตอนสุดท้ายคือการหาปริมาตรของลูกบอลโดยใช้สูตร:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097 .5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\ประมาณ\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\ประมาณ 1097.5\text( ซม.)^3วี =3 4 ​ ⋅ π ⋅ ร 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 ซม3

คำตอบ

1097, 5 ซม. 3. 1097.5\text(ซม.)^31 0 9 7 , 5 ซม3 .

สูตรสำหรับปริมาตรของทรงกลมในแง่ของเส้นผ่านศูนย์กลาง

ปริมาตรของทรงกลมสามารถหาได้จากเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน ในการทำเช่นนี้ เราใช้ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ ร

R = D 2 R=\frac(D)(2) ร=2 ง​

แทนที่นิพจน์นี้ในสูตรสำหรับปริมาตรของลูกบอล:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3วี =3 4 ​ ⋅ π ⋅ ร 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 ง​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ ง 3

ปริมาณบอลผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3วี =6 π ​ ⋅ ง 3

ดี ดี งคือเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม

ภารกิจที่ 2

เส้นผ่าศูนย์กลางลูกคือ 15 ซม. 15\ข้อความ( ซม.) 1 5 ซม.ค้นหาปริมาณของมัน

สารละลาย

D=15 D=15 D=1 5

แทนที่ค่าของเส้นผ่านศูนย์กลางลงในสูตรทันที:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766.25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ ประมาณ 1766.25\text(ซม.)^3วี =6 π ​ ⋅ ง 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 ซม3

คำตอบ

$1766.25\text{ซม3 .}$

ร่างกายจำนวนมากที่เราพบเห็นในชีวิตหรือที่เราเคยได้ยินมีรูปร่างเป็นทรงกลม เช่น ลูกฟุตบอล หยดน้ำที่ตกลงมาขณะฝนตก หรือโลกของเรา ในเรื่องนี้ มีความเกี่ยวข้องกับการพิจารณาคำถามเกี่ยวกับวิธีหาปริมาตรของลูกบอล

ฟิกเกอร์บอลในรูปทรงเรขาคณิต

ก่อนจะตอบคำถามของลูก เรามาดูเนื้อความนี้กันดีกว่า บางคนสับสนกับทรงกลม ภายนอก พวกมันคล้ายกันมาก แต่ลูกบอลเป็นวัตถุที่บรรจุอยู่ภายใน ในขณะที่ทรงกลมเป็นเพียงเปลือกนอกของลูกบอลที่มีความหนาน้อยมาก

จากมุมมองของรูปทรงเรขาคณิต ลูกบอลสามารถแสดงด้วยชุดของจุดต่างๆ และลูกบอลที่วางอยู่บนพื้นผิว (ก่อตัวเป็นทรงกลม) นั้นอยู่ห่างจากศูนย์กลางของรูปในระยะที่เท่ากัน ระยะทางนี้เรียกว่ารัศมี ความจริงแล้ว รัศมีเป็นตัวแปรเดียวที่คุณสามารถอธิบายคุณสมบัติใดๆ ของลูกบอลได้ เช่น พื้นที่ผิวหรือปริมาตรของมัน

รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างลูกบอล

หากคุณดูวัตถุทรงกลมในอุดมคตินี้อย่างใกล้ชิด คุณสามารถเดาได้ว่าจะได้มาจากวงกลมธรรมดาได้อย่างไร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะหมุนรูปแบนนี้รอบแกนที่ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

หนึ่งในแหล่งวรรณกรรมโบราณที่รู้จักกันดีซึ่งคุณสมบัติของตัวเลขสามมิตินี้ได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดเพียงพอคือผลงานของ Euclid นักปรัชญาชาวกรีก - "Elements"

พื้นที่ผิวและปริมาตร

เมื่อพิจารณาคำถามว่าจะหาปริมาตรของลูกบอลได้อย่างไร นอกจากปริมาณนี้แล้ว ควรให้สูตรสำหรับพื้นที่ของมันด้วย เนื่องจากทั้งสองนิพจน์สามารถเกี่ยวข้องกันได้ดังที่แสดงด้านล่าง

ดังนั้นในการคำนวณปริมาตรของลูกบอล ควรใช้หนึ่งในสองสูตรต่อไปนี้:

• V = 4/3 *pi * R3;
• V = 67/16 * R3.

โดยที่ R คือรัศมีของรูป สูตรแรกจากสูตรข้างต้นนั้นถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เพื่อใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ คุณต้องใช้จำนวนตำแหน่งทศนิยมที่เหมาะสมสำหรับจำนวน pi นิพจน์ที่สองให้ผลลัพธ์ที่ค่อนข้างดี แตกต่างจากนิพจน์แรกเพียง 0.03% สำหรับปัญหาทางปฏิบัติหลายประการ ความแม่นยำนี้มากเกินพอ

มันเท่ากับค่านี้สำหรับทรงกลม นั่นคือมันแสดงโดยสูตร S = 4 * pi * R2 ถ้าเราแสดงรัศมีจากตรงนี้ แล้วแทนค่าลงในสูตรแรกสำหรับปริมาตร เราจะได้: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * ปี่)).

ดังนั้นเราจึงพิจารณาคำถามเกี่ยวกับวิธีหาปริมาตรของลูกบอลผ่านรัศมีและพื้นที่ผิวของมัน นิพจน์เหล่านี้สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้สำเร็จ ด้านล่างในบทความเราจะยกตัวอย่างการใช้งาน

ปัญหาฝนตก

น้ำเมื่อมีแรงโน้มถ่วงเป็นศูนย์จะอยู่ในรูปของหยดน้ำทรงกลม นี่เป็นเพราะการปรากฏตัวของแรงตึงผิวซึ่งมีแนวโน้มที่จะลดพื้นที่ผิวให้เหลือน้อยที่สุด ในทางกลับกัน ลูกบอลมีค่าน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงเรขาคณิตที่มีมวลเท่ากัน

ในช่วงฝนตก หยดน้ำที่ตกลงมาจะมีแรงโน้มถ่วงเป็นศูนย์ ดังนั้นรูปร่างของมันจึงเป็นลูกบอล (เราละเลยแรงต้านของอากาศที่นี่) จำเป็นต้องหาปริมาตร พื้นที่ผิว และรัศมีของหยดนี้ ถ้าทราบว่ามีมวล 0.05 กรัม

กำหนดปริมาตรได้ง่าย ด้วยเหตุนี้คุณควรแบ่งมวลที่ทราบด้วยความหนาแน่นของ H 2 O (ρ \u003d 1 g / cm 3) จากนั้น V \u003d 0.05 / 1 \u003d 0.05 ซม. 3

เมื่อรู้วิธีหาปริมาตรของลูกบอลแล้ว คุณควรแสดงรัศมีจากสูตรและแทนค่าผลลัพธ์ เรามี: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0.05 / (4 * 3.1416)) = 0.2285 ซม.

ตอนนี้เราแทนค่ารัศมีลงในนิพจน์สำหรับพื้นที่ผิวของรูป เราจะได้: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 cm 2

ดังนั้น เมื่อทราบวิธีหาปริมาตรของลูกบอล เราจึงได้คำตอบสำหรับคำถามทั้งหมดของปัญหา: R = 2.285 mm, S = 0.6561 cm 2 และ V = 0.05 cm 3

ในรูปทรงเรขาคณิต ลูกบอลถูกกำหนดให้เป็นวัตถุบางอย่างซึ่งเป็นที่รวมของจุดทั้งหมดในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากศูนย์กลางในระยะไม่เกินที่กำหนดเรียกว่ารัศมีของลูกบอล พื้นผิวของทรงกลมเรียกว่าทรงกลม และเกิดขึ้นจากการหมุนครึ่งวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งยังคงไม่เคลื่อนที่

รูปทรงเรขาคณิตนี้มักพบโดยวิศวกรออกแบบและสถาปนิกซึ่งมักจะต้องทำ คำนวณปริมาตรของทรงกลม. ตัวอย่างเช่น ในการออกแบบระบบกันสะเทือนหน้าของรถยนต์สมัยใหม่ส่วนใหญ่ จะใช้สิ่งที่เรียกว่าตลับลูกปืน ซึ่งคุณอาจคาดเดาได้จากชื่อของมัน ลูกบอลเป็นหนึ่งในองค์ประกอบหลัก ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเชื่อมต่อฮับของพวงมาลัยและคันโยก จากขวาจะเป็นอย่างไร คำนวณปริมาณของพวกเขาส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับความทนทานของหน่วยเหล่านี้และความถูกต้องของงาน แต่ยังรวมถึงความปลอดภัยในการจราจรด้วย

ในเทคโนโลยีมีการใช้ชิ้นส่วนเช่นตลับลูกปืนอย่างแพร่หลายโดยใช้เพลายึดกับชิ้นส่วนคงที่ของหน่วยและชุดประกอบต่าง ๆ และหมุนได้ ควรสังเกตว่าเมื่อทำการคำนวณนักออกแบบต้องการ หาปริมาตรของทรงกลม(หรือมากกว่านั้นคือลูกบอลที่วางอยู่ในกรง) ที่มีความแม่นยำสูง สำหรับการผลิตลูกบอลโลหะสำหรับตลับลูกปืนนั้นทำจากลวดโลหะโดยใช้กระบวนการทางเทคโนโลยีที่ซับซ้อนซึ่งรวมถึงขั้นตอนการขึ้นรูป การชุบแข็ง การบดหยาบ การบดละเอียด และการทำความสะอาด อย่างไรก็ตาม ลูกบอลเหล่านั้นที่รวมอยู่ในการออกแบบปากกาลูกลื่นทั้งหมดนั้นผลิตขึ้นโดยใช้เทคโนโลยีเดียวกันทุกประการ

บ่อยครั้งที่มีการใช้ลูกบอลในสถาปัตยกรรมและส่วนใหญ่มักเป็นองค์ประกอบตกแต่งอาคารและโครงสร้างอื่น ๆ ในกรณีส่วนใหญ่พวกเขาทำจากหินแกรนิตซึ่งมักจะต้องใช้แรงงานจำนวนมาก แน่นอน ไม่จำเป็นต้องสังเกตความเที่ยงตรงสูงเช่นนี้ในการผลิตลูกบอลเหล่านี้เหมือนที่ใช้ในหน่วยและกลไกต่างๆ

เกมที่น่าสนใจและเป็นที่นิยมเช่นบิลเลียดนั้นคิดไม่ถึงหากไม่มีลูกบอล สำหรับการผลิตของพวกเขาใช้วัสดุต่างๆ (กระดูก, หิน, โลหะ, พลาสติก) และใช้กระบวนการทางเทคโนโลยีต่างๆ ข้อกำหนดหลักประการหนึ่งสำหรับลูกบิลเลียดคือความแข็งแรงสูงและความสามารถในการทนต่อภาระเชิงกลสูง (การกระแทกเป็นหลัก) นอกจากนี้พื้นผิวจะต้องเป็นทรงกลมที่แน่นอนเพื่อให้แน่ใจว่าพื้นผิวของโต๊ะบิลเลียดจะเรียบและสม่ำเสมอ

ในที่สุดไม่มีปีใหม่หรือต้นคริสต์มาสต้นเดียวที่สามารถทำได้หากไม่มีรูปทรงเรขาคณิตเช่นลูกบอล การตกแต่งเหล่านี้ส่วนใหญ่ทำจากแก้วโดยการเป่า และในการผลิตนั้นไม่ได้ให้ความสำคัญกับความแม่นยำของมิติ แต่เพื่อความสวยงามของผลิตภัณฑ์ ในขณะเดียวกัน กระบวนการทางเทคโนโลยีเกือบจะเป็นไปโดยอัตโนมัติทั้งหมด และลูกบอลคริสต์มาสจะถูกบรรจุด้วยมือเท่านั้น

ก่อนที่จะเริ่มศึกษาแนวคิดของลูกบอล ปริมาตรของลูกบอลคืออะไร เพื่อพิจารณาสูตรสำหรับการคำนวณพารามิเตอร์ จำเป็นต้องระลึกถึงแนวคิดของวงกลม ซึ่งศึกษาก่อนหน้านี้ในหลักสูตรเรขาคณิต ท้ายที่สุดแล้ว การกระทำส่วนใหญ่ในปริภูมิสามมิติจะคล้ายกันหรือตามมาจากรูปทรงเรขาคณิตสองมิติ ซึ่งปรับตามลักษณะของพิกัดที่สามและองศาที่สาม

วงกลมคืออะไร?

วงกลมเป็นรูปบนระนาบคาร์ทีเซียน (แสดงในรูปที่ 1); บ่อยครั้งที่คำจำกัดความฟังดูเหมือน "ตำแหน่งของจุดทั้งหมดบนระนาบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังจุดที่กำหนด (ศูนย์กลาง) ไม่เกินจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งเรียกว่ารัศมี"

ดังที่คุณเห็นจากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของรูป และเซตของจุดทั้งหมดที่เติมวงกลม เช่น A, B, C, K, E จะอยู่ไม่เกินรัศมีที่กำหนด (อย่าเกินวงกลมที่แสดงในรูป .2)

ถ้ารัศมีเป็นศูนย์ วงกลมจะกลายเป็นจุด

ปัญหาเกี่ยวกับความเข้าใจ

นักเรียนมักสับสนแนวคิดเหล่านี้ ง่ายต่อการจดจำด้วยการเปรียบเทียบ ห่วงที่เด็ก ๆ บิดในบทเรียนพลศึกษาเป็นวงกลม เมื่อเข้าใจสิ่งนี้หรือจำไว้ว่าตัวอักษรตัวแรกของทั้งสองคำคือ "O" เด็ก ๆ จะเข้าใจความแตกต่างในการจำ

การแนะนำแนวคิดของ "บอล"

ลูกบอลเป็นร่างกาย (รูปที่ 3) ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกลม "พื้นผิวทรงกลม" แบบใดที่จะชัดเจนจากคำจำกัดความ: นี่คือตำแหน่งของจุดทั้งหมดบนพื้นผิวระยะทางจากจุดที่กำหนด (ศูนย์กลาง) ไม่เกินจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งเรียกว่ารัศมี อย่างที่คุณเห็น แนวคิดของวงกลมและพื้นผิวทรงกลมนั้นคล้ายคลึงกัน มีเพียงช่องว่างที่พวกมันตั้งอยู่เท่านั้นที่แตกต่างกัน หากเราวาดลูกบอลในพื้นที่สองมิติ เราจะได้วงกลมซึ่งมีขอบเขตเป็นวงกลม (สำหรับลูกบอล ขอบเขตคือพื้นผิวทรงกลม) ในรูป เราเห็นพื้นผิวทรงกลมที่มีรัศมี OA = OB

บอลปิดและเปิด

ในปริภูมิเวกเตอร์และเมตริก มีการพิจารณาสองแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับพื้นผิวทรงกลมด้วย หากลูกบอลรวมทรงกลมนี้ไว้ในตัวมันเอง มันจะเรียกว่าปิด และถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ในกรณีนี้คือลูกบอลเปิด สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิด "ขั้นสูง" มากขึ้น พวกเขาได้รับการศึกษาในสถาบันเมื่อมีการแนะนำให้รู้จักกับการวิเคราะห์ สำหรับการใช้งานในชีวิตประจำวันที่เรียบง่าย สูตรเหล่านั้นที่ศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิตทึบของเกรด 10-11 ก็เพียงพอแล้ว เป็นแนวคิดเหล่านี้ที่บุคคลที่มีการศึกษาโดยเฉลี่ยเกือบทุกคนสามารถเข้าถึงได้ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป

แนวคิดที่คุณต้องรู้สำหรับการคำนวณต่อไปนี้

รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง

รัศมีของทรงกลมและเส้นผ่านศูนย์กลางถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับวงกลม

รัศมี - ส่วนที่เชื่อมต่อจุดใดๆ บนขอบเขตของลูกบอลกับจุดที่เป็นศูนย์กลางของลูกบอล

เส้นผ่านศูนย์กลาง - ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนขอบเขตของทรงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง รูปที่ 5a แสดงอย่างชัดเจนว่าส่วนใดเป็นรัศมีของลูกบอล และรูปที่ 5b แสดงเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม (ส่วนที่ผ่านจุด O)

ส่วนในทรงกลม (ลูก)

ส่วนใด ๆ ของทรงกลมคือวงกลม หากผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบอลจะเรียกว่าวงกลมขนาดใหญ่ (วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง AB) ส่วนที่เหลือเรียกว่าวงกลมขนาดเล็ก (วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง DC)

พื้นที่ของวงกลมเหล่านี้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ที่นี่ S คือการกำหนดพื้นที่ R คือรัศมี D คือเส้นผ่านศูนย์กลาง นอกจากนี้ยังมีค่าคงที่เท่ากับ 3.14 แต่อย่าสับสนว่าในการคำนวณพื้นที่ของวงกลมขนาดใหญ่จะใช้รัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล (ทรงกลม) และเพื่อกำหนดพื้นที่ขนาดของรัศมีของวงกลมขนาดเล็กนั้นจำเป็น

มีส่วนดังกล่าวจำนวนไม่สิ้นสุดที่ผ่านจุดสองจุดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันซึ่งอยู่บนขอบเขตของทรงกลม ตัวอย่างเช่น ดาวเคราะห์ของเรา: จุดสองจุดที่ขั้วโลกเหนือและใต้ ซึ่งเป็นจุดสิ้นสุดของแกนโลก และในแง่เรขาคณิต จุดสิ้นสุดของเส้นผ่านศูนย์กลาง และเส้นเมอริเดียนที่ผ่านจุดทั้งสองนี้ (รูปที่ 7) . นั่นคือจำนวนของวงกลมขนาดใหญ่ที่อยู่ใกล้ทรงกลมมีแนวโน้มที่จะเป็นปริมาณอนันต์

ชิ้นส่วนลูก

หาก "ชิ้นส่วน" ถูกตัดออกจากทรงกลมด้วยความช่วยเหลือของระนาบ (รูปที่ 8) จะเรียกว่าส่วนทรงกลมหรือทรงกลม มันจะมีความสูง - ตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางของระนาบการตัดไปยังพื้นผิวทรงกลม O 1 K จุด K บนพื้นผิวทรงกลมซึ่งมีความสูงเรียกว่าจุดสูงสุดของส่วนทรงกลม และวงกลมขนาดเล็กที่มีรัศมี O 1 T (ในกรณีนี้ตามรูประนาบไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม แต่ถ้าส่วนผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมส่วนจะมีขนาดใหญ่) , เกิดขึ้นเมื่อตัดส่วนทรงกลมออก, จะเรียกว่าฐานของชิ้นส่วนของเรา ลูกบอล - ส่วนทรงกลม.

หากเราเชื่อมต่อแต่ละจุดของฐานของส่วนทรงกลมกับจุดศูนย์กลางของทรงกลม เราจะได้รูปที่เรียกว่า "ส่วนทรงกลม"

หากระนาบสองระนาบผ่านทรงกลมซึ่งขนานกัน ส่วนของทรงกลมที่อยู่ระหว่างระนาบนั้นเรียกว่าชั้นทรงกลม (รูปที่ 9 ซึ่งแสดงทรงกลมที่มีระนาบสองระนาบและชั้นทรงกลมแยกจากกัน)

พื้นผิว (ส่วนที่ไฮไลต์ในรูปที่ 9 ทางด้านขวา) ของส่วนนี้ของทรงกลมเรียกว่าแถบ ฯลฯ) และวงกลมส่วนจะเป็นชั้นฐานของลูกบอล ความสูงของชั้น - ส่วนหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางที่วาดตั้งฉากกับระนาบการตัดจากศูนย์กลางของฐาน นอกจากนี้ยังมีแนวคิดของทรงกลมทรงกลม มันเกิดขึ้นเมื่อระนาบที่ขนานกันไม่ตัดกันทรงกลม แต่แตะกันที่จุดใดจุดหนึ่ง

สูตรคำนวณปริมาตรของลูกบอลและพื้นที่ผิวของมัน

ลูกบอลเกิดจากการหมุนรอบเส้นผ่านศูนย์กลางคงที่ของครึ่งวงกลมหรือวงกลม ในการคำนวณพารามิเตอร์ต่างๆ ของวัตถุนี้ ไม่จำเป็นต้องมีข้อมูลมากนัก

ปริมาตรของลูกบอล สูตรสำหรับการคำนวณซึ่งระบุไว้ข้างต้น ได้มาจากการรวมเข้าด้วยกัน มาดูกันดีกว่า

เราพิจารณาวงกลมในระนาบสองมิติ เนื่องจากดังที่กล่าวไว้ข้างต้น มันเป็นวงกลมที่สนับสนุนการสร้างลูกบอล เราใช้เฉพาะส่วนที่สี่เท่านั้น (รูปที่ 10)

เราใช้วงกลมที่มีหน่วยรัศมีและมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด สมการของวงกลมดังกล่าวมีดังนี้: X 2 + Y 2 \u003d R 2 เราแสดง Y จากที่นี่: Y 2 \u003d R 2 - X 2

โปรดทราบว่าฟังก์ชันที่เป็นผลลัพธ์นั้นไม่เป็นค่าลบ ต่อเนื่องและลดลงในส่วน X (0; R) เนื่องจากค่าของ X ในกรณีที่เราพิจารณาหนึ่งในสี่ของวงกลมนั้นมีค่าตั้งแต่ศูนย์ถึงค่ารัศมี นั่นคือมากถึงหนึ่ง

สิ่งต่อไปที่เราทำคือหมุนวงกลมสี่ส่วนรอบแกน x เป็นผลให้เราได้รับซีกโลก เพื่อกำหนดปริมาณ เราใช้วิธีการผสานรวม

เนื่องจากนี่เป็นปริมาตรของซีกโลกเท่านั้น เราจึงเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่า ซึ่งเราได้ปริมาตรของลูกบอลเท่ากับ:

ความแตกต่างเล็กน้อย

หากคุณต้องการคำนวณปริมาตรของลูกบอลในแง่ของเส้นผ่านศูนย์กลาง โปรดจำไว้ว่ารัศมีคือครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง และแทนค่านี้ลงในสูตรข้างต้น

นอกจากนี้ยังสามารถเข้าถึงสูตรสำหรับปริมาตรของทรงกลมผ่านพื้นที่ของพื้นผิวที่มีขอบ - ทรงกลม จำได้ว่าพื้นที่ของทรงกลมคำนวณโดยสูตร S = 4πr 2 , ซึ่งรวมเข้าด้วยกันเราก็มาถึงสูตรข้างต้นสำหรับปริมาตรของลูกบอล จากสูตรเดียวกัน คุณสามารถแสดงรัศมีได้หากเงื่อนไขของปัญหามีค่าปริมาตร