"अंकगणित" शब्द का अर्थ. अंकगणित क्या है और यह गणित से किस प्रकार भिन्न है? अंकगणित की बुनियादी अवधारणाएँ

अंकगणित

अंकगणित और।
1.

गणित की एक शाखा जो संख्याओं के सरलतम गुणों, उन्हें लिखने के तरीकों और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन करती है।

2.

एक शैक्षणिक विषय जिसमें गणित के इस खंड की मूल बातें शामिल हैं।

3. सड़न

किसी दिए गए शैक्षणिक विषय की सामग्री निर्धारित करने वाली पाठ्यपुस्तक।

एफ़्रेमोवा द्वारा व्याख्यात्मक शब्दकोश. टी. एफ. एफ़्रेमोवा। 2000.

समानार्थी शब्द:

देखें अन्य शब्दकोशों में "अंकगणित" क्या है:

- (ग्रीक अरिथमोस संख्या और टोचे कला से)। एक विज्ञान जो संख्याओं से संबंधित है। रूसी भाषा में शामिल विदेशी शब्दों का शब्दकोश। चुडिनोव ए.एन., 1910. ग्रीक से अंकगणित। अंकगणित, संख्या, और तकनीक, कला। संख्याओं का विज्ञान... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

महिला, ग्रीक गिनती का सिद्धांत, अंकन का विज्ञान; सभी गणित का आधार (मात्राओं का विज्ञान, मापने योग्य का विज्ञान); पुराना गिनती या संख्यात्मक ज्ञान; गिनती, गणना, संख्यात्मक गणना, गणना। अंकगणित, अंकगणित, इससे संबंधित। अंकगणितज्ञ... ... डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश

डिजिटल व्यवसाय, डिजिटल विज्ञान, डिजिटल, रूसी पर्यायवाची शब्दों की गिनती। अंकगणित tsifir (अप्रचलित) रूसी भाषा के पर्यायवाची शब्द का शब्दकोश। व्यावहारिक मार्गदर्शक. एम.: रूसी भाषा. जेड ई अलेक्जेंड्रोवा। 2011… पर्यायवाची शब्दकोष

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आधुनिक विश्वकोश

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अंकगणित, जोड़, घटाव, गुणा और भाग का उपयोग करके गणना करने की एक विधि। इन ऑपरेशनों के लिए औपचारिक स्वयंसिद्ध आधार 19वीं शताब्दी के अंत में ग्यूसेप पीनो द्वारा प्रदान किया गया था। उदाहरण के लिए, कुछ अभिधारणाओं के आधार पर, कि केवल एक ही है... ... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

अंकगणित, अंकगणित, अनेक। नहीं, महिला (ग्रीक अंकगणित)। अंकों द्वारा व्यक्त संख्याओं और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन। उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी.एन. उषाकोव। 1935 1940… उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

अंकगणित, और, स्त्री. 1. गणित की एक शाखा जो अंकों और उन पर संक्रियाओं द्वारा व्यक्त संख्याओं के सरलतम गुणों का अध्ययन करती है। 2. स्थानांतरण गिनती के समान (2 अंकों में) (बोलचाल की भाषा में)। हमने खर्चों की जांच की और यह निराशाजनक निकला। | adj. अंकगणित, आह, ... ... ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

अंकगणित- - [ए.एस. गोल्डबर्ग। अंग्रेजी-रूसी ऊर्जा शब्दकोश। 2006] सामान्य EN अंकगणित में ऊर्जा के विषय ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

अंकगणित- (ग्रीक अरिथमोस संख्या से), गणित का वह भाग जो पूर्णांकों और भिन्नों के सरलतम गुणों और उन पर संक्रियाओं का अध्ययन करता है। यह प्राचीन काल में गिनती, दूरियां मापने, समय आदि की व्यावहारिक आवश्यकताओं से उत्पन्न हुआ था। सुधार... ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

पुस्तकें

• अंकगणित, किसेलेव एंड्री पेट्रोविच। 2017 ए.पी. किसलीव के जन्म की 165वीं वर्षगांठ है। अंकगणित पर उनकी पहली स्कूल पाठ्यपुस्तक 1884 में प्रकाशित हुई थी। 1938 में, इसे 5-6 के लिए अंकगणित पाठ्यपुस्तक के रूप में अनुमोदित किया गया था...

अंकगणित (ग्रीक अंकगणित, अंकगणित से - संख्या)

संख्याओं का विज्ञान, मुख्य रूप से प्राकृतिक (धनात्मक पूर्णांक) संख्याओं और (तर्कसंगत) भिन्नों और उन पर संचालन के बारे में।

प्राकृतिक संख्याओं की पर्याप्त रूप से विकसित अवधारणा का होना और संख्याओं के साथ संचालन करने की क्षमता किसी व्यक्ति की व्यावहारिक और सांस्कृतिक गतिविधियों के लिए आवश्यक है। इसलिए, ए बच्चों की पूर्वस्कूली शिक्षा का एक तत्व और स्कूल पाठ्यक्रम का एक अनिवार्य विषय है।

कई गणितीय अवधारणाओं का निर्माण प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके किया जाता है (उदाहरण के लिए, गणितीय विश्लेषण की मूल अवधारणा एक वास्तविक संख्या है)। इस संबंध में, गणित प्रमुख गणितीय विज्ञानों में से एक है। जब संख्या की अवधारणा (संख्या देखें) के तार्किक विश्लेषण पर जोर दिया जाता है, तो कभी-कभी सैद्धांतिक अंकगणित शब्द का उपयोग किया जाता है। बीजगणित बीजगणित (बीजगणित देखें) से निकटता से संबंधित है, जिसमें, विशेष रूप से, संख्याओं पर संचालन का अध्ययन उनके व्यक्तिगत गुणों को ध्यान में रखे बिना किया जाता है। पूर्णांकों के व्यक्तिगत गुण संख्या सिद्धांत का विषय बनते हैं (संख्या सिद्धांत देखें)।

ऐतिहासिक सन्दर्भ.प्राचीन काल में गिनती और सरल माप की व्यावहारिक आवश्यकताओं से उत्पन्न होने के बाद, अंकगणित आर्थिक गतिविधि और सामाजिक संबंधों की बढ़ती जटिलता, मौद्रिक गणना, दूरी, समय, क्षेत्रों को मापने की समस्याओं और अन्य विज्ञानों द्वारा रखी गई आवश्यकताओं के संबंध में विकसित हुआ। यह।

गिनती के उद्भव और अंकगणितीय अवधारणाओं के निर्माण के प्रारंभिक चरणों का आकलन आमतौर पर आदिम लोगों के बीच गिनती की प्रक्रिया से संबंधित टिप्पणियों द्वारा किया जाता है, और, अप्रत्यक्ष रूप से, सांस्कृतिक लोगों की भाषाओं में संरक्षित और देखे गए समान चरणों के निशान का अध्ययन करके किया जाता है। बच्चों द्वारा इन अवधारणाओं के अधिग्रहण के दौरान। इन आंकड़ों से संकेत मिलता है कि मानसिक गतिविधि के उन तत्वों का विकास जो गिनती प्रक्रिया को रेखांकित करते हैं, कई मध्यवर्ती चरणों से गुजरते हैं। इनमें शामिल हैं: एक ही वस्तु को पहचानने और गिने जाने वाली वस्तुओं के समूह में वस्तुओं को अलग करने की क्षमता; इस समग्रता का उन तत्वों में विस्तृत अपघटन स्थापित करने की क्षमता जो एक-दूसरे से अलग हैं और साथ ही गिनती में बराबर हैं (गिनती की नामित "इकाई" का उपयोग करके); दो सेटों के तत्वों के बीच एक पत्राचार स्थापित करने की क्षमता, पहले सीधे, और फिर उन्हें एक बार और सभी के लिए वस्तुओं के व्यवस्थित संग्रह के तत्वों के साथ तुलना करके, यानी एक निश्चित अनुक्रम में स्थित वस्तुओं का संग्रह। ऐसे मानक आदेशित सेट के तत्व शब्द (अंक) होते हैं जिनका उपयोग किसी भी गुणात्मक प्रकृति की वस्तुओं की गिनती में किया जाता है और संख्या की अमूर्त अवधारणा के गठन के अनुरूप होता है। विभिन्न परिस्थितियों में, सूचीबद्ध कौशल और उनके अनुरूप अंकगणितीय अवधारणाओं के क्रमिक उद्भव और सुधार की समान विशेषताएं देखी जा सकती हैं।

सबसे पहले, गिनती केवल अपेक्षाकृत कम संख्या में वस्तुओं के समुच्चय के लिए संभव होती है, जिसके परे मात्रात्मक अंतर अस्पष्ट रूप से महसूस किए जाते हैं और उन शब्दों की विशेषता होती है जो "कई" शब्द के पर्याय हैं; इस मामले में, गिनती के उपकरण पेड़ पर निशान ("टैग" गिनती), कंकड़, माला के मोती, उंगलियां इत्यादि की गिनती के साथ-साथ तत्वों की निरंतर संख्या वाले सेट होते हैं, उदाहरण के लिए: "आंखें" - एक के रूप में अंक "दो", हाथ ("मेटाकार्पस") का पर्याय - पर्यायवाची और अंक "पांच" आदि का वास्तविक आधार।

मौखिक क्रमिक गिनती (एक, दो, तीन, आदि), जिसकी सीधी निर्भरता उंगली की गिनती (उंगलियों, हाथों के हिस्सों के नामों का क्रमिक उच्चारण) पर सीधे तौर पर पता लगाया जा सकता है, आगे गिनती समूहों के साथ जुड़ा हुआ है वस्तुओं की एक निश्चित संख्या युक्त। यह संख्या संबंधित संख्या प्रणाली का आधार बनाती है, आमतौर पर दो हाथों की उंगलियों पर गिनती के परिणामस्वरूप, 10 के बराबर होती है। हालांकि, 5, 20 (फ्रेंच 80 "क्वाट्रे-विंग्ट" = 4 × 20) के समूह भी हैं ), 40, 12 ("दर्जन"), 60 और यहां तक ​​कि 11 (न्यूजीलैंड)। विकसित व्यापार संबंधों के युग में, क्रमांकन विधियों (मौखिक और लिखित दोनों) ने स्वाभाविक रूप से एक दूसरे के साथ संवाद करने वाली जनजातियों और राष्ट्रीयताओं के बीच एकरूपता की प्रवृत्ति दिखाई; इस परिस्थिति ने वर्तमान समय में प्रयुक्त प्रणाली की स्थापना और प्रसार में निर्णायक भूमिका निभाई। संख्या प्रणाली का समय (नोटेशन (नोटेशन देखें)), संख्याओं के स्थान (बिटवाइज़) अर्थ का सिद्धांत और अंकगणितीय संचालन करने के तरीके। जाहिर है, समान कारण विभिन्न भाषाओं में अंक नामों की प्रसिद्ध समानता की व्याख्या करते हैं: उदाहरण के लिए, दो - डीवीए (संस्कृत), δυο (ग्रीक), डुओ (लैटिन), दो (अंग्रेजी)।

प्राचीन सभ्यताओं के युग में अंकगणितीय ज्ञान की स्थिति के बारे में पहली विश्वसनीय जानकारी का स्रोत डॉ. के लिखित दस्तावेज़ हैं। मिस्र (गणितीय पपीरी), लगभग 2 हजार वर्ष ईसा पूर्व लिखा गया। इ। ये बिना किसी सैद्धांतिक स्पष्टीकरण के, सहायक तालिकाओं के साथ उनके समाधानों, पूर्णांकों और भिन्नों पर संचालन के नियमों को दर्शाने वाली समस्याओं का संग्रह हैं। इस संग्रह की कुछ समस्याओं को अनिवार्य रूप से समीकरण स्थापित करने और हल करने से हल किया जाता है; अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति भी पाई जाती हैं।

2-3 हजार वर्ष ईसा पूर्व बेबीलोनियों की अंकगणितीय संस्कृति के उच्च स्तर के बारे में। इ। क्यूनिफॉर्म गणितीय ग्रंथों का मूल्यांकन करने की अनुमति दें। क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में बेबीलोनियों की लिखित संख्या दशमलव प्रणाली (60 से कम संख्याओं के लिए) का सेक्सजेसिमल प्रणाली के साथ, अंक इकाइयों 60, 60 2, आदि के साथ एक अजीब संयोजन है। अंकगणित के उच्च स्तर का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक आधुनिक दशमलव अंशों के समान, उन पर लागू समान संख्या प्रणाली के साथ सेक्सजेसिमल अंशों का उपयोग है। बेबीलोनियों की अंकगणित तकनीक, जो सैद्धांतिक रूप से दशमलव प्रणाली में पारंपरिक तकनीकों के समान थी, व्यापक गुणन तालिकाओं (1 से 59 तक की संख्याओं के लिए) का सहारा लेने की आवश्यकता से जटिल थी। जीवित कीलाकार सामग्रियों में, जो स्पष्ट रूप से शिक्षण सहायक सामग्री थीं, पारस्परिक संख्याओं (दो-अंकीय और तीन-अंकीय, यानी, 1/60 2 और 1/60 3 की सटीकता के साथ) की संगत तालिकाएँ भी हैं, जिनका उपयोग किया गया था विभाजन।

प्राचीन यूनानियों के बीच, वास्तुकला के व्यावहारिक पक्ष को और अधिक विकास नहीं मिला; वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करते हुए उन्होंने जिस लिखित अंकन प्रणाली का उपयोग किया था, वह बेबीलोनियाई प्रणाली की तुलना में जटिल गणनाओं के लिए बहुत कम उपयुक्त थी (विशेष रूप से, यह महत्वपूर्ण है कि प्राचीन यूनानी खगोलविदों ने सेक्सजेसिमल प्रणाली का उपयोग करना पसंद किया था)। दूसरी ओर, प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत, अनुपात के सिद्धांत, मात्राओं के माप और, एक अंतर्निहित रूप में, अपरिमेय संख्याओं के सिद्धांत के संदर्भ में अंकगणित के सैद्धांतिक विकास की नींव रखी। यूक्लिड के तत्वों (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) में अभाज्य संख्याओं की संख्या की अनंतता, विभाज्यता पर बुनियादी प्रमेय और दो खंडों के सामान्य माप और दो संख्याओं के सामान्य सबसे बड़े भाजक को खोजने के लिए एल्गोरिदम के प्रमाण हैं, जिन्होंने अपना महत्व बरकरार रखा है। और अभी भी महत्वपूर्ण हैं (देखें यूक्लिड का एल्गोरिदम), एक परिमेय संख्या के गैर-अस्तित्व का प्रमाण जिसका वर्ग 2 है (संख्या √2 की अतार्किकता), और ज्यामितीय रूप में व्यक्त अनुपात का एक सिद्धांत। जिन संख्या-सैद्धांतिक समस्याओं पर विचार किया गया उनमें पूर्ण संख्याओं पर समस्याएँ (पूर्ण संख्याएँ देखें) (यूक्लिड), पाइथागोरस संख्याओं पर (पाइथागोरस संख्याएँ देखें), शामिल हैं। और यह भी - पहले से ही बाद के युग में - अभाज्य संख्याओं को अलग करने (एराटोस्थनीज की छलनी) और दूसरी और उच्चतर डिग्री (डायोफैंटस) के कई अनिश्चित समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम।

संख्याओं की अनंत प्राकृतिक श्रृंखला की अवधारणा के निर्माण में एक महत्वपूर्ण भूमिका आर्किमिडीज़ (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) के "Psammit" द्वारा निभाई गई थी, जो मनमाने ढंग से बड़ी संख्याओं के नामकरण और निरूपण की संभावना को साबित करती है। आर्किमिडीज़ के कार्य वांछित मात्राओं के अनुमानित मान प्राप्त करने में काफी उच्च कला का संकेत देते हैं: उदाहरण के लिए, बहु-अंकीय संख्याओं की जड़ निकालना, अपरिमेय संख्याओं के लिए तर्कसंगत सन्निकटन खोजना।

रोमनों ने गणना की तकनीक को आगे नहीं बढ़ाया; हालाँकि, उन्होंने एक संख्या प्रणाली को पीछे छोड़ दिया जो आज तक जीवित है (रोमन अंक), जो संचालन के लिए खराब रूप से अनुकूल है और अब लगभग विशेष रूप से क्रमिक संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किया जाता है।

पिछली, अधिक प्राचीन संस्कृतियों के संबंध में गणित के विकास में निरंतरता का पता लगाना कठिन है; हालाँकि, अफ्रीका के विकास में अत्यंत महत्वपूर्ण चरण भारत की संस्कृति से जुड़े हैं, जिसने पश्चिमी एशिया और यूरोप और पूर्व के देशों दोनों को प्रभावित किया। एशिया (चीन, जापान)। अंकगणित सामग्री की समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित के अनुप्रयोग के अलावा, भारतीयों की सबसे महत्वपूर्ण उपलब्धि एक स्थितीय संख्या प्रणाली की शुरूआत थी (किसी भी अंक में इकाइयों की अनुपस्थिति को इंगित करने के लिए शून्य सहित दस अंकों का उपयोग करना), जो बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने के लिए अपेक्षाकृत सरल नियम विकसित करना संभव हो गया।

मध्यकालीन पूर्व के वैज्ञानिकों ने न केवल प्राचीन यूनानी गणितज्ञों की विरासत को अनुवादों में संरक्षित किया, बल्कि भारतीयों की उपलब्धियों के प्रसार और आगे के विकास में भी योगदान दिया। अंकगणितीय संचालन करने की विधियाँ, काफी हद तक अभी भी आधुनिक से दूर हैं, लेकिन 10वीं शताब्दी से पहले से ही स्थितीय संख्या प्रणाली के लाभों का उपयोग कर रही हैं। एन। इ। धीरे-धीरे यूरोप में, मुख्य रूप से इटली और स्पेन में प्रवेश करना शुरू कर दिया।

मध्य युग में वास्तुकला की अपेक्षाकृत धीमी प्रगति 17वीं शताब्दी की शुरुआत का मार्ग प्रशस्त करती है। कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकी (समुद्री खगोल विज्ञान, यांत्रिकी, तेजी से जटिल वाणिज्यिक गणना आदि की समस्याएं) पर बढ़ती व्यावहारिक मांगों के संबंध में गणना विधियों में तेजी से सुधार। 10 के हर वाले भिन्न, जिनका उपयोग भारतीयों द्वारा किया जाता था (वर्गमूल निकालते समय) और बार-बार यूरोपीय वैज्ञानिकों का ध्यान आकर्षित किया जाता था, पहली बार त्रिकोणमितीय तालिकाओं में एक अंतर्निहित रूप में उपयोग किया जाता था (पूर्णांक के रूप में जो रेखाओं की लंबाई व्यक्त करते हैं) ज्या, स्पर्शज्या आदि की त्रिज्या 10 5 के रूप में ली गई है)। पहली बार (1427) अल-काशी ने दशमलव अंशों की प्रणाली और उनके साथ संचालन के नियमों का विस्तार से वर्णन किया। दशमलव भिन्नों का अंकन, जो अनिवार्य रूप से आधुनिक अंशों से मेल खाता है, 1585 में एस. स्टीविन के कार्यों में पाया जाता है और उस समय से व्यापक हो गया है। 17वीं शताब्दी की शुरुआत में लघुगणक का आविष्कार उसी युग का है। जे. नेपियर ओम. 18वीं सदी की शुरुआत में. गणनाएँ करने और रिकार्ड करने की तकनीकें आधुनिक रूप ले रही हैं।

17वीं शताब्दी की शुरुआत तक रूस में। ग्रीक के समान क्रमांकन का प्रयोग किया गया; मौखिक क्रमांकन प्रणाली अच्छी तरह से और विशिष्ट रूप से विकसित थी, जो 50वें अंक तक पहुंच गई थी। 18वीं सदी की शुरुआत के रूसी अंकगणित मैनुअल से। सबसे बड़ा महत्व एल. एफ. मैग्निट्स्की का अंकगणित था, जिसे एम. वी. लोमोनोसोव ने बहुत सराहा (मैग्निट्स्की देखें) (1703)। इसमें ए की निम्नलिखित परिभाषा शामिल है: "अंकगणित, या अंश, एक ईमानदार, अविश्वसनीय कला है, और हर किसी के लिए समझने में आसान है, सबसे उपयोगी और सबसे प्रशंसनीय है, इसका आविष्कार और व्याख्या सबसे प्राचीन और आधुनिक अंकगणितज्ञों द्वारा की गई है जो अलग-अलग देशों में रहते थे। कई बार।” क्रमांकन प्रश्नों, पूर्णांकों और भिन्नों (दशमलव सहित) के साथ गणना तकनीकों की प्रस्तुति और संबंधित समस्याओं के साथ, इस मैनुअल में बीजगणित, ज्यामिति और त्रिकोणमिति के तत्वों के साथ-साथ वाणिज्यिक गणना और नेविगेशन समस्याओं से संबंधित कई व्यावहारिक जानकारी भी शामिल है। ए की प्रस्तुति एल यूलर और उनके छात्रों से कमोबेश आधुनिक रूप लेती है।

अंकगणित के सैद्धांतिक प्रश्न.संख्या के सिद्धांत और मात्राओं के मापन के सिद्धांत से संबंधित प्रश्नों के सैद्धांतिक विकास को समग्र रूप से गणित के विकास से अलग नहीं किया जा सकता है: इसके निर्णायक चरण उन क्षणों से जुड़े हैं जो बीजगणित, ज्यामिति और विश्लेषण के विकास को समान रूप से निर्धारित करते हैं। सबसे महत्वपूर्ण मात्राओं के एक सामान्य सिद्धांत, संख्या के संबंधित अमूर्त सिद्धांत (संख्या देखें) (पूर्णांक, तर्कसंगत और अपरिमेय) और बीजगणित के वर्णमाला तंत्र का निर्माण माना जाना चाहिए।

विभिन्न प्रकार की निरंतर मात्राओं के अध्ययन के लिए पर्याप्त विज्ञान के रूप में अंकगणित का मौलिक महत्व 17वीं शताब्दी के अंत में ही महसूस किया गया था। तर्कसंगत सन्निकटन के अनुक्रम द्वारा परिभाषित एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा को अंकगणित में शामिल करने के संबंध में। इसमें एक महत्वपूर्ण भूमिका दशमलव अंशों के उपकरण और लघुगणक के उपयोग द्वारा निभाई गई, जिसने वास्तविक संख्याओं (तर्कसंगत और साथ ही तर्कसंगत) पर आवश्यक सटीकता के साथ किए गए संचालन की सीमा का विस्तार किया।

ग्रासमैन का निर्माण आगे जी. पीनो के कार्य से पूरा हुआ, जिसमें बुनियादी अवधारणाओं की एक प्रणाली (अन्य अवधारणाओं के माध्यम से परिभाषित नहीं) को स्पष्ट रूप से उजागर किया गया है, अर्थात्: एक प्राकृतिक संख्या की अवधारणा, एक प्राकृतिक श्रृंखला में तुरंत दूसरे के बाद आने वाली एक संख्या की अवधारणा, और एक प्राकृतिक के प्रारंभिक सदस्य की अवधारणा श्रृंखला (जिसे 0 या 1 के रूप में लिया जा सकता है)। ये अवधारणाएँ पाँच स्वयंसिद्धों द्वारा परस्पर जुड़ी हुई हैं, जिन्हें इन मूल अवधारणाओं की स्वयंसिद्ध परिभाषा के रूप में माना जा सकता है।

पीनो के अभिगृहीत: 1) 1 एक प्राकृतिक संख्या है; 2) अगली प्राकृत संख्या एक प्राकृत संख्या है; 3) 1 किसी प्राकृत संख्या का अनुसरण नहीं करता; 4) यदि एक प्राकृतिक संख्या एएक प्राकृतिक संख्या का अनुसरण करता है बीऔर प्राकृतिक संख्या से परे साथ, वह बीऔर साथसमरूप हैं; 5) यदि कोई प्रस्ताव 1 के लिए सिद्ध हो गया है और यदि इस धारणा से कि यह एक प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है एन, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह निम्नलिखित के लिए सत्य है पीप्राकृत संख्या, तो यह वाक्य सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है। यह स्वयंसिद्ध - पूर्ण प्रेरण का स्वयंसिद्ध - ग्रासमैन की क्रियाओं की परिभाषाओं का आगे उपयोग करना और प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य गुणों को सिद्ध करना संभव बनाता है।

ये निर्माण, जो अंकगणित के औपचारिक कथनों को प्रमाणित करने की समस्या का समाधान प्रदान करते हैं, शब्द के व्यापक अर्थ में प्राकृतिक संख्याओं के अंकगणित की तार्किक संरचना के प्रश्न को छोड़ देते हैं, जिसमें वे ऑपरेशन भी शामिल हैं जो गणित के भीतर अंकगणित के अनुप्रयोगों को परिभाषित करते हैं। स्वयं और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में। जीवन। मुद्दे के इस पक्ष के विश्लेषण ने, कार्डिनल संख्या की अवधारणा की सामग्री को स्पष्ट करते हुए, एक ही समय में दिखाया कि अंकगणित के औचित्य का प्रश्न गणितीय विषयों के पद्धतिगत विश्लेषण की अधिक सामान्य मौलिक समस्याओं से निकटता से संबंधित है। यदि गणित के सबसे सरल प्रस्ताव, वस्तुओं की प्रारंभिक गिनती से संबंधित और मानव जाति के सदियों पुराने अनुभव का सामान्यीकरण होने के नाते, स्वाभाविक रूप से सबसे सरल तार्किक योजना में फिट होते हैं, तो गणित, एक गणितीय अनुशासन के रूप में जो प्राकृतिक संख्याओं के अनंत संग्रह का अध्ययन करता है , स्वयंसिद्धों की संगत प्रणाली की संगति के अध्ययन और इसके सामान्य प्रस्तावों से उत्पन्न होने वाले अर्थ के अधिक विस्तृत विश्लेषण की आवश्यकता है।

लिट.:क्लेन एफ., उच्च दृष्टिकोण से प्राथमिक गणित, ट्रांस। उनके साथ। खंड 3 संस्करण, खंड 1, एम.-एल., 1935; अर्नोल्ड आई.वी., सैद्धांतिक अंकगणित, दूसरा संस्करण, एम., 1939; बेलस्टिन वी.के., कैसे लोग धीरे-धीरे वास्तविक अंकगणित तक पहुंचे, एम., 1940; ग्रीबेन्चा एम.के., अंकगणित, दूसरा संस्करण, एम., 1952; बर्मन जी.एन., संख्या और इसका विज्ञान, तीसरा संस्करण, एम., 1960; डेप्टायन आई. हां., अंकगणित का इतिहास, दूसरा संस्करण, एम., 1965; वायगोडस्की एम. हां, प्राचीन विश्व में अंकगणित और बीजगणित, दूसरा संस्करण, एम., 1967।

आई. वी. अर्नोल्ड।

महान सोवियत विश्वकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

समानार्थी शब्द:

देखें अन्य शब्दकोशों में "अंकगणित" क्या है:

- (ग्रीक अरिथमोस संख्या और टोचे कला से)। एक विज्ञान जो संख्याओं से संबंधित है। रूसी भाषा में शामिल विदेशी शब्दों का शब्दकोश। चुडिनोव ए.एन., 1910. ग्रीक से अंकगणित। अंकगणित, संख्या, और तकनीक, कला। संख्याओं का विज्ञान... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

"अंकगणित" क्या है? इस शब्द को सही तरीके से कैसे लिखें। संकल्पना एवं व्याख्या.

अंकगणित सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के साथ गणना करने की कला। अंकगणित का संक्षिप्त इतिहास. प्राचीन काल से, संख्याओं के साथ काम को दो अलग-अलग क्षेत्रों में विभाजित किया गया है: एक सीधे संख्याओं के गुणों से संबंधित था, दूसरा गिनती तकनीकों से जुड़ा था। कई देशों में "अंकगणित" से आमतौर पर इस बाद वाले क्षेत्र का मतलब होता है, जो निस्संदेह गणित की सबसे पुरानी शाखा है। जाहिर है, प्राचीन कैलकुलेटरों के लिए सबसे बड़ी कठिनाई भिन्नों के साथ काम करना था। इसे अहम्स पेपिरस (जिसे रिंड पेपिरस भी कहा जाता है) से देखा जा सकता है, जो लगभग 1650 ईसा पूर्व की गणित पर मिस्र की एक प्राचीन कृति है। 2/3 को छोड़कर, पपीरस में उल्लिखित सभी अंशों के अंश 1 के बराबर हैं। प्राचीन बेबीलोनियन क्यूनिफॉर्म गोलियों का अध्ययन करते समय अंशों को संभालने की कठिनाई भी ध्यान देने योग्य है। प्राचीन मिस्रवासी और बेबीलोनियाई दोनों स्पष्ट रूप से अबेकस के किसी न किसी रूप का उपयोग करके गणना करते थे। संख्याओं के विज्ञान को 530 ईसा पूर्व के आसपास पाइथागोरस से शुरू करके प्राचीन यूनानियों के बीच महत्वपूर्ण विकास प्राप्त हुआ। जहां तक ​​गणना की तकनीक का प्रश्न है, यूनानियों द्वारा इस क्षेत्र में बहुत कम काम किया गया था। इसके विपरीत, बाद के रोमनों ने संख्याओं के विज्ञान में वस्तुतः कोई योगदान नहीं दिया, लेकिन तेजी से विकसित हो रहे उत्पादन और व्यापार की जरूरतों के आधार पर, उन्होंने गिनती के उपकरण के रूप में अबेकस में सुधार किया। भारतीय अंकगणित की उत्पत्ति के बारे में बहुत कम जानकारी है। संख्या संचालन के सिद्धांत और व्यवहार पर कुछ ही बाद के कार्य हमारे पास आए हैं, जो भारतीय स्थिति प्रणाली में शून्य को शामिल करके सुधार किए जाने के बाद लिखे गए थे। वास्तव में ऐसा कब हुआ, हम निश्चित रूप से नहीं जानते, लेकिन तभी हमारे सबसे सामान्य अंकगणितीय एल्गोरिदम की नींव रखी गई थी (संख्या और अंक प्रणाली भी देखें)। भारतीय संख्या प्रणाली और पहला अंकगणितीय एल्गोरिदम अरबों द्वारा उधार लिया गया था। सबसे पुरानी अरबी अंकगणित पाठ्यपुस्तक अल-ख्वारिज्मी द्वारा 825 के आसपास लिखी गई थी। यह भारतीय अंकों का व्यापक उपयोग और व्याख्या करती है। इस पाठ्यपुस्तक का बाद में लैटिन में अनुवाद किया गया और इसका पश्चिमी यूरोप पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा। अल-ख्वारिज्मी नाम का एक विकृत संस्करण "एल्गोरिज्म" शब्द के रूप में हमारे सामने आया, जो आगे चलकर ग्रीक शब्द एरीटमोस के साथ मिश्रित होने पर "एल्गोरिदम" शब्द बन गया। इंडो-अरबी अंकगणित पश्चिमी यूरोप में मुख्य रूप से एल. फिबोनाची, द बुक ऑफ अबेकस (लिबर अबासी, 1202) के काम के कारण जाना गया। एबासिस्ट पद्धति ने हमारी स्थितीय प्रणाली के उपयोग के समान सरलीकरण की पेशकश की, कम से कम जोड़ और गुणा के लिए। अबासिस्टों को एल्गोरिदम द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो शून्य और विभाजन और वर्गमूल निष्कर्षण की अरबी पद्धति का उपयोग करते थे। पहली अंकगणित पाठ्यपुस्तकों में से एक, जिसके लेखक हमारे लिए अज्ञात हैं, 1478 में ट्रेविसो (इटली) में प्रकाशित हुई थी। यह व्यापार लेनदेन करते समय गणनाओं से निपटती थी। यह पाठ्यपुस्तक बाद में सामने आई कई अंकगणितीय पाठ्यपुस्तकों की पूर्ववर्ती बन गई। 17वीं शताब्दी की शुरुआत तक। ऐसी तीन सौ से अधिक पाठ्यपुस्तकें यूरोप में प्रकाशित हुईं। इस दौरान अंकगणित एल्गोरिदम में काफी सुधार हुआ है। 16वीं-17वीं शताब्दी में। अंकगणितीय प्रतीक जैसे =, +, -, *, "रूट" और/दिखाई दिए। यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि दशमलव अंशों का आविष्कार एस. स्टीविन ने 1585 में, लघुगणक का आविष्कार जे. नेपियर ने 1614 में, और स्लाइड नियम का आविष्कार डब्लू. ऑउट्रेड ने 1622 में किया था। आधुनिक एनालॉग और डिजिटल कंप्यूटिंग उपकरणों का आविष्कार 20वीं सदी के मध्य में किया गया था। गणित भी देखें; गणित का इतिहास; संख्या सिद्धांत; रैंक. अंकगणितीय गणनाओं का मशीनीकरण। जैसे-जैसे समाज विकसित हुआ, वैसे-वैसे तेज़ और अधिक सटीक गणनाओं की आवश्यकता भी बढ़ी। इस आवश्यकता ने चार उल्लेखनीय आविष्कारों को जन्म दिया: इंडो-अरबी अंक, दशमलव, लघुगणक और आधुनिक कंप्यूटिंग मशीनें। वास्तव में, आधुनिक अंकगणित के आगमन से पहले सबसे सरल गणना उपकरण मौजूद थे, क्योंकि प्राचीन काल में प्रारंभिक अंकगणितीय संचालन अबेकस पर किए जाते थे (रूस में, अबेकस का उपयोग इस उद्देश्य के लिए किया जाता था)। सबसे सरल आधुनिक कंप्यूटिंग डिवाइस को एक स्लाइड नियम माना जा सकता है, जिसमें दो लॉगरिदमिक स्केल होते हैं जो एक दूसरे के साथ स्लाइड करते हैं, जो स्केल के खंडों को जोड़कर और घटाकर गुणा और भाग की अनुमति देता है। बी. पास्कल (1642) को पहली यांत्रिक जोड़ने वाली मशीन का आविष्कारक माना जाता है। बाद में उसी शताब्दी में, जर्मनी में जी. लीबनिज़ (1671) और इंग्लैंड में एस. मोरलैंड (1673) ने गुणन करने के लिए मशीनों का आविष्कार किया। ये मशीनें 20वीं सदी के डेस्कटॉप कंप्यूटिंग उपकरणों (अरिथमोमीटर) की पूर्ववर्ती बन गईं, जिससे जोड़, घटाव, गुणा और भाग कार्यों को जल्दी और सटीक रूप से निष्पादित करना संभव हो गया। 1812 में, अंग्रेजी गणितज्ञ सी. बैबेज ने गणितीय तालिकाओं की गणना के लिए एक मशीन का डिज़ाइन बनाना शुरू किया। हालाँकि इस परियोजना पर कई वर्षों तक काम चलता रहा, लेकिन यह अधूरा रह गया। फिर भी, बैबेज की परियोजना ने आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों के निर्माण के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में काम किया, जिसका पहला उदाहरण 1944 के आसपास सामने आया। इन मशीनों की गति अद्भुत थी: उनकी मदद से, मिनटों या घंटों में उन समस्याओं को हल करना संभव था जिनकी पहले आवश्यकता थी कई वर्षों तक लगातार गणनाएँ, यहाँ तक कि मशीनों को जोड़कर भी। मामले के सार को एक विशिष्ट अंकगणितीय समस्या के उदाहरण का उपयोग करके समझाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संख्या पी (एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात) की गणना करना। पी की गणना करने के पहले व्यवस्थित प्रयास आर्किमिडीज़ (लगभग 240 ईसा पूर्व) में पाए जाते हैं। एक बहुत ही अपूर्ण संख्या प्रणाली का उपयोग करते हुए, बहुत प्रयास के बाद वह हमारी आधुनिक संख्या प्रणाली में दो दशमलव स्थानों के बराबर सटीकता के साथ पी की गणना करने में सक्षम था। आर्किमिडीज़ की पद्धति का उपयोग करते हुए, एल. वैन ज़िलेन (1540-1610), जिन्होंने अपने जीवन का एक महत्वपूर्ण हिस्सा इसके लिए समर्पित किया था, 35 दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ पी की गणना करने में सक्षम थे। 1873 में, पंद्रह वर्षों के काम के बाद, डब्ल्यू शैंक्स ने 707 अंकों के साथ एपी मान प्राप्त किया, लेकिन बाद में यह पता चला कि 528वें अंक से शुरू होकर, उनकी गणना में त्रुटियां आ गई थीं। 1958 में, एक IBM कंप्यूटर ने 40 सेकंड में संख्या p के 707 अंकों की गणना की और आगे की गणना जारी रखते हुए, 100 मिनट में 10,000 अंक प्राप्त किए। कंप्यूटर भी देखें; पीआई. सकारात्मक पूर्णांक। संख्याओं के बारे में हमारे विचारों का आधार सेट की सहज अवधारणाएं, सेटों के बीच पत्राचार और अलग-अलग संकेतों या ध्वनियों का एक अनंत अनुक्रम है। प्रतीकों 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... का परिचित क्रम अलग-अलग संकेतों के अनंत अनुक्रम और अलग-अलग ध्वनियों के अंतहीन अनुक्रम से ज्यादा कुछ नहीं है ( या शब्द) ) "एक", "दो", "तीन", "चार", "पांच", "छह", "सात", "आठ", "नौ", "दस", "ग्यारह", "बारह ", ..., कुछ वर्णों के अनुरूप। कोई भी सेट, जिसके सभी तत्वों को हमारे प्रतीकों के अनंत अनुक्रम के कुछ प्रारंभिक खंड के तत्वों के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है, एक परिमित सेट कहा जाता है। इस मामले में, खंड का अंतिम वर्ण सेट के तत्वों की संख्या को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, आइटमों का सेट जिसे प्रारंभिक खंड 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है, एक परिमित सेट है जिसमें 8 ("आठ") तत्व होते हैं . प्रतीक 8 मूल सेट में वस्तुओं की "संख्या" को इंगित करता है। यह संख्या किसी दिए गए सेट को सौंपा गया एक प्रतीक या लेबल है। एक ही लेबल उन सभी और केवल उन सेटों को सौंपा गया है जिन्हें किसी दिए गए सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। किसी दिए गए परिमित सेट के लिए एक लेबल की स्पष्ट परिभाषा को किसी दिए गए सेट के तत्वों को "पुनरावर्ती" कहा जाता है, और लेबल स्वयं प्राकृतिक या सकारात्मक पूर्णांक कहलाते हैं (संख्या भी देखें; सेट सिद्धांत)। मान लीजिए कि A और B दो परिमित समुच्चय हैं जिनमें कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं हैं, और A में n तत्व हैं और B में m तत्व हैं। फिर सेट ए और बी के सभी तत्वों को एक साथ मिलाकर सेट एस एक परिमित सेट है, जिसमें एस तत्व शामिल हैं। उदाहरण के लिए, यदि A में तत्व (a, b, c) हैं, तो सेट B में तत्व (x, y) हैं, तो सेट S = A + B है और इसमें तत्व (a, b, c, x, y) हैं। संख्या s को संख्याओं n और m का योग कहा जाता है, और हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: s = n + m। इस अंकन में, संख्याओं n और m को पद कहा जाता है, और योग ज्ञात करने की क्रिया को जोड़ कहा जाता है। ऑपरेशन चिन्ह "+" को "प्लस" के रूप में पढ़ा जाता है। सेट पी, जिसमें सभी क्रमित जोड़े शामिल हैं जिसमें पहला तत्व सेट ए से चुना गया है और दूसरा सेट बी से चुना गया है, एक सीमित सेट है जिसमें पी तत्व शामिल हैं। उदाहरण के लिए, यदि, पहले की तरह, A = (a, b, c), B = (x, y), तो P = AґB = ((a,x), (a,y), (b,x), (बी,वाई), (सी,एक्स), (सी,वाई)). संख्या p को संख्याओं a और b का गुणनफल कहा जाता है, और हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: p = a*b या p = a*b। गुणनफल में संख्या a और b को गुणनखंड कहा जाता है, गुणनफल ज्ञात करने की क्रिया को गुणन कहा जाता है। ऑपरेशन प्रतीक ґ को "गुणा" के रूप में पढ़ा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि इन परिभाषाओं से पूर्णांकों के योग और गुणन के निम्नलिखित मौलिक नियम अनुसरण करते हैं: - क्रमविनिमेय योग का नियम: a + b = b + a; - जोड़ की साहचर्यता का नियम: ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी; - क्रमविनिमेय गुणन का नियम: a*b = b*a; - गुणन की साहचर्यता का नियम: a*(b*c) = (a*b)*c; - वितरणात्मक कानून: aґ(b + c)= (a*b) + (a*c). यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं और यदि एक धनात्मक पूर्णांक c है, जैसे कि a = b + c, तो हम कहते हैं कि a, b से बड़ा है (a > b के रूप में लिखा गया है), या कि b, a से कम है (यह इस प्रकार लिखा गया है: बी बी, या ए

अंकगणित गणित का सबसे बुनियादी, बुनियादी खंड है। इसकी उत्पत्ति लोगों की गिनती की जरूरतों से हुई।

मानसिक अंकगणित

मानसिक अंकगणित किसे कहते हैं? मानसिक अंकगणित त्वरित गिनती सिखाने की एक विधि है जो प्राचीन काल से चली आ रही है।

वर्तमान में, पिछले वाले के विपरीत, शिक्षक न केवल बच्चों को गिनती सिखाने की कोशिश कर रहे हैं, बल्कि उनकी सोच विकसित करने की भी कोशिश कर रहे हैं।

सीखने की प्रक्रिया स्वयं मस्तिष्क के दोनों गोलार्धों के उपयोग और विकास पर आधारित है। मुख्य बात यह है कि उन्हें एक साथ उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए, क्योंकि वे एक दूसरे के पूरक हैं।

दरअसल, बायां गोलार्ध तर्क, भाषण और तर्कसंगतता के लिए जिम्मेदार है, और दायां गोलार्ध कल्पना के लिए जिम्मेदार है।

प्रशिक्षण कार्यक्रम में उपकरणों के संचालन और उपयोग का प्रशिक्षण शामिल है अबेकस.

मानसिक अंकगणित सीखने में अबेकस मुख्य उपकरण है, क्योंकि छात्र उनके साथ काम करना, डोमिनोज़ को चलाना और गणना के सार को समझना सीखते हैं। समय के साथ, अबेकस आपकी कल्पना बन जाता है, और छात्र उनकी कल्पना करते हैं, इस ज्ञान का निर्माण करते हैं और उदाहरणों को हल करते हैं।

इन शिक्षण विधियों के बारे में समीक्षाएँ बहुत सकारात्मक हैं। एक कमी है - प्रशिक्षण का भुगतान किया जाता है, और हर कोई इसे वहन नहीं कर सकता। इसलिए, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति का मार्ग उसकी वित्तीय स्थिति पर निर्भर करता है।

गणित और अंकगणित

गणित और अंकगणित निकट से संबंधित अवधारणाएँ हैं, या यूं कहें कि अंकगणित गणित की एक शाखा है जो संख्याओं और गणनाओं (संख्याओं के साथ संचालन) के साथ काम करती है।

अंकगणित मुख्य अनुभाग है, और इसलिए गणित का आधार है। गणित का आधार सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ और संक्रियाएँ हैं जो वह आधार बनाती हैं जिस पर बाद का सारा ज्ञान निर्मित होता है। मुख्य परिचालनों में शामिल हैं: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

अंकगणित का अध्ययन आमतौर पर स्कूल में शिक्षा की शुरुआत से ही किया जाता है। पहली कक्षा से. बच्चे बुनियादी गणित में महारत हासिल करते हैं।

जोड़नाएक अंकगणितीय ऑपरेशन है जिसके दौरान दो संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, और उनका परिणाम एक नया होता है - तीसरा।

ए+बी=सी.

घटावएक अंकगणितीय ऑपरेशन है जिसमें दूसरे नंबर को पहले नंबर से घटा दिया जाता है, और परिणाम तीसरा होता है।

जोड़ सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है: ए - बी = सी.

गुणाएक क्रिया है जिसका परिणाम समान पदों के योग से होता है।

इस क्रिया का सूत्र है: a1+a2+…+an=n*a.

विभाजन- यह किसी संख्या या चर का समान भागों में विभाजन है।

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अंकगणित पढ़ाना

अंकगणित स्कूल की दीवारों के भीतर पढ़ाया जाता है। पहली कक्षा से, बच्चे गणित के मूल और मुख्य भाग - अंकगणित का अध्ययन करना शुरू करते हैं।

संख्याएँ जोड़ना

अंकगणित ग्रेड 5

पाँचवीं कक्षा में, छात्र भिन्न और मिश्रित संख्या जैसे विषयों का अध्ययन करना शुरू करते हैं। आप प्रासंगिक परिचालनों पर हमारे लेखों में इन नंबरों के साथ संचालन के बारे में जानकारी पा सकते हैं।

एक भिन्नात्मक संख्यादो संख्याओं का एक दूसरे से या अंश का हर से अनुपात है। भिन्नात्मक संख्या को विभाजन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ¼ = 1:4.

मिश्रित संख्या- यह एक भिन्नात्मक संख्या है, केवल पूर्णांक भाग को हाइलाइट किया गया है। पूर्णांक भाग आवंटित किया जाता है बशर्ते कि अंश हर से बड़ा हो। उदाहरण के लिए, एक अंश था: 5/4, इसे पूरे भाग को हाइलाइट करके रूपांतरित किया जा सकता है: 1 पूर्णांक और ¼।

प्रशिक्षण के उदाहरण:

कार्य क्रमांक 1:

कार्य क्रमांक 2:

अंकगणित छठी कक्षा

छठी कक्षा में भिन्नों को लोअरकेस नोटेशन में बदलने का विषय आता है। इसका मतलब क्या है? उदाहरण के लिए, अंश ½ दिया गया है, यह 0.5 के बराबर होगा। ¼ = 0.25.

उदाहरणों को निम्नलिखित शैली में संकलित किया जा सकता है: 0.25+0.73+12/31.

प्रशिक्षण के उदाहरण:

कार्य क्रमांक 1:

कार्य क्रमांक 2:

मानसिक अंकगणित और गिनती की गति विकसित करने के लिए खेल

ऐसे बेहतरीन गेम हैं जो संख्यात्मकता को बढ़ावा देते हैं, गणित कौशल और गणितीय सोच, मानसिक गिनती और गिनती की गति विकसित करने में मदद करते हैं! आप खेल सकते हैं और विकास कर सकते हैं! क्या आपकी इसमें रूची है? खेलों के बारे में छोटे लेख पढ़ें और स्वयं प्रयास करना सुनिश्चित करें।

खेल "त्वरित गणना"

"क्विक काउंट" गेम आपकी मानसिक गिनती को तेज़ करने में मदद करेगा। खेल का सार यह है कि आपके सामने प्रस्तुत चित्र में, आपको "क्या 5 समान फल हैं?" प्रश्न का हां या ना में उत्तर चुनना होगा। अपने लक्ष्य का पालन करें और यह गेम इसमें आपकी सहायता करेगा।

खेल "गणितीय तुलना"

गणित तुलना गेम में आपको घड़ी के विरुद्ध दो संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता होगी। यानी आपको जितनी जल्दी हो सके दो नंबरों में से एक को चुनना होगा। याद रखें कि समय सीमित है, और जितना अधिक आप सही उत्तर देंगे, आपके गणित कौशल उतने ही बेहतर विकसित होंगे! क्या हम प्रयास करें?

खेल "त्वरित जोड़"

गेम "क्विक एडिशन" एक उत्कृष्ट त्वरित गिनती सिम्युलेटर है। खेल का सार: एक 4x4 फ़ील्ड दिया गया है, अर्थात। इसमें 16 संख्याएँ हैं, और फ़ील्ड के ऊपर सत्रहवीं संख्या है। आपका लक्ष्य: सोलह संख्याओं का उपयोग करके, जोड़ संक्रिया का उपयोग करके 17 बनाना। उदाहरण के लिए, फ़ील्ड के ऊपर आपके पास संख्या 28 लिखी है, तो फ़ील्ड में आपको 2 ऐसे नंबर ढूंढने होंगे जो कुल मिलाकर 28 नंबर देंगे। क्या आप अपना हाथ आज़माने के लिए तैयार हैं? तो फिर आगे बढ़ें और प्रशिक्षण लें!

अभूतपूर्व मानसिक अंकगणित का विकास

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अंकगणित क्या है? मानवता ने संख्याओं का उपयोग और उनके साथ काम करना कब शुरू किया? संख्याएँ, जोड़ और गुणा जैसी रोजमर्रा की अवधारणाओं की जड़ें कहाँ जाती हैं, जिन्हें मनुष्य ने अपने जीवन और विश्वदृष्टि का एक अविभाज्य हिस्सा बना लिया है? प्राचीन यूनानी मस्तिष्क मानव तर्क की सबसे सुंदर सिम्फनी के रूप में ज्यामिति जैसे विज्ञान की प्रशंसा करते थे।

शायद अंकगणित अन्य विज्ञानों जितना गहरा नहीं है, लेकिन यदि कोई व्यक्ति प्रारंभिक गुणन सारणी भूल जाए तो उसका क्या होगा? संख्याओं, भिन्नों और अन्य उपकरणों का उपयोग करके हम जिस तार्किक सोच के आदी हैं, वह लोगों के लिए आसान नहीं थी और लंबे समय तक हमारे पूर्वजों के लिए दुर्गम थी। वस्तुतः अंकगणित के विकास तक मानव ज्ञान का कोई भी क्षेत्र वास्तव में वैज्ञानिक नहीं था।

अंकगणित गणित की एबीसी है

अंकगणित संख्याओं का विज्ञान है, जिससे कोई भी व्यक्ति गणित की आकर्षक दुनिया से परिचित होना शुरू कर देता है। जैसा कि एम.वी. लोमोनोसोव ने कहा, अंकगणित सीखने का द्वार है, जो हमारे लिए विश्व ज्ञान का मार्ग खोलता है। लेकिन वह सही हैं, क्या दुनिया के ज्ञान को संख्याओं और अक्षरों, गणित और भाषण के ज्ञान से अलग किया जा सकता है? शायद पुराने दिनों में, लेकिन आधुनिक दुनिया में नहीं, जहां विज्ञान और प्रौद्योगिकी का तेजी से विकास अपने स्वयं के कानूनों को निर्धारित करता है।

शब्द "अंकगणित" (ग्रीक "अरिथमोस") ग्रीक मूल का है और इसका अर्थ "संख्या" है। वह संख्या और उन सभी चीज़ों का अध्ययन करती है जो उनसे जुड़ी हो सकती हैं। यह संख्याओं की दुनिया है: संख्याओं पर विभिन्न संक्रियाएँ, संख्यात्मक नियम, गुणा, घटाव आदि से संबंधित समस्याओं को हल करना।

अंकगणित की मूल वस्तु

अंकगणित का आधार एक पूर्णांक है, जिसके गुणों और पैटर्न को उच्च अंकगणित में माना जाता है या वास्तव में, पूरे भवन की ताकत - गणित - इस बात पर निर्भर करती है कि इतने छोटे ब्लॉक को प्राकृतिक संख्या मानने में दृष्टिकोण कितना सही है .

इसलिए, अंकगणित क्या है, इस प्रश्न का उत्तर सरलता से दिया जा सकता है: यह संख्याओं का विज्ञान है। हाँ, सामान्य सात, नौ और इस सभी विविध समुदाय के बारे में। और जिस प्रकार आप प्रारंभिक वर्णमाला के बिना अच्छी या यहां तक ​​कि सबसे औसत दर्जे की कविता भी नहीं लिख सकते, उसी प्रकार अंकगणित के बिना आप एक प्राथमिक समस्या भी हल नहीं कर सकते। यही कारण है कि सभी विज्ञान अंकगणित और गणित के विकास के बाद ही आगे बढ़े, जो पहले केवल मान्यताओं का एक समूह थे।

अंकगणित एक प्रेत विज्ञान है

अंकगणित क्या है - प्राकृतिक विज्ञान या प्रेत? वास्तव में, जैसा कि प्राचीन यूनानी दार्शनिकों ने तर्क दिया था, न तो संख्याएँ और न ही आंकड़े वास्तविकता में मौजूद हैं। यह महज़ एक प्रेत है जो पर्यावरण और उसकी प्रक्रियाओं पर विचार करते समय मानव सोच में पैदा होता है। दरअसल, आसपास कहीं भी हमें ऐसी कोई चीज़ नहीं दिखती जिसे संख्या कहा जा सके, बल्कि संख्या मानव मस्तिष्क द्वारा दुनिया का अध्ययन करने का एक तरीका है। या शायद यह अंदर से हमारा अध्ययन है? दार्शनिक लगातार कई शताब्दियों से इस बारे में बहस कर रहे हैं, इसलिए हम विस्तृत उत्तर देने का कार्य नहीं करते हैं। किसी न किसी रूप में, अंकगणित ने अपनी स्थिति इतनी मजबूती से बना ली है कि आधुनिक दुनिया में इसके मूल सिद्धांतों के ज्ञान के बिना किसी को भी सामाजिक रूप से अनुकूलित नहीं माना जा सकता है।

प्राकृतिक संख्या कैसे प्रकट हुई?

बेशक, मुख्य वस्तु जिस पर अंकगणित संचालित होता है वह एक प्राकृतिक संख्या है, जैसे 1, 2, 3, 4, ..., 152... आदि। प्राकृतिक संख्या अंकगणित सामान्य वस्तुओं, जैसे घास के मैदान में गायों की गिनती का परिणाम है। फिर भी, "बहुत" या "थोड़ा" की परिभाषा एक बार लोगों के लिए उपयुक्त नहीं रही, और अधिक उन्नत गिनती तकनीकों का आविष्कार करना पड़ा।

लेकिन असली सफलता तब हुई जब मानव विचार इस बिंदु पर पहुंचा कि एक ही संख्या "दो" का उपयोग 2 किलोग्राम, 2 ईंटें और 2 भागों को नामित करने के लिए किया जा सकता है। मुद्दा यह है कि आपको वस्तुओं के रूपों, गुणों और अर्थों से अमूर्त होने की आवश्यकता है, फिर आप प्राकृतिक संख्याओं के रूप में इन वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर सकते हैं। इस प्रकार संख्याओं के अंकगणित का जन्म हुआ, जो आगे चलकर विकसित और विस्तारित हुआ और समाज के जीवन में बड़े पदों पर आसीन हुआ।

शून्य और ऋणात्मक संख्याओं, भिन्नों, संख्याओं द्वारा संख्याओं के अंकन और अन्य तरीकों जैसी संख्या की गहन अवधारणाओं के विकास का एक समृद्ध और दिलचस्प इतिहास है।

अंकगणित और व्यावहारिक मिस्रवासी

आसपास की दुनिया की खोज और रोजमर्रा की समस्याओं को सुलझाने में मनुष्य के दो सबसे प्राचीन साथी अंकगणित और ज्यामिति हैं।

ऐसा माना जाता है कि अंकगणित का इतिहास प्राचीन पूर्व में उत्पन्न हुआ: भारत, मिस्र, बेबीलोन और चीन में। इस प्रकार, रिंडा पपीरस मिस्र मूल का है (ऐसा नाम इसलिए दिया गया क्योंकि यह उसी नाम के मालिक का था), जो 20वीं सदी का है। बीसी में, अन्य मूल्यवान डेटा के अलावा, एक अंश को अलग-अलग हर और एक के बराबर अंश वाले अंशों के योग में विघटित करना शामिल है।

उदाहरण के लिए: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

लेकिन ऐसे जटिल अपघटन का मतलब क्या है? तथ्य यह है कि मिस्र का दृष्टिकोण संख्याओं के बारे में अमूर्त सोच को बर्दाश्त नहीं करता था; इसके विपरीत, गणना केवल व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए की जाती थी। अर्थात्, उदाहरण के लिए, एक मिस्रवासी केवल कब्र बनाने के लिए गणना जैसी चीज़ में संलग्न होगा। संरचना के किनारे की लंबाई की गणना करना आवश्यक था, और इसने एक व्यक्ति को पपीरस पर बैठने के लिए मजबूर किया। जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना में मिस्र की प्रगति विज्ञान के प्रति प्रेम की तुलना में बड़े पैमाने पर निर्माण के कारण अधिक हुई।

इस कारण से, पपीरी पर पाई गई गणनाओं को भिन्नों के विषय पर प्रतिबिंब नहीं कहा जा सकता है। सबसे अधिक संभावना है, यह एक व्यावहारिक तैयारी थी जिसने भविष्य में भिन्नों से जुड़ी समस्याओं को हल करने में मदद की। प्राचीन मिस्रवासी, जो गुणन सारणी नहीं जानते थे, लंबी गणनाएँ करते थे, जो कई उप-समस्याओं में विभाजित होती थीं। शायद यह उन उपकार्यों में से एक है. यह देखना आसान है कि ऐसे रिक्त स्थान के साथ गणना बहुत श्रम-केंद्रित होती है और इसकी संभावनाएँ बहुत कम होती हैं। शायद इसी कारण से हमें गणित के विकास में प्राचीन मिस्र का कोई खास योगदान नज़र नहीं आता।

प्राचीन ग्रीस और दार्शनिक अंकगणित

प्राचीन पूर्व के अधिकांश ज्ञान को प्राचीन यूनानियों, अमूर्त, अमूर्त और दार्शनिक विचारों के प्रसिद्ध प्रेमियों द्वारा सफलतापूर्वक महारत हासिल थी। अभ्यास में उनकी रुचि कम नहीं थी, लेकिन उनसे बेहतर सिद्धांतकार और विचारक ढूंढ़ना कठिन था। इससे विज्ञान को लाभ हुआ, क्योंकि वास्तविकता से तोड़े बिना अंकगणित में गहराई तक जाना असंभव है। बेशक, आप 10 गायों और 100 लीटर दूध को बढ़ा सकते हैं, लेकिन आप बहुत दूर तक नहीं पहुंच पाएंगे।

गहरी सोच वाले यूनानियों ने इतिहास पर एक महत्वपूर्ण छाप छोड़ी, और उनके कार्य हम तक पहुँचे हैं:

• यूक्लिड और तत्व.
• पाइथागोरस.
• आर्किमिडीज़.
• एराटोस्थनीज़.
• ज़ेनो.
• एनाक्सागोरस।

और, निस्संदेह, यूनानी, जिन्होंने हर चीज़ को दर्शन में बदल दिया, और विशेष रूप से पाइथागोरस के काम के उत्तराधिकारी, संख्याओं से इतने मोहित हो गए कि उन्होंने उन्हें दुनिया की सद्भाव का संस्कार माना। संख्याओं का इतना अधिक अध्ययन और शोध किया गया है कि उनमें से कुछ और उनके जोड़ों को विशेष गुणों का श्रेय दिया गया है। उदाहरण के लिए:

• पूर्ण संख्याएँ वे होती हैं जो संख्या को छोड़कर उनके सभी विभाजकों के योग के बराबर होती हैं (6=1+2+3)।
• मित्रवत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं, जिनमें से एक दूसरे के सभी विभाजकों के योग के बराबर है, और इसके विपरीत (पाइथागोरियन केवल एक ऐसी जोड़ी जानते थे: 220 और 284)।

यूनानियों, जिनका मानना ​​था कि विज्ञान से प्यार किया जाना चाहिए और लाभ के लिए नहीं किया जाना चाहिए, ने अन्वेषण, खेल और संख्याओं को जोड़ने के माध्यम से बड़ी सफलता हासिल की। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उनके सभी शोधों को व्यापक अनुप्रयोग नहीं मिला; उनमें से कुछ केवल "सुंदरता के लिए" बने रहे।

मध्य युग के पूर्वी विचारक

उसी प्रकार, मध्य युग में, अंकगणित का विकास पूर्वी समकालीनों के कारण हुआ। भारतीयों ने हमें संख्याएँ दीं जिनका हम सक्रिय रूप से उपयोग करते हैं, जैसे "शून्य" जैसी अवधारणा, और आधुनिक धारणा से परिचित एक स्थितिगत विकल्प। 15वीं सदी में समरकंद में काम करने वाले अल-काशी से हमें विरासत में मिली जिसके बिना आधुनिक अंकगणित की कल्पना करना मुश्किल है।

कई मायनों में, पूर्व की उपलब्धियों से यूरोप का परिचय इतालवी वैज्ञानिक लियोनार्डो फिबोनाची के काम की बदौलत संभव हुआ, जिन्होंने पूर्वी नवाचारों का परिचय देते हुए "द बुक ऑफ अबेकस" नामक कृति लिखी। यह यूरोप में बीजगणित और अंकगणित, अनुसंधान और वैज्ञानिक गतिविधि के विकास की आधारशिला बन गया।

रूसी अंकगणित

और अंततः, अंकगणित, जिसने अपना स्थान पाया और यूरोप में जड़ें जमा लीं, रूसी भूमि में फैलने लगा। पहला रूसी अंकगणित 1703 में प्रकाशित हुआ था - यह लियोन्टी मैग्निट्स्की द्वारा अंकगणित के बारे में एक पुस्तक थी। लंबे समय तक यह गणित की एकमात्र पाठ्यपुस्तक बनी रही। इसमें बीजगणित और ज्यामिति के प्रारंभिक क्षण शामिल हैं। रूस में पहली अंकगणित पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों में प्रयुक्त संख्याएँ अरबी हैं। हालाँकि अरबी अंक पहले भी 17वीं शताब्दी की नक्काशी में पाए जाते थे।

पुस्तक को स्वयं आर्किमिडीज़ और पाइथागोरस की छवियों से सजाया गया है, और पहले पृष्ठ पर एक महिला के रूप में अंकगणित की छवि है। वह एक सिंहासन पर बैठती है, उसके नीचे हिब्रू में भगवान के नाम को दर्शाने वाला एक शब्द लिखा हुआ है, और सिंहासन की ओर जाने वाली सीढ़ियों पर "विभाजन", "गुणा", "जोड़" आदि शब्द खुदे हुए हैं। कल्पना कीजिए कि उन्होंने ऐसे सत्य क्या अर्थ बताए जो अब सामान्य माने जाते हैं।

600 पेज की पाठ्यपुस्तक में जोड़ और गुणन सारणी और नेविगेशनल विज्ञान के अनुप्रयोगों जैसी बुनियादी बातें शामिल हैं।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि लेखक ने अपनी पुस्तक के लिए ग्रीक विचारकों की छवियों को चुना, क्योंकि वह स्वयं अंकगणित की सुंदरता से मोहित हो गए थे, उन्होंने कहा था: "अंकगणित एक अंश है, यह एक ईमानदार, ईर्ष्यालु कला है..." अंकगणित के लिए यह दृष्टिकोण काफी उचित है, क्योंकि यह इसका व्यापक कार्यान्वयन है जिसे रूस और सामान्य शिक्षा में वैज्ञानिक विचार के तेजी से विकास की शुरुआत माना जा सकता है।

गैर अभाज्य संख्याएँ

अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है जिसमें केवल 2 धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं। 1 को छोड़कर अन्य सभी संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। अभाज्य संख्याओं के उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, और अन्य सभी जिनमें संख्या 1 और स्वयं के अलावा कोई भाजक नहीं है।

जहाँ तक संख्या 1 का प्रश्न है, इसका एक विशेष स्थान है - इस बात पर सहमति है कि इसे न तो सरल और न ही समग्र माना जाना चाहिए। एक साधारण सा दिखने वाला नंबर अपने अंदर कई अनसुलझे रहस्य छुपाए हुए है।

यूक्लिड का प्रमेय कहता है कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है, और एराटोस्थनीज एक विशेष अंकगणितीय "छलनी" के साथ आए जो कठिन संख्याओं को छांट देती है, केवल अभाज्य संख्याओं को छोड़ देती है।

इसका सार यह है कि पहले बिना काटी गई संख्या को रेखांकित करें, और बाद में जो उसके गुणज हों उन्हें काट दें। हम इस प्रक्रिया को कई बार दोहराते हैं और अभाज्य संख्याओं की एक तालिका प्राप्त करते हैं।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

अभाज्य संख्याओं के बारे में टिप्पणियों में अंकगणित के मौलिक प्रमेय का विशेष उल्लेख किया जाना चाहिए।

अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि 1 से बड़ा कोई भी पूर्णांक या तो अभाज्य है या उसे अनूठे तरीके से गुणनखंडों के क्रम तक अभाज्यों के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है।

अंकगणित का मुख्य प्रमेय सिद्ध करने में काफी बोझिल है, और इसकी समझ अब सबसे सरल मूल बातों के समान नहीं है।

पहली नज़र में, अभाज्य संख्याएँ एक प्राथमिक अवधारणा हैं, लेकिन ऐसा नहीं है। भौतिकी ने भी एक समय परमाणु को तब तक प्राथमिक माना था जब तक कि उसने इसके अंदर एक संपूर्ण ब्रह्मांड नहीं ढूंढ लिया था। अभाज्य संख्याएँ गणितज्ञ डॉन त्सगीर की एक अद्भुत कहानी, "द फर्स्ट फिफ्टी मिलियन प्राइम नंबर्स" का विषय हैं।

"तीन सेब" से लेकर निगमनात्मक कानूनों तक

जिसे वास्तव में समस्त विज्ञान का सुदृढ़ आधार कहा जा सकता है वह है अंकगणित के नियम। बचपन में भी, हर किसी को अंकगणित का सामना करना पड़ता है, गुड़ियों के पैरों और भुजाओं की संख्या, घनों, सेबों की संख्या आदि का अध्ययन करना। इस तरह हम अंकगणित का अध्ययन करते हैं, जो बाद में और अधिक जटिल नियमों में विकसित होता है।

हमारा पूरा जीवन हमें अंकगणित के नियमों से परिचित कराता है, जो आम आदमी के लिए विज्ञान द्वारा प्रदान किए गए सभी नियमों में सबसे उपयोगी बन गए हैं। संख्याओं का अध्ययन "बेबी अंकगणित" है, जो बचपन में ही व्यक्ति को अंकों के रूप में संख्याओं की दुनिया से परिचित कराता है।

उच्च अंकगणित एक निगमनात्मक विज्ञान है जो अंकगणित के नियमों का अध्ययन करता है। हम उनमें से अधिकांश को जानते हैं, हालाँकि हम उनके सटीक शब्दों को नहीं जानते होंगे।

जोड़ और गुणा का नियम

किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं a और b को योग a+b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक प्राकृतिक संख्या भी होगी। निम्नलिखित कानून जोड़ने पर लागू होते हैं:

• विनिमेय, जो कहता है कि पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है, या a+b= b+a।
• जोड़नेवाला, जो कहता है कि योग इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि पदों को स्थानों में कैसे समूहीकृत किया गया है, या a+(b+c)= (a+ b)+ c।

अंकगणित के नियम, जैसे कि जोड़, सबसे प्राथमिक हैं, लेकिन इनका उपयोग सभी विज्ञानों द्वारा किया जाता है, रोजमर्रा की जिंदगी का तो जिक्र ही नहीं।

किन्हीं दो प्राकृत संख्याओं a और b को गुणनफल a*b या a*b में व्यक्त किया जा सकता है, जो कि एक प्राकृत संख्या भी है। जोड़ के संबंध में समान क्रमविनिमेय और साहचर्य कानून उत्पाद पर लागू होते हैं:

• ए*बी= बी*ए;
• ए*(बी*सी)= (ए* बी)* सी.

दिलचस्प बात यह है कि एक ऐसा कानून है जो जोड़ और गुणा को जोड़ता है, जिसे वितरणात्मक या वितरणात्मक कानून भी कहा जाता है:

ए(बी+सी)= एबी+एसी

यह नियम वास्तव में हमें कोष्ठकों को खोलकर उनके साथ काम करना सिखाता है, जिससे हम अधिक जटिल सूत्रों के साथ काम कर सकते हैं। ये बिल्कुल वही नियम हैं जो बीजगणित की विचित्र और कठिन दुनिया में हमारा मार्गदर्शन करेंगे।

अंकगणितीय क्रम का नियम

व्यवस्था के नियम का उपयोग मानव तर्क द्वारा प्रतिदिन घड़ियों की जाँच करने और बिल गिनने में किया जाता है। और, फिर भी, इसे विशिष्ट फॉर्मूलेशन के रूप में औपचारिक रूप देने की भी आवश्यकता है।

यदि हमारे पास दो प्राकृत संख्याएँ a और b हैं, तो निम्नलिखित विकल्प संभव हैं:

• a, b के बराबर है, या a=b;
• a, b से कम है, या a< b;
• a, b से बड़ा है, या a > b.

तीन विकल्पों में से केवल एक ही निष्पक्ष हो सकता है। व्यवस्था को नियंत्रित करने वाला मौलिक कानून कहता है: यदि एक< b и b < c, то a< c.

गुणन और जोड़ की संक्रियाओं के क्रम से संबंधित कानून भी हैं: यदि एक< b, то a + c < b+c и ac< bc.

अंकगणित के नियम हमें संख्याओं, चिह्नों और कोष्ठकों के साथ काम करना सिखाते हैं, जिससे सब कुछ संख्याओं की सामंजस्यपूर्ण सिम्फनी में बदल जाता है।

स्थितीय और गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियाँ

हम कह सकते हैं कि संख्याएँ एक गणितीय भाषा है, जिसकी सुविधा पर बहुत कुछ निर्भर करता है। ऐसी कई संख्या प्रणालियाँ हैं, जो विभिन्न भाषाओं के अक्षरों की तरह एक-दूसरे से भिन्न होती हैं।

आइए इस स्थिति में अंक के मात्रात्मक मूल्य पर स्थिति के प्रभाव के दृष्टिकोण से संख्या प्रणालियों पर विचार करें। इसलिए, उदाहरण के लिए, रोमन प्रणाली गैर-स्थितीय है, जहां प्रत्येक संख्या को विशेष वर्णों के एक निश्चित सेट के साथ एन्कोड किया गया है: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. वे क्रमशः संख्या 1 के बराबर हैं / 5/10/50/100/500/1000. ऐसी प्रणाली में, कोई संख्या अपनी मात्रात्मक परिभाषा को इस आधार पर नहीं बदलती है कि वह किस स्थिति में है: पहली, दूसरी, आदि। अन्य संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, आपको आधार संख्याओं को जोड़ना होगा। उदाहरण के लिए:

• डीसीसी=700.
• सीसीएम=800.

अरबी अंकों का उपयोग करने वाली संख्या प्रणाली जो हमारे लिए अधिक परिचित है वह स्थितीय है। ऐसी प्रणाली में, किसी संख्या का अंक अंकों की संख्या निर्धारित करता है, उदाहरण के लिए, तीन अंकों वाली संख्याएँ: 333, 567, आदि। किसी भी अंक का वजन उस स्थिति पर निर्भर करता है जिसमें एक विशेष अंक स्थित है, उदाहरण के लिए, दूसरी स्थिति में अंक 8 का मान 80 है। यह दशमलव प्रणाली के लिए विशिष्ट है; अन्य स्थितीय प्रणाली भी हैं, उदाहरण के लिए बाइनरी।

बाइनरी अंकगणित

बाइनरी अंकगणित बाइनरी वर्णमाला के साथ काम करता है, जिसमें केवल 0 और 1 होते हैं। और इस वर्णमाला के उपयोग को बाइनरी संख्या प्रणाली कहा जाता है।

द्विआधारी अंकगणित और दशमलव अंकगणित के बीच अंतर यह है कि बाईं ओर की स्थिति का महत्व 10 नहीं, बल्कि 2 गुना अधिक है। बाइनरी संख्याओं का रूप 111, 1001 आदि होता है। ऐसी संख्याओं को कैसे समझें? तो, संख्या 1100 पर विचार करें:

1. बाईं ओर पहला अंक 1*8=8 है, याद रखें कि चौथा अंक, जिसका अर्थ है कि इसे 2 से गुणा करना होगा, हमें स्थिति 8 मिलती है।
2. दूसरा अंक 1*4=4 (स्थिति 4) है।
3. तीसरा अंक 0*2=0 (स्थिति 2) है।
4. चौथा अंक 0*1=0 (स्थिति 1) है।
5. तो, हमारी संख्या 1100=8+4+0+0=12 है।

अर्थात्, बाईं ओर एक नए अंक पर जाने पर, बाइनरी प्रणाली में इसका महत्व 2 से गुणा हो जाता है, और दशमलव प्रणाली में 10 से। ऐसी प्रणाली में एक खामी है: यह अंकों में बहुत बड़ी वृद्धि है संख्याएँ लिखना आवश्यक है। दशमलव संख्याओं को बाइनरी संख्याओं के रूप में दर्शाने के उदाहरण निम्नलिखित तालिका में देखे जा सकते हैं।

बाइनरी रूप में दशमलव संख्याएँ नीचे दिखायी गयी हैं।

ऑक्टल और हेक्साडेसिमल दोनों संख्या प्रणालियों का भी उपयोग किया जाता है।

यह रहस्यमय अंकगणित

अंकगणित क्या है, "दो बार दो" या संख्याओं के अज्ञात रहस्य? जैसा कि हम देखते हैं, अंकगणित पहली नज़र में सरल लग सकता है, लेकिन इसकी स्पष्ट सहजता भ्रामक है। बच्चे कार्टून "बेबी अरिथमेटिक" से आंटी उल्लू के साथ मिलकर इसका अध्ययन कर सकते हैं, या वे लगभग दार्शनिक क्रम के गहन वैज्ञानिक शोध में खुद को डुबो सकते हैं। इतिहास में, वह वस्तुओं को गिनने से लेकर संख्याओं की सुंदरता की पूजा करने तक गयीं। एक बात निश्चित है: अंकगणित के बुनियादी सिद्धांतों की स्थापना के साथ, सभी विज्ञान इसके मजबूत कंधे पर आराम कर सकते हैं।