Základné princípy a experimentálne zdôvodnenie klasickej elektrónovej teórie elektrickej vodivosti kovov. Klasická elektronická teória elektrickej vodivosti kovov a jej experimentálne opodstatnenie

Klasická elektronická teória elektrickej vodivosti kovov a jej experimentálne opodstatnenie. Wiedemann-Franzov zákon.

Elektrický prúd v kovoch je usporiadaný pohyb elektrónov pod vplyvom elektrického poľa.
Tento predpoklad bol experimentálne potvrdený v experimente K. Rieckeho (1911).
Reťazou troch po sebe idúcich valcov - medený, hliníkový a opäť medený - prechádzal dlhý čas (asi rok) elektrický prúd - valcami prešlo celkovo 3,5 μC náboja. Nenašli sa však žiadne stopy prestupu látok (meď alebo hliník). Z toho vyplývalo, že elektrická vodivosť kovov bola spôsobená voľnými nábojmi spoločnými pre všetky kovy – na túto úlohu boli vhodné iba elektróny.

Ďalší presvedčivý dôkaz o elektrónovej povahe prúdu v kovoch bol získaný v experimentoch so zotrvačnosťou elektrónov (experiment Tolmana a Stewarta) (1916).

Cievka s veľkým počtom závitov tenkého drôtu sa rýchlo otáčala okolo svojej osi. Konce cievky boli spojené pomocou ohybných drôtov s citlivým balistickým galvanometrom. Nekrútený kotúč sa prudko spomalil a

zotrvačnosťou nosičov náboja vznikol v obvode krátkodobý prúd. Celkový náboj pretekajúci obvodom bol meraný galvanometrom.

Pri brzdení rotujúcej cievky pôsobí na každý nosič náboja e s hmotnosťou m brzdiaca sila, ktorá hrá úlohu vonkajšej sily, teda sily neelektrického pôvodu:

Vonkajšia sila na jednotku náboja je podľa definície sila poľa vonkajších síl:

V dôsledku toho v obvode, keď cievka brzdí, a elektromotorická sila:

Počas doby brzdenia cievky náboj q bude prúdiť do obvodu, rovné:

Kde je dĺžka drôtu cievky, ja– okamžitá hodnota prúdu v cievke, R– celkový odpor obvodu, – počiatočná lineárna rýchlosť drôtu.

Hodnota špecifického náboja prúdových nosičov v kove získaná v experimentoch sa ukázala byť blízka špecifickému náboju elektrónu

Dobrá elektrická vodivosť kovov sa vysvetľuje tým vysoká koncentrácia voľných elektrónov , rádovo rovnaké počet atómov na jednotku objemu.

Predpoklad, že elektróny sú zodpovedné za elektrický prúd v kovoch, vznikol oveľa skôr ako experimenty Tolmana a Stewarta. Ešte v roku 1900 nemecký vedec P. Drude na základe hypotézy o existencii voľných elektrónov v kovoch vytvoril elektrónovú teóriu vodivosti kovov. Táto teória bola vyvinutá v prácach holandského fyzika H. Lorentza a je tzv klasická elektrónová teória . Podľa tejto teórie sa elektróny v kovoch správajú ako elektrónový plyn, podobne ako ideálny plyn.

Elektrónový plyn vypĺňa priestor medzi iónmi, ktoré tvoria kryštálovú mriežku kovu. Vďaka interakcii s iónmi môžu elektróny opustiť kov len prekonaním tzv potenciálna bariéra . Výška tejto bariéry je tzv pracovná funkcia .

Pri bežných (izbových) teplotách nemajú elektróny dostatok energie na to, aby prekonali potenciálnu bariéru. Podľa Drude-Lorentzovej teórie majú elektróny rovnakú priemernú energiu tepelného pohybu ako molekuly monatomického ideálneho plynu. To nám umožňuje odhadnúť priemernú rýchlosť tepelného pohybu elektrónov pomocou vzorcov molekulárnej kinetickej teórie:

Pri pôsobení vonkajšieho elektrického poľa na kovový vodič dochádza okrem tepelného pohybu elektrónov k ich usporiadanému pohybu (driftu), teda k elektrickému prúdu. Hodnota rýchlosti driftu elektrónov leží v rozmedzí 0,6 – 6 mm/s. Priemerná rýchlosť usporiadaného pohybu elektrónov v kovových vodičoch je teda o mnoho rádov menšia ako priemerná rýchlosť ich tepelného pohybu.

Nízka rýchlosť driftu nie je v rozpore s experimentálnym faktom, že prúd v celom obvode jednosmerného prúdu sa vytvorí takmer okamžite. Uzavretie obvodu spôsobí, že sa elektrické pole šíri rýchlosťou c= 3,108 m/s. Po chvíli ( l– dĺžka reťazca) sa pozdĺž reťazca vytvorí stacionárne rozloženie elektrického poľa a v ňom sa začína usporiadaný pohyb elektrónov.

V klasickej elektronickej teórii kovov sa predpokladá, že pohyb elektrónov sa riadi Newtonovými zákonmi mechaniky. V tejto teórii sa zanedbáva vzájomná interakcia elektrónov a ich interakcia s kladnými iónmi sa redukuje iba na zrážky. Tiež sa predpokladá, že pri každej zrážke elektrón odovzdá mriežke všetku energiu nahromadenú v elektrickom poli a preto sa po zrážke začne pohybovať s nulovou driftovou rýchlosťou.

Napriek tomu, že všetky tieto predpoklady sú veľmi približné, klasická elektronická teória kvalitatívne vysvetľuje zákony elektrického prúdu v kovových vodičoch: Ohmov zákon, Joule-Lenzov zákon a vysvetľuje existenciu elektrického odporu kovov.

Ohmov zákon:

Elektrický odpor vodiča.

Drudeova teória bola vyvinutá v roku 1900, tri roky po objavení elektrónu. Túto teóriu potom zdokonalil Lorentz a dnes je klasickou a súčasnou teóriou vodivosti kovov.

Elektronická Drude-Lorentzova teória

Podľa teórie sú nosičmi prúdu v kovoch voľné elektróny.

Drude navrhol, že elektróny v kove poslúchajú a možno ich opísať rovnicami molekulárnej kinetickej teórie. Inými slovami, voľné elektróny v kove dodržiavajú zákony MKT a tvoria „elektrónový plyn“.

Pri pohybe v kove dochádza k zrážke elektrónov medzi sebou a s kryštálovou mriežkou (toto je prejav elektrického odporu vodiča). Medzi zrážkami sa elektrónom, analogicky so strednou voľnou dráhou molekúl ideálneho plynu, podarí prekonať priemernú dráhu λ.

Bez pôsobenia elektrického poľa urýchľujúceho elektróny majú kryštálová mriežka a elektrónový plyn tendenciu k stavu tepelnej rovnováhy.

Tu sú hlavné ustanovenia Drudeovej teórie:

1. Interakcia elektrónu s inými elektrónmi a iónmi sa medzi zrážkami neberie do úvahy.
2. Zrážky sú okamžité udalosti, ktoré náhle zmenia rýchlosť elektrónu.
3. Pravdepodobnosť zrážky elektrónu za jednotku času je 1 τ.
4. Stav termodynamickej rovnováhy sa dosahuje zrážkami.

Dôležité.

Napriek mnohým predpokladom teória Drude-Loretzn dobre vysvetľuje Hallov jav, fenomén vodivosti a tepelnej vodivosti kovov. Preto je aktuálna dodnes, hoci len kvantová teória pevných látok by mohla poskytnúť odpovede na mnohé otázky (napríklad prečo sú v kove voľné ióny a elektróny).

Drudeova teória vysvetľuje odolnosť kovov. Je to spôsobené zrážkami elektrónov s uzlami kryštálovej mriežky.

K uvoľňovaniu tepla podľa Joule-Lenzovho zákona dochádza aj v dôsledku kolízie elektrónov s mriežkovými iónmi.

Prenos tepla v kovoch sa tiež uskutočňuje elektrónmi a nie kryštálovou mriežkou.

Teria Drude nevysvetľuje mnohé javy, ako je supravodivosť, a nie je použiteľná v silných magnetických poliach, v slabých magnetických poliach môže stratiť použiteľnosť v dôsledku kvantových javov.

Priemernú rýchlosť elektrónov možno vypočítať pomocou vzorca pre ideálny plyn:

Tu je k Boltzmannova konštanta, T je teplota kovu, m je hmotnosť elektrónu.

Keď sa zapne vonkajšie elektrické pole, chaotický pohyb častíc „elektrónového plynu“ je superponovaný usporiadaným pohybom elektrónov pod vplyvom síl poľa, keď sa elektróny začnú pohybovať usporiadaným spôsobom s priemernou rýchlosťou u . Veľkosť tejto rýchlosti možno odhadnúť zo vzťahu:

kde j je prúdová hustota, n je koncentrácia voľných elektrónov, q je náboj elektrónu.

Pri vysokých prúdových hustotách dávajú výpočty nasledujúci výsledok: priemerná rýchlosť chaotického pohybu elektrónov je mnohonásobne (≈ 10 8) väčšia ako rýchlosť usporiadaného pohybu pod vplyvom poľa. Pri výpočte celkovej rýchlosti sa predpokladá, že

u → + v → ≈ v →

Drude vzorec

Drudeho vzorec je odvodený z Boltzmannovej kinetickej rovnice a má tvar:

σ = n q 2 τ m *

Tu m * je efektívna hmotnosť elektrónu, τ je relaxačný čas, teda čas, počas ktorého elektrón po zrážke „zabudne“, ktorým smerom sa pohol.

Drude odvodil Ohmov zákon pre prúdy v kove:

Skúsenosti Tolmana a Stewarta

V roku 1916 experiment Tolmana a Stewarta poskytol priamy dôkaz, že elektróny sú nosičmi prúdu v kovoch.

Podstata zážitku bola nasledovná.

Skúsenosti Tolmana a Stewarta

Vodivá cievka s drôtom dĺžky L sa otáčala okolo svojej osi vysokou rýchlosťou a jej konce boli uzavreté do galvanometra. Keď bola cievka prudko zabrzdená, voľné elektróny v kove pokračovali v pohybe zotrvačnosťou a galvanometer zaznamenal prúdový impulz.

Za predpokladu, že voľné elektróny dodržiavajú Newtonove zákony mechaniky, môžeme napísať, že keď sa vodič zastaví, elektrón nadobudne zrýchlenie v " (nasmerované pozdĺž drôtov v cievke). V tomto prípade na elektrón pôsobí sila smerujúca opačne ako zrýchlenie.

Pod vplyvom tejto sily sa elektrón správa tak, ako keby naň pôsobilo pole E = - m v " q. Emf vznikajúce v cievke pri brzdení možno zapísať ako:

ε = ∫ L E d l = - m v " q ∫ L d l = - m v " q L

Za predpokladu, že zrýchlenie je v každej zákrute rovnaké, môžeme napísať Ohmov zákon pre cievku a potom vypočítať náboj, ktorý ňou prejde za čas d t:

IR = - mv" qL

d q = I d t = - m L d v q R d t d t = - m L d v q R

Náboj prešiel od okamihu brzdenia po zastavenie:

q = - m L q R ∫ v 0 0 d v = - m L v 0 q R

Experiment Tolmana a Stewarta bol v dobrej zhode s teóriou, experimentálne získaný pomer q m zodpovedal pomeru náboja elektrónu k jeho hmotnosti.

Príklad

Pri T = 300 K vypočítajte priemernú rýchlosť tepelného pohybu voľných elektrónov.

Vypočítajme priemernú rýchlosť pomocou vzorca pre ideálny plyn:

k = 1,38 10 - 23 D f K

m = 9,31 10 - 31 k g

Nahradíme hodnoty a vypočítame:

v = 8 1, 38 10 - 23 3 10 2 3, 14 9, 31 10 - 31 ≈ 10 5 m s

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Experimenty, ktoré vykonali Rikke v roku 1901, Mandelstam a Papaleksi v roku 1913 a Tolman a Stewart v roku 1916, ukázali, že prúdové nosiče v kovoch sú elektróny. Prúd v kovoch môže byť spôsobený extrémne malým rozdielom potenciálov. To dáva dôvod domnievať sa, že elektróny sa pohybujú v celom kove takmer voľne. Vzhľad týchto voľných elektrónov sa vysvetľuje skutočnosťou, že počas tvorby kryštálovej mriežky sa najslabšie viazané valenčné elektróny ľahko oddelia od atómov kovu. Dá sa ukázať, že ich koncentrácia dosahuje elektróny v . Pri tak vysokej koncentrácii elektrónov je priemerná sila pôsobiaca na elektrón zo všetkých ostatných elektrónov a iónov nulová, a preto možno elektróny považovať za voľné častice a ich interakciu s iónmi možno považovať za sériu po sebe nasledujúcich zrážok.

V tejto aproximácii možno systém elektrónov analyzovať ako systém monatomických molekúl ideálneho plynu. Na základe toho Drude a neskôr Lorentz rozšírili výsledky kinetickej teórie plynov (pozri prednášky 1.2) na voľné elektróny – na takzvaný elektrónový plyn a získali Ohmov a Joule-Lenzov zákon v diferenciálnej forme.

V predminulom semestri sa tieto zákony študovali [pozri. poznámky z prednášok, časť II, vzorce (16), (38) v prednáškach 6,7].

Hustota vodivého prúdu sa rovná súčinu špecifickej elektrickej vodivosti vodiča a intenzity elektrického poľa vo vodiči, t.j.

Ohmov zákon v diferenciálnej forme. (1)

Špecifický tepelný výkon prúdu vo vodiči sa rovná súčinu jeho špecifickej elektrickej vodivosti a druhej mocniny intenzity elektrického poľa vo vodiči, t.j.

Joule-Lenzov zákon v diferenciálnej forme, (2)

kde v (1) a (2) g je elektrická vodivosť (g = 1/r).

Drude a Lorentz ukázali, že pre kovové vodiče

kde n je koncentrácia voľných elektrónov, e A m- náboj a hmotnosť elektrónu, b lñ je priemerná voľná dráha elektrónu, ávñ je priemerná rýchlosť tepelného pohybu elektrónu. Podľa vzorca (30) v prednáške 1.2 ávñ a pri T = 300 K, (hmotnosť elektrónov ), .

Rýchlosť usmerneného pohybu (rýchlosť driftu elektrónov) vznikajúca v dôsledku elektrického poľa . pre , (elektrónový náboj ), v dr = = 0,78 mm/s, teda oveľa menej ako rýchlosť tepelného pohybu elektrónu.

Takže klasická teória vysvetlila zákony Ohma, Joule-Lenza, Wiedemanna-Franza. Má však množstvo nevýhod.

Dôkladná analýza využívajúca kvantovú teóriu ukázala, že nie všetky valenčné elektróny sa voľne pohybujú po mriežke tepelnými rýchlosťami, ale len malá časť z nich. Drvivý počet valenčných elektrónov sa nepodieľa na elektrickej vodivosti (ako aj na tepelnej kapacite). To vedie k rozporom medzi klasickou teóriou a praxou. Napríklad z (3) vyplýva, že ~ ~ a v praxi vo veľkom rozsahu zmien teploty g ~ 1/T.

Tieto a ďalšie nezrovnalosti vysvetľuje kvantová teória.

V roku 1900 vytvoril nemecký fyzik P. Drude teóriu elektrickej vodivosti kovov. Táto teória je založená na nasledujúcich predpokladoch:

1. Voľné elektróny v kovoch sa správajú ako ideálne molekuly plynu. Elektrónový plyn sa riadi zákonmi ideálneho plynu.
2. Pohyb voľných elektrónov sa riadi Newtonovými zákonmi.
3. Voľné elektróny sa v procese chaotického pohybu zrážajú iba s iónmi kryštálovej mriežky.
4. Keď sa elektróny zrazia s iónmi, elektróny prenesú celú svoju kinetickú energiu na ióny.

Podľa tohto modelu voľné elektróny na segmente vodiča podliehajú chaotickému tepelnému pohybu. Elektrické pole pôsobiace vo vodiči posúva elektróny nízkou rýchlosťou (rýchlosť driftu elektrónov ~ 0,1 mm/s) pozdĺž vodiča.

Sila prúdu vo vodiči:

ja=en< v>S

Kde n– koncentrácia voľných elektrónov vo vodiči

< v>– priemerná rýchlosť driftu elektrónov

S– prierez vodiča.

Z pohľadu elektronickej vodivosti kovov bolo možné vysvetliť dôvod zahrievania vodičov pri prechode elektrického prúdu.

Elektronickú teóriu vodivosti kovov experimentálne potvrdili v roku 1913 ruskí fyzici L.I. Mandelstam a N.D. Papaleksi a v roku 1916 americkými fyzikmi T. Stewartom a R. Tolmanom.

Smer elektrického prúdu vo vodiči sa volí v smere pohybu kladne nabitých častíc.

Pomer náboja preneseného cez prierez vodiča za časový interval k tomuto časovému intervalu sa nazýva prúdová sila.

V SI [ ja] = 1 A (Ampér)

Na udržanie elektrického prúdu vo vodiči je potrebné elektrické pole. Jeho pôsobenie je charakteristické elektrické napätie.

V SI [ U] = 1 V (volty)

Na udržanie konštantného smerového pohybu nabitých častíc vo vodiči musí fungovať elektrické pole. Táto práca bola prijatá nazývajte prácu elektrického prúdu.

Práca síl elektrického poľa alebo práca elektrického prúdu na úseku obvodu s odporom R a na čas t rovná sa:

V SI [ A] = 1 J (joule)

Keď sa vodič zahrieva, jeho teplota sa zvyšuje, a preto sa zvyšuje vnútorná energia. Keď sa teplota vodiča prestane zvyšovať, začne odovzdávať okolitým telesám určité množstvo tepla, ktoré sa rovná práci vykonanej elektrickým prúdom. Takže vzorec A= IUt určuje množstvo tepla odovzdaného vodičom iným telesám.

Na zapojenie vodičov do série je vhodnejšie použiť vzorec.

Osnova prednášky

5.1. Klasická teória elektrickej vodivosti kovov.

5.2. Odvodenie Ohmovho zákona a Joule-Lenzovho zákona.

5.3. Nevýhody klasickej teórie elektrickej vodivosti kovov.

Klasická teória elektrickej vodivosti kovov

Akákoľvek teória sa považuje za úplnú iba vtedy, ak sleduje cestu od elementárneho mechanizmu javu k makrovzťahom, ktoré sa v nej nachádzajú a ktoré sa používajú v technickej praxi. V tomto prípade bolo neodolateľné spojiť vlastnosti usporiadaného pohybu voľných nábojov vo vodiči (elektrická vodivosť) so základnými zákonmi elektrického prúdu. V prvom rade bolo potrebné zistiť charakter súčasných nosičov v kovoch. Zásadné v tomto zmysle boli experimenty Rikke 1, v ktorých sa po dlhú dobu ( ≈ roku) prúd prechádzal cez tri kovové valce zapojené do série ( Cu, A1, Cu) rovnakého prierezu so starostlivo vyleštenými lapovanými koncami. Cez tento reťazec pretiekol obrovský náboj (≈ 3,5·10 6 C). Napriek tomu sa nenašli žiadne (ani mikroskopické) stopy prestupu látky z valca do valca (čo sa potvrdilo starostlivým vážením). Z toho sa usúdilo, že v kovoch proces prenosu elektrického náboja zahŕňa niektoré častice, ktoré sú spoločné (identické) pre všetky kovy.

Povaha takýchto častíc by mohla byť určená znamienkom a veľkosťou špecifického náboja (pomer náboja nosiča k jeho hmotnosti) - individuálny parameter pre ktorúkoľvek z dnes známych mikročastíc. Myšlienka takéhoto experimentu je nasledovná: keď sa kovový vodič prudko spomalí, prúdové nosiče slabo pripojené k mriežke by sa mali zotrvačnosťou pohybovať dopredu. Výsledkom takéhoto posunu je prúdový impulz a zo smeru prúdu možno určiť znamienko nosičov a pri znalosti rozmerov a odporu vodiča vypočítať špecifický náboj nosičov. Takéto experimenty poskytli pomerové hodnoty, ktoré sa zhodovali so špecifickým nábojom elektrónov. Tak sa konečne dokázalo, že nosičmi elektrického prúdu v kovoch sú voľné elektróny. Keď sa vytvorí kryštálová mriežka kovu (keď sa izolované atómy priblížia k sebe), valenčné elektróny slabo viazané na jadrá sa oddelia od atómov kovu, stanú sa „voľnými“ a môžu sa pohybovať v celom objeme. Kovové ióny sa teda nachádzajú v uzloch kryštálovej mriežky a medzi nimi sa chaoticky pohybujú voľné elektróny.

Zakladatelia klasickej teórie elektrickej vodivosti kovov, Drude 2 a Lorentz 3, boli prví, ktorí ukázali, že akýkoľvek súbor neinteragujúcich mikrocház

Rikke Karl Victor Eduard (1845 – 1915), nemecký fyzik

2 Drude Paul Karl Ludwig (1863 – 1906), nemecký fyzik

3 Lorenz Hendrik Anton (1853 – 1928), holandský teoretický fyzik

častice (vrátane voľných elektrónov v kove) možno považovať za ideálny plyn, to znamená, že všetky závery molekulárnej kinetickej teórie sú aplikovateľné na voľné elektróny v kove.

Pri svojom pohybe sa vodivé elektróny zrážajú s mriežkovými iónmi, v dôsledku čoho sa medzi ideálnym plynom voľných elektrónov a mriežkou vytvorí termodynamická rovnováha. Priemernú rýchlosť voľných elektrónov možno nájsť v súlade s výrazom pre aritmetickú priemernú rýchlosť chaotického tepelného pohybu molekúl ideálneho plynu (pozri vzorec (8.26) v prednáške 8, časť I):

ktorý pri izbových teplotách (T ≈ 300 K) dáva<u> = 1,1-105 m/s.

Pri pôsobení vonkajšieho elektrického poľa na vodič vzniká okrem tepelného pohybu elektrónov aj ich usporiadaný pohyb, teda elektrický prúd. Priemerná rýchlosť usporiadaného pohybu elektrónov -<v> možno určiť podľa (4.4). Pri maximálnej prípustnej prúdovej hustote v skutočných vodičoch (≈ 10 7 A/m 2) kvantitatívne hodnotenie dáva<v> ≈ 103 -104 m/s. Teda aj v extrémnych prípadoch je priemerná rýchlosť usporiadaného pohybu elektrónov (spôsobujúcich elektrický prúd) výrazne nižšia ako rýchlosť ich chaotického tepelného pohybu (<v> << <u>). Preto pri výpočte výslednej rýchlosti môžeme predpokladať, že (<v> + <u>) ≈ <u>. Už bolo uvedené vyššie, že konečným cieľom klasickej teórie elektrickej vodivosti kovov je odvodenie základných zákonov elektrického prúdu na základe uvažovaného elementárneho mechanizmu pohybu nosičov prúdu. Ako príklad zvážte, ako sa to urobilo pri odvodení Ohmovho zákona v diferenciálnej forme.

5.2. Odvodenie Ohmovho zákona a Joule-Lenzovho zákona

Nech je v kovovom vodiči elektrické pole s intenzitou. Zo strany poľa elektrón zažíva pôsobenie Coulombovej sily F = eE a získa zrýchlenie. Podľa Drudeovej teórie na konci strednej voľnej cesty<l> elektrón sa zrazí s mriežkovým iónom a uvoľní energiu nahromadenú pri svojom pohybe v poli (rýchlosť jeho usporiadaného pohybu sa rovná nule). Elektrón, ktorý sa pohybuje rovnomerne zrýchleným tempom, získava rýchlosť na konci svojej voľnej dráhy , Kde - priemerný čas medzi dvoma po sebe nasledujúcimi zrážkami elektrónu s mriežkovými iónmi. Priemerná rýchlosť smerového pohybu elektrónu sa rovná

Pretože (<v> + <u>) ≈ <u>, potom a (5.1) má formu . Prúdovú hustotu podľa (4.4) teda možno znázorniť ako

. (5.2)

Pri porovnaní tohto výrazu s Ohmovým zákonom v diferenciálnej forme je možné vidieť, že tieto výrazy sú identické za predpokladu, že vodivosť

V rámci klasickej teórie elektrickej vodivosti kovov bol teda Ohmov zákon odvodený v diferenciálnej forme.

Podobne bol odvodený aj Jouleov-Lenzov zákon, medzi mernou vodivosťou a tepelnou vodivosťou sa získal kvantitatívny vzťah, berúc do úvahy skutočnosť, že v kovoch prenos elektriny a tepla uskutočňujú rovnaké častice (voľné elektróny) a množstvo iné vzťahy.