Что такое продольный изгиб. Продольный изгиб прямого стержня

Разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит заданной формы. Например, изгиб при продольном сжатии тонкой линейки. Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого стержня называетсяпродольным изгибом . Упругое равновесиеустойчиво , если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится вернуться к первоначальному состоянию и возвращается к нему при удалении внешнего воздействия. Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называетсякритической нагрузкой Р кр (критической силой). Допускаема нагрузка [P]=P кр /n у,n у – нормативный коэффициент запаса устойчивости. Приближенное дифференциальное ур-ние упругой линии:
, Е –модуль упругости материала стержня, М – изгибающий момент,J min – наименьший момент инерции сечения стержня. При потере устойчивости прогиб, как правило, происходит перпендикулярно к оси наименьшей жесткости, относительно которой -J=J min . Рассматривается приближенное дифф-ное ур-ие, т.к. потеря устойчивости возникает при малых деформациях.M=-Py, получаем однородное дифф-ное уравнение:
, где
. Решая дифф-ное ур-ие находим наименьшее значение критической силы –формула Эйлера :
– формула дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. При различных закреплениях:
,– коэффициент приведения длины. При шарнирном закреплении обоих концов стержня=1; для стержня с заделанными концами=0,5; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом=2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом=0,7.

Критическое сжимающее напр-ние.:
,
– гибкость стержня,
– наименьший главный радиус инерции площади сечения стержня. Эти формулы справедливы только тогда, когда напряжения кр  пц – предел пропорциональности, т.е. в пределах применимости закона Гука. Формула Эйлера применима при гибкости стержня:
, например, для стали Ст3 (С235) кр 100. Для случая< кр критическое напряжение вычисляется по эмпирической (полученной экспериментально)формуле Ясинского : кр =a-b, коэффициенты "a" и "b" в справочной лит-ре (Ст3:a=310МПа;b=1,14МПа).

Достаточно короткие стержни, для которых < 0 =40 (для сталей) назыв-тся стержни малой гибкости. Такие стержни рассчитывают только на прочность, т.е. принимают кр = т (предел текучести) – для пластичных материалов и кр = В (временное сопротивление) – для хрупких материалов. При расчете стержней большой гибкости используют условие устойчивости:
,F брутто – полная площадь сечения,

(F нетто =F брутто -F ослабл –площадь ослабленного сечения с учетом площади отверстий в сеченииF ослабл, например, от заклепок). [ у ]= кр /n у,n у – нормативный коэф. запаса устойчивости. Допускаемое напряжение [ у ] выражается через основное допускаемое напряжение [], используемое при расчетах на прочность: [ у ]=[],–коэффициент уменьшения допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба). Значенияприведены в табл. в учебниках и зависят от материала стержня и его гибкости (например, для стали Ст3 при=120=0,45).

При проектировочном расчете требуемой площади сечения на первом шаге принимают  1 =0,5–0,6; находят:
. Далее знаяF брутто, подбирают сечение, определяютJ min ,i min и, устанавливают по табл. фактическое 1 I , если оно существенно отличается от 1 , расчет повторяется при среднем 2 = ( 1 + 1 I)/2. В результате второй попытки находят 2 I , сравнивают с предыдущем значением и т.д., пока не достигнуто достаточно близкое совпадение. Обычно требуется 2-3 попытки.

Формулы

Нормальное напряжение:
; относительная деформация
; Закон Гука :
;  = Е;
; абсолют. удлинение
; относит. поперечная деформация
; коэфф.Пуассона
; удлинение стержня
; работа при растяжении
; потенциальная энергия
; учет собств. веса стержня:N(z) = P + FL;
;
; условие прочности при растяж.-сж:  max  [];
– допуск. напр.;линейное напряженное состояние : полное напр.:
; нормальное:
; касательное:

; на перпендикулярных площадках
;
;

  = -   ; главные напряжения :  1 > 2 > 3 ; на наклонной площадке: ;
или; закон парности касательных напр. xz = -  zx ; ; ;
;;
;  +  = 1 + 2 ; макс. касательное напряжение
; главные напр-ния
;

положение главных площадок
;
;

объемное напряженное состояние : ;

;макс.касат.напр.
;

напряжения по октаэдрической площадке
;

;
;

интенсивность напряжений ;

первый инвариант:  x + y + z = 1 + 2 + 3 ; обобщенный закон Гука:

относит. объемная деформация
;
;

среднее напряжение
;
;модуль объемной деформации: К=
; потенц.энергия U=
; удельная потенциальная энергия

u =
;
;
;

; u = u о + u ф; энергия из-за изменения объема:
; энергия из-за изменения формы:

; тензор напряжений:

; тензор для главных напряжений:

Инварианты напряженного состояния :

J 1 =  x +  y +  z ; J 2 =  x  y + y  z +  y  z -  2 xy -  2 zx -  2 yz ;

J 3 =  x  y  z -  x  2 yz -  y  2 zx -  z  2 xy + 2 xy  zx  yz .

Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского сост.:

;
;

;
;Инварианты деформированного состояния :

J 1 =  x +  y +  z ; J 2 =  x  y + y  z +  z  x -  2 xy -  2 yz -  2 zx ;

тензор деформаций:
;
.

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): max =  1  [].

2-ая теор. прочности (теория наибольших относительных деформаций):  max =  1  [].  1 =
, условие прочности  экв II =  1 - ( 2 +  3) [].

3-я теор. проч. (теория наибольших касательных напряжений): max  [],  max =
,

условие прочности:  экв III =  1 -  3  [],  экв III =
 []. При  y =0
. 4-я теор. прочности (энергетическая теория):

u ф . . Для плоского напряж. сост.:. y =0, 
.

Теория прочности Мора:
, когда допускаемые напряжения на растяжение [ p ] и сжатие [ с ] не одинаковы (чугун).

Чистый сдвиг .
; угол сдвига  . Закон Гука при сдвиге: = /G;  = G;

модуль сдвига (модуль второго рода):
; потенциальная энергия при сдвиге
; удельная потенц. энергия:
; объемV=аF;
;

Геометрические характеристики сечений : площадь
; статический момент относительно осиx или y:
;
; координаты центра тяжести:

;
;
;

Осевой момент инерции:
;
; полярный момент инер.:
;

J y + J x = J p ; центробежный момент инерции:
. Прямоугольник:

; J xy =0. Круг: .Четверть круга: J y =J x =0,055R 4 ; J xy =0,0165R 4 ; J x 0 =0,0714R 4 ; J y 0 =0,0384R 4 . Моменты инерции относительно параллельных осей: J x 1 =J x + a 2 F; J y 1 =J y + b 2 F; J y 1 x 1 =J yx + abF. Моменты инерции при повороте осей: J x 1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y 1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2; J x 1 y 1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2; J y 1 + J x 1 = J y + J x . Угол, определяющий положение главных осей:
. Мом-ты инерц. относит. главн. центр. осей инерц.:
;J max +J min =J x +J y .

Радиус инерции:
;J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 . Осевой момент сопротивления:

; для прямоугольника:

; для круга:

W x =W y =
; трубчатое сечение (кольцо): W x =W y =
;

 = d Н /d B . Полярный момент сопротивления:
; для круга:W р =
.

Кручение .
,
. Угол закручивания:
; относит. угол закручивания:
. Потенциальная энергия при кручении:
;

Условие прочности:
; [] =; условие жесткости:  m к ax []. Кручение бруса прямоугольного сеч.:
;
;W k = hb 2 ; J k = hb 3 ; =  max .

Изгиб . . Нормальные напряжения:
. Закон Гука при изгибе:
, формула Навье:
. Максимальные напряжения:

, J x /y max =W x -момент сопротивления сечения при изгибе,
.

Касательные напряжения – формула Журавского:
. Для прямоугольного сечения:
,F=bh, для круглого сечения:
,F=R 2 , для любого сечения:
. Главные напряжения при поперечном изгибе:
.

Условие прочности по нормальным напряжениям
, условие прочности по касательным напряжениям
.

Условия прочности по различным теориям прочн.: I-я:
;

II-я:(при коэфф.Пуассона=0,3);

теория Мора: ,
.

Закон Гука при изгибе:
.
- дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Приближенноедифференциальное уравнение изогнутой оси балки :
.
- уравнение углов поворота,
- уравнение прогибов. Метод начальных параметров.

EJ=M(x) = R A x – – M(x – a) 0 +
– P(x – a – b); интегрируем:

EJ = EJ 0 + R A –– M(x – a) +
– P
;

EJy =EJy 0 + EJ 0 x + R A –– M
+
– P
.

Дифференциальные зависимости при изгибе :
;
;

;
. Определение перемещений способом фиктивной нагрузки.

;
;
;

;
. Теорема о трех моментах:

Косой изгиб . Напряжение в произв. точке с координатами "x,y":
;

, M x =Mcos; M y =Msin,
. Уравнение нейтр. линии:

, или
.Угол наклона нейтральной линии к главной оси "х":
.
. Наиб. напр.
,

W x =J x /y max ; W y =J y /x max . Прогиб "f":
,
.

Внецентренное сжатие–растяжение . Нормальное напряжение в произвольной точке:

; N>0 – если сила растягивающая, M x , M y >0, если моменты "растягивают" сеч. в I-ой четверти. Внутренние усилия: N=P; M y =Px p ; M x =Py p . Напряжения:
или
,

Уравнение нейтр. линии:
. Отрезки, отсекаемые нейтр. линией на осях коорд.:
.
– координаты контура ядра.

Изгиб с кручением . Макс. нормальные и касательные напряжения в опасных точках:

,
, (для круга:W=
–осевой момент сопротивления, W р =
–полярный момент сопротивления сечения). Главные напряжения в опасных точках:

Проверка прочности: по IV-ой теории прочности:

теория Мора: m=[ p ]/[ c ].

Приведенный момент: ;

I-ая теория:

II-ая: , при коэффициент Пуассона=0,3;

III-я:
IV-ая: ;

, момент сопротивления:
, диаметр вала:
.

Перемещение, вызванное несколькими силовыми факторами:  Р = Р P + Р Q + Р M . Перемещение вызванное силой Р, будет:  Р =Р Р. Работа внешних сил, действующих на упругую систему:
.
– работа при статическом действии обобщенной силы на упругую систему.

Работа внутренних сил (сил упругости) в случае плоского изгиба:
. Потенциальная энергияU=A.

Теорема о взаимности работ (теорема Бетли) : А 12 =А 21 , Р 1  12 =Р 2  21 .

 11 – перемещение по направлению силы Р 1 от действия силы Р 1 ;

 12 – перемещение по направлению силы Р 1 от действия силы Р 2 ;

 21 – перемещение по направлению силы Р 2 от действия силы Р 1 ;

 22 – перемещение по направлению силы Р 2 от действия силы Р 2 .

А 12 =Р 1  12 – работа силы Р 1 первого состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р 2 второго состояния. Аналогично: А 21 =Р 2  21 – работа силы Р 2 второго состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р 1 первого состояния..

Т

еорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р 1 =1 и Р 2 =1, то Р 1  12 =Р 2  21 , т.е.  12 = 21 , в общем случае  mn = nm . Обобщенное перемещение (формула или интеграл Мора ):

Для плоской системы: .
.

Вычисление интегр. Мора способом Верещагина .
.
.

Перемножение эпюр, имеющих вид трапеций:
.

П

 11 Х 1 + 12 Х 2 +…+ 1n Х n + 1 p =0

 21 Х 1 + 22 Х 2 +…+ 2n Х n + 2 p =0

. . . . . . . . . . . .

 n1 Х 1 + n2 Х 2 +…+ nn Х n + n p =0

ри действии равномерно распределенной нагрузки на шарнирно опертую балку эпюра строится в виде выпуклой квадратичной параболы, площадь
,
, т.е.
, х С =L/2. Для "глухой" заделки при равномерно распределенной нагрузке имеем вогнутую квадратичную параболу, для которой
;
,
, х С =3L/4. Теорема Кастильяно:
,
,
.

Канонические уравнения метода сил :

;
; ….;
;

;
; ….;
;

;
; ….;
,

коэффициенты находят по способу Верещагина:
;
и т.д.

При чистом изгибе кривых брусьев большой кривизны :
;
–

радиус нейтр. слоя Для прямоугольного сеч. высотой h, с наружным радиусом R 2 и внутренним R 1:
. Приh/R<1/2
. При наличииN:
.

Условие прочности:
,y= – h 2 или y= h 1 .

Продольный изгиб. Устойчивость . Формула Эйлера :
– для стержня с шарнирно закрепленными концами. При различных закреплениях:
,

 – коэффициент приведения длины. При шарнирном закреплении обоих концов стержня  = 1; для стержня с заделанными концами  = 0,5; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом  = 2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом  = 0,7.

Критическое сжимающее напряжение.:
,
– гибкость стержня,
– наименьший главный радиус инерции. Формула Эйлера применима при гибкости стержня:
. Для 0 <  <  кр используется формула Ясинского :  кр = a - b, где  0 , при котором  кр = т, a,b – опытные данные, для стали Ст3:

40 <  < 100.

Условие устойчивости:
; [ у ]= кр /n у; [ у ]=[].
– площадь брутто поперечного сечения, т.е. без учета его ослаблений.

Алфавитный указатель абсолютное удлинение
внутренние силовые факторы при изгибе
временное сопротивление
вторая теория прочности
геометрические характеристики плоских сечений
гибкость стержня
гипотеза о не надавливании продольных волокон
гипотеза плоских сечений
главные моменты инерции
главные напряжения
главные напряжения при поперечном изгибе
главные оси инерции
главные площадки
главные радиусы инерции
главные удлинения
главные центральные оси инерции
депланация
деформация при объемном напряженном состоянии
диаграмма напряжений для пластичных материалов
диаграмма напряжений для хрупких материалов
дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
дифференциальные зависимости между М, Q и q
дифференциальные зависимости при изгибе
допускаемое напряжение
единичная сила
единичный момент
жесткость при изгибе
жесткость сечения при кручении
жесткость стержня
закон Гука
закон Гука при изгибе
закон Гука при объемном напряжении
закон Гука при сдвиге
закон парности для объемного напряженного состояния
закон парности касательных напряжений
закон плоских сечений
изгиб с кручением
инварианты напряженного состояния
интеграл Мора
интенсивность напряжений
канонические уравнения метода сил
компоненты деформированного состояния
координаты центра тяжести
косой изгиб
коэффициент приведения длины
коэффициент продольного изгиба
коэффициент Пуассона
коэффициент уменьшения допускаемого напряжения
кривые брусья (стержни)
круг Мора для объемного напряженного состояния
круг Мора для плоского напряженного состояния
круг Мора при чистом сдвиге
кручение
кручение бруса прямоугольного сечения
кручение круглого бруса (вала)
линейное напряженное состояние
максимальное касательное напряжение
метод Мора – определение перемещений
метод начальных параметров – определение перемещений
метод сил
механические характеристики
модуль объемной деформации
модуль сдвига
модуль упругости
модуль упругости 1-го рода
модуль упругости 2-го рода
модуль Юнга
момент инерции кольца
момент инерции круга
момент инерции относительно параллельных осей
момент инерции полукруга
момент инерции прямоугольника
момент инерции треугольника прямоугольного
момент инерции треугольника равнобедренного
момент инерции четверти круга
момент сопротивления
моментом инерции при кручении
моментом сопротивления при кручении
моменты инерции при повороте осей
моменты инерции сечения
напряжения на наклонной площадке
напряжения по октаэдрической площадке
нейтральный слой (ось, линия)
неплоский изгиб
неразрезные балки
нормальные напряжения при чистом изгибе
обобщенная сила
обобщенное перемещение
обобщенный закон Гука
объемное напряженное состояние
октаэдрическая площадка
определение перемещений в балках при изгибе
осевой момент инерции сечения
осевой момент сопротивления
основная система
относительная деформация
относительная объемная деформация
относительная поперечная деформация
относительный сдвиг
относительный угол закручивания
первая теория прочности
перемножение эпюр
плоский изгиб
плоское напряженное состояние
положение главных осей инерции
полярный момент инерции сечения
полярный момент сопротивления
поперечный изгиб
построение эпюр Q
построение эпюр М
потенциальная энергия деформации
потенциальная энергия при кручении
потенциальная энергия при сдвиге
предел прочности
предел текучести
приведенная длина
продольный изгиб
прямой изгиб
радиус инерции
радиус кривизны нейтрального слоя
раскрытие статической неопределимости балки
растяжение
расчет на прочность при изгибе
сложное сопротивление
сложный изгиб
собственный вес
способ Верещагина
способ сравнения перемещений
способ фиктивной нагрузки – определение перемещений
статически неопределимые балки
статически неопределимые системы
статический момент сечения
статический момент элемента площади
степень статической неопределимости балки
степень статической неопределимости системы
тензор деформаций
тензор напряжений
теорема Бетли
теорема Кастильяно
теорема Максвелла
теорема о взаимности перемещений
теорема о взаимности работ
теорема о трех моментах
теории предельных напряженных состояний
теории прочности
теория наибольших касательных напряжений
теория наибольших нормальных напряжений
теория наибольших относительных деформаций
теория прочности Мора
теория прочности Мора
третья теория прочности
угол закручивания
угол сдвига
удельная потенциальная энергия
удельная потенциальная энергия при сдвиге
удельное перемещение
уравнение изогнутой оси балки
уравнение прогибов.
уравнение совместности перемещений
уравнение трех моментов
уравнение углов поворота
условие жесткости при кручении
условие прочности при кручении
условие прочности при растяжении
устойчивость сжатых стержней
учет собственного веса
фиктивная балка
формула Журавского
формула Мора
формула Навье
формула Эйлера
формула Ясинского
центр тяжести
центробежный момент инерции сечения
четвертая теория прочности
чистый изгиб
чистый сдвиг
эллипс инерции
энергетическая теория прочности
ядро сечения

Растяжение и сжатие 1

Учет собственного веса стержня 1

Основные механические характеристики материалов 2

Линейное напряженное состояние 2

Напряженное и деформированное состояние 3

Плоское напряженное состояние 3

Закон парности касательных напряжений 4

Круг Мора 4

Объемное напряженное состояние 5

Круг Мора для объемного напряженного состояния 5

Напряжение по октаэдрической площадке 5

Деформации при объемном напряженном состоянии 6

Потенциальная энергия деформации 6

Тензоры напряжений и деформаций 7

Теории прочности 8

Чистый сдвиг 9

Геометрические характеристики плоских сечений 10

Статический момент 10

Координаты центра тяжести 10

Моменты инерции сечения 10

Моменты инерции сечений простой формы 11

Главные моменты инерции 12

Моменты сопротивления 13

Кручение 14

Определение перемещений в балках при изгибе 17

Метод начальных параметров 17

Определение перемещений способом фиктивной нагрузки 18

Статически неопределимые балки 18

Сложное сопротивление 20

Косой изгиб 20

Изгиб с растяжением – сжатием (внецентренное сж.-раст.) 21

Изгиб с кручением 22

Общие методы определения перемещений 24

Теорема о взаимности работ и перемещений 24

Интеграл Мора, способ Верещагина 25

Статически неопределимые системы 27

Канонические уравнения метода сил 27

Расчет плоских кривых брусьев (стержней) 28

Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб 29

Формулы 31

Алфавитный указатель 40

Искривление длинного бруса прямолинейной формы, сжимаемого силой, направленной вдоль оси, вследствие потери устойчивости равновесия (см. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ). Пока действующая сила Р невелика, брус только сжимается. При превышении нек-рого значения, наз. критической силой, брус самопроизвольно выпучивается. Это нередко приводит к разрушению или недопустимым деформациям стержневых конструкций.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия .Главный редактор А. М. Прохоров .1983 .

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ

Деформация изгиба прямого стержня при действии продольных (направленных по оси) сжимающих сил. При квазистатич. возрастании нагрузки прямолинейная форма стержня остаётся устойчивой до достижения нек-рого критич. значения нагрузки, после чего устойчивой становится искривлённая форма, причём при дальнейшем возрастании нагрузки прогибы быстро увеличиваются.

Для призматич. стержня из линейно-упругого материала, сжатого силой Р, критич. значение даётся ф-лой Эйлера где E - модуль упругости материала, I - момент инерции поперечного сечения относительно оси, соответствующей изгибу, l - длина стержня, - коэф., зависящий от способа закрепления.Для стержня, опирающегося своими концами на опору,=1. При малых P -> 0 изогнутая ось близка по форме к где x - координата, отсчитываемая от одного из концов стержня. Для стержня, жёстко закреплённого на обоих концах, = 1/4; для стержня, к-рый одним концом закреплён, а другой (загруженный) его конец свободен, = 2. Критич. сила для упругого стержня отвечает точке бифуркации на диаграмме сжимающая сила - характерный прогиб. П. и.- частный случай более широкого понятия - потери устойчивости упругих систем.

В случае неупругого материала критич. сила зависит от соотношения между напряжением а и относит, деформацией при одноосном сжатии. Простейшие модели упругопластич. П. и. приводят к ф-лам типа Эйлера с заменой модуля упругости E либо на касательный модуль , либо на приведённый модуль . Для стержня прямоуг. сечения =В реальных задачах оси стержней имеют нач. искривления, а нагрузки приложены с эксцентриситетом. Деформация изгиба в сочетании со сжатием происходит с самого начала нагружения. Это явление наз. продольно-поперечным изгибом. Результаты теории П. и. используют для приближённой оценки деформации и несущей способности стержней с малыми нач. возмущениями.

При динамич. нагрузках формы П. и. и продольно-поперечного изгиба могут существенно отличаться от форм потери устойчивости при квазистатич. нагруже-нии. Так, при очень быстром нагружении стержня, опирающегося своими концами, реализуются формы П. и., имеющие две и более полуволны изгиба. При продольной силе, к-рая периодически изменяется во времени, возникает параметрический резонанс поперечных колебаний, если частота нагрузки , где - собств. частоты поперечных колебаний стержня, h - натуральное число. В нек-рых случаях параметрич. резонанс возбуждается также при

Продольный изгиб конструкции в целом. Редукция механизма разрушения. Определение пластического механизма разрушения при продольном изгибе является весьма трудоемкой задачей, которая решена лишь для некоторых отдельных случаев.
В связи с наличием начальных несовершенств в конструкции с самого начала нагружения появляются перемещения, которые оказывают влияние на ее напряженное состояние. При этом процесс пластификации существенно отличается от такого процесса, когда не учитывается деформированная схема, и в этом случае конструкция разрушается, при образовании механизма с меньшим числом шарниров.
Рассмотрим, например, раму, показанную на рис. 4.1, а. Принимаем, что нагрузка возрастает пропорционально одному параметру и пластическая несущая способность конструкции будет достигнута при силах, которые в раз больше приведенных на рисунке.
Если не учитывать влияние продольного изгиба, го на основе одного из методов пластического расчета можно определить механизм разрушения исследуемой рамы; в этом случае получим десять пластических шарниров (рис. 4.1, б). При значениях нагрузок, показанных на рис. 4.1, а, соответствующая несущая способность характеризуется коэффициентом безопасности Spl=2,15.
Однако продольный изгиб существенно изменяет работу рамы. Из расчетов Вуда, выполненных на дифференциальном анализаторе, следует, что для сечений, показанных на рис. 4.1, а (двутавровые профили с обозначениями английского стандарта на прокат), в первую очередь образуются пластические шарниры 1 и 2 (рис. 4.1, с) при коэффициенте безопасности S=1,8. Кроме того, появляются отдельные зоны текучести в середине первого, второго и четвертою ригелей. При возрастании нагрузки до значения, определяемого коэффициентом безопасности S=1,9, образуются новые пластические шарниры в сечениях 3 и 4 (рис. 4.1, с), и конструкция начнет течь в других зонах.

Поскольку при этой нагрузке в раме появляются весьма большие перемещения, значение SplVZ=1,9 можно принять за коэффициент безопасности для пластической несущей способности системы с учетом продольного изгиба.
В этом случае для разрушения рамы достаточно появления всего четырех пластических шарниров, т.е. на шесть меньше, чем по сравнению с классическим механизмом разрушения без учета продольного изгиба. Снижение несущей способности за счет продольного изгиба составляет 11,6%.
С редукцией механизма разрушения связано ограничение естественного перераспределения изгибающих моментов, которые выравниваются лишь частично.
Как отмечалось выше, продольный изгиб может существенно изменить работу системы. Однако наиболее распространенные стальные конструкции обычно имеют такие конструктивные решения, при которых влияние продольного изгиба может быть ослаблено, а иногда и вообще исключено.
Системы часто раскреплены жесткими элементами, какими, например, являются шахты лифтов, лестничные клетки и другие подобные конструкции.
Совместная работа легких стальных конструкций и жесткого, большей частью железобетонного, ядра очень часто используется в современных жилых, административных и других зданиях. Иногда конструкция пристраивается к другому объекту, который обеспечивает устойчивость пристройки. Жесткость конструкции увеличивают также перекрытия, покрытия и стены, которые совместно с несущими рамами составляют жесткую пространственную систему. В этом случае несущие рамы не работают отдельно, как это предполагается в статическом расчете, а как пространственный каркас совместно с другими элементами объекта.
Для схемы шарнирного опирания конструктивное решение шарнира существенно отличается от шарнира теоретического, который предполагает свободный поворот. При этом в действительности имеем упругое защемление, в некоторых случаях достаточно близкое к полному защемлению, в связи с чем жесткость конструкции увеличится, и распределение изгибающих моментов будет более благоприятным. При достаточной высоте стены сами несут собственный вес, облегчая ригели рам и загружая непосредственно колонны. Измерения на построенных зданиях показывают, что для ригелей рам, загруженных весом кирпичных стен, изгибающий момент составляет G1l/11 для одного ряда кирпича; G2l/27 - при высоте кладки 1,5 м; G3l/132 при высоте 4 м (где Gi - соответствующий вес кладки, l - пролет ригеля). Уменьшение изгибающих моментов в середине пролета уменьшает влияние продольного изгиба.

С учетом изложенного влияние продольного изгиба можно не учитывать и расчеты выполнять согласно рекомендациям данным далее для конструкций, которые присоединены к другим, достаточно жестким объектам (рис. 4.2, а); для конструкций с жестким ядром, выполненным из железобетона или стальных связей (рис. 4.2, с); для конструкций с жесткой системой колонн, кровли и стен, которые совместно с несущими рамами или дополнительными связями (жесткостями) образуют жесткую пространственную систему.
В остальных случаях необходимо рассматривать устойчивость с учетом деформированной схемы. Однако даже для самых распространенных схем этот метод допускает решения только для некоторых случаев; при этом требуется применение ЭВМ с большой памятью. Поэтому приводятся приближенные решения, которые помогут проектировщику получить достаточно точные результаты.
Формула Мерчанта - Ранкина. Предельную нагрузку конструкций, рассчитываемых за пределом упругости с учетом влияния продольного изгиба, приближенно можно определить по формуле

Формула (4.1) рекомендована Мерчантом, который теоретические решения продольного изгиба рам дополнил многочисленными сопоставленными испытаниями на моделях. На рис.4.3 показано сравнение расчетов по формуле (4.1) с экспериментальными данными Мерчанта. Почти все экспериментальные результаты находятся выше значений, вычисленных по формуле (4.1), так что формула является достаточно надежной.

Поскольку формула (4.1) аналогична формуле Ранкина для продольного изгиба стержней, ее называют формулой Мерчанта - Ранкина.
Наибольшая допустимая гибкость колонн. Установим значение характеристик сечении колонн рам, при которых влияние устойчивости можно не учитывать. В качестве характерного параметра примем гибкость колонн в плоскости рамы.
В металлостроительстве применяются самые разнообразные рамы, для расчета которых необходим различный подход. Учитывая современное состояние в области устойчивости неупругих рам, сделать это практически невозможно. Поэтому пока необходимо исключить подобный расчет для систем, поведение которых с учетом продольного изгиба еще не изучено, а в остальных случаях разработать рекомендации для расчета на основе рассмотрения отдельных характерных рам того или иного класса систем.
Для дальнейшего исследования в качестве характерной принимаем одноэтажную однопролетную раму, показанную на рис. 4.4, а. Эта схема дает некоторый запас надежности, так как рассмотрение одного или нескольких пролетов с учетом малой вероятности одновременного совпадения самых неблагоприятных факторов, вообще говоря, увеличивает устойчивость конструкции. Следующей предпосылкой в запас надежности является то, что будем рассматривать рамы, колонны которых имеют шарнирное опирание, в то время как заделка, даже частичная, значительно увеличивает общую жесткость конструкции. Далее будем предполагать, что рама загружена двумя силами P, действующими на ригель симметрично по отношению к оси симметрии рамы.
Если бы система не была подвержена продольному изгибу, то она разрушилась бы в результате образования механизма с двумя шарнирами (рис. 4.4, b).

Боковое отклонение рамы изменяет ее напряженное состояние. Например, при отклонении вправо нагрузка на узел В уменьшается, и пластический шарнир в нем не возникнет, и наоборот, узел С будет при этом перегружен, и поворот в соответствующем пластическом шарнире увеличится.
Пластический шарнир в сечении С представим в виде обычного шарнира, что также приведет к запасу надежности. После этого перенесем силы P в узлы В и C, что несколько уменьшает надежность, однако вполне компенсируется указанными выше предпосылками.
С учетом сделанных допущений рассмотрим продольный изгиб трехшарнирной рамы (рис. 4.4, с), загруженной двумя силами P в узлах В и С. Решение можно представить в следующем виде:


Для исследуемой рамы зависимость (4.2) показана на рис. 4.5 для значений Isl/Ipb=0,5 и 2,5. Для промежуточных значений разрешается линейная интерполяция. В запас надежности эти кривые можно заменить линейной зависимостью следующего вида:

Прямая, соответствующая формуле (4.3), на рис. 4.5 дана штриховой линией. Поскольку λх=l/ix, влияние продольного изгиба при пластическом проектировании можно не учитывать, если выполняется условие

Очевидно, что эту формулу можно применять только для N≤Npl, так как при N→0,5/Npl требуемое значение радиуса инерции чрезмерно возрастает.
Формулы (4.3) и (4.4) можно принять в качестве основы для расчета всех одноэтажных, а с учетом предпосылок в запас надежности - также двухэтажных рам. Эти формулы включены в ряд зарубежных норм по расчету стальных конструкций за пределом упругости и их можно использовать, пока не будут получены более точные результаты расчета рам на продольный изгиб. Необходимо отметить, что требование ЧСН 73 1401/1976 о том, чтобы при пластическом проектировании предельная гибкость сжатых и сжато изгибаемых стержней равнялась λ≤120√210/R, относится только к одиночным стержням и не распространяется на устойчивость систем в целом. Если при проектировании конструкций не учитывать устойчивость, то необходимо ограничить гибкость колонн согласно формуле (4.3).

Продольный изгиб отдельного стержня. Неполный пластический шарнир. Рассмотрим продольный изгиб стержня, нагруженного продольной силой N и моментами на концах M1 и M2 (рис. 4.6, а); при этом М1≥M2. Принимаем, что направления действия моментов на рисунке положительны.
Предположим вначале, что М1=M2=М. В этом случае имеем внецентренное сжатие стержня с постоянными эксцентриситетами е=M/N на концах (рис. 4.6,b).
Исследуем изгиб стержня в плоскости симметрии сечения. Наибольший изгибающий момент возникает в середине длины стержня. При некотором значении продольной силы в крайних вогнутых волокнах срединного сечения появляется текучесть материала. При увеличении нагрузки область текучести распространяется по длине стержня и в глубину сечения; затем появляется другая область текучести с выпуклой стороны стержня. Обычно при разрушении внецентренно сжатого стержня появляется неполный шарнир пластичности в отличие от полного пластического шарнира при изгибе.

Вид неполного шарнира (рис. 4.7) определяется размерами стержня и долей изгибающего момента в его напряженном состоянии. Стержни большой и средней гибкости с малыми эксцентриситетами разрушаются, как показано на рис. 4.7, а, когда область появления пластических деформаций возникает только с вогнутой стороны стержня. Для стержней большой гибкости с большими эксцентриситетами односторонние пластические области распространены по всей длине стержня (рис. 4.7, b). Неполный пластический шарнир для стержня меньшей гибкости и с меньшим эксцентриситетом показан на рис. 4.7, с, при этом пластические области находятся в средней части стержня с выпуклой и вогнутой сторон. Несущая способность стержней при продольном изгибе средней и малой гибкости при большом эксцентриситете будет достигнута в том случае когда область течения материала с вогнутой стороны распространится на всю длину стержня, в то время как с выпуклой стороны она будет ограничена только в его средней части (рис. 4.7, a). Наконец, стержни малой гибкости с большими эксцентриситетами разрушаются, когда пластические области с выпуклой и вогнутой сторон распространяются на всю длину стержня (рис. 4.7, е).
На основе изложенного выше можно отметить следующие закономерности. С увеличением гибкости стержня неупругие области при его разрушении сосредотачиваются в середине длины. С увеличением эксцентриситета области текучести материала появляются не только с вогнутой, но также и с выпуклой стороны стержня. Этот результат понятен, так как с возрастанием гибкости стержня увеличивается влияние изгиба от продольной силы N, что приводит к большой неравномерности распределения изгибающего момента от перемещений. С возрастанием эксцентриситета нагрузки увеличивается влияние начального изгибающего момента M на напряженное состояние стержня, который по своей работе приближается к работе изгибаемой балки с одинаково напряженными волокнами с вогнутой и выпуклой сторон. Полный пластический шарнир может возникнуть только у стержней, имеющих небольшие гибкости, когда влияние продольного изгиба несущественно.
Рассмотрим теперь изгиб сжатого стержня с неодинаковыми концевыми моментами M1 и M2, эквивалентного по схеме внецентренно сжатому стержню с разными эксцентриситетами e1 и e2 на концах (рис. 4.6, с). В этом случае изогнутая ось стержня несимметрична, тем больше, чем больше отношение моментов M2/M1 отличается от + 1,0.
При M1=-M2 стержень изгибается в виде двух антисимметричных полуволн. При такой форме изогнутой оси наиболее напряженное сечение смещается в направлении к большему концевому моменту, вплоть до крайнего сечения стержня. Положение наиболее напряженного сечения является функцией сжимающей силы N. При достаточно малом ее значении угол φ≤ψ, и наиболее напряженным является сечение на конце стержня. В этом случае изгибающий момент М1 при деформации стержня не увеличивается, влияние продольного изгиба не проявляется и стержень разрушится, когда в этом сечении появится полный пластический шарнир.

При других соотношениях концевых моментов М1 и M2 при разрушении стержня появится неполный пластический шарнир и в этом случае при расчете стержня решающим является продольный изгиб. С уменьшением отношения m=M2/M1 несущая способность стержня при продольном изгибе увеличивается.
Плоский продольный изгиб идеального стержня. Идеальным называется стержень без каких бы то ни было начальных несовершенств, из однородного материала без собственных (остаточных) напряжений, абсолютно прямой, с силой, действующей строго по центру тяжести сечения стержня.
Рассмотрим шарнирно закрепленный на концах идеальный стержень, нагруженный продольной силой N и концевыми моментами М1 и M2. Задача заключается в том, чтобы при известных длине и сечении стержня, а также значении продольной силы определить, какие концевые моменты M1 и M2 (с их отношением m=M2/M1) вызывают исчерпание несущей способности при продольном изгибе.
Существует ряд решений этой задачи. Одно из них приведено в работе и основано на следующих предпосылках:
1) изолированный стержень, нагруженный продольной силой и концевыми моментами и изгибается в плоскости действия моментов, которая совпадает с плоскостью симметрии сечения стержня; пространственный продольный изгиб при этом исключается;
2) стержень изготовлен из американской стали А7, соответствующей нашим сталям класса 37, и ее диаграмма работы может быть представлена упрощенно в виде диаграммы Прандтля;
3) стержень имеет постоянное сечение;
4) в начальном состоянии стержень является совершенно прямым;
5) в сечении имеются собственные напряжения, показанные на рис. 4.8 (это является отступлением от принятого определения идеального стержня);
6) поперечные сечения остаются плоскими и после изгиба стержня; перемещения стержня малы.
Авторы работы выполнили численными методами исследования для американского широкополочного двутаврового сечения 8WF31, которое было принято из-за низкого коэффициента формы сечения f=Z/W=1,1. Необходимо отметить, что для обычных сечений при f≥1,1 полученные результаты имеют некоторый запас надежности. Процесс последовательных аппроксимаций при решении задачи был весьма трудоемким и длительным.

Рис. 4.9 показывает, при каких значениях момента М1, продольной силы N, гибкости λх и отношения m=M2/M1 происходит разрушение стержня. При заданных величинах N/Npl и λx значение M1/Mpl существенно увеличивается при уменьшении m. Чем меньше отношение m, тем больше несущая способность стержня, при продольном изгибе. При m=-1, т.е. когда на концах стержня действуют равные моменты одного и того же знака, при N≤0,6 Npl и λx≤120 продольный изгиб практически можно не учитывать.
Пространственный продольный изгиб идеального стержня. Исследование несущей способности стержня при пространственном продольном изгибе является во много раз более трудной задачей, чем при плоском продольном изгибе. Точное решение задачи весьма трудоемко и длительно, в связи с чем в практических расчетах используются более простые приближенные формулы, учитывающие совместное влияние различных факторов. При этом, однако, рассматривается несущая способность стержня при продольном изгибе и учитываются только критические напряжения, при которых происходит потеря устойчивости стержня из плоскости действия моментов при изгибно-крутильных деформациях. Поэтому действительный пластический резерв несущей способности стержня при таком подходе не может быть реализован.
Для упругого идеального стержня открытого сечения, сжатого продольной силом N и нагруженного постоянным изгибающим моментом M, действующим в плоскости, перпендикулярной оси поперечного сечения классическая приближенная формула при совместном их действии имеет следующий вид:

Формула (4.5) удовлетворяет граничным случаям, поскольку для центрально сжатого и изгибаемого стержня выполняются отношения

В классическом виде (4.5) эта формула взаимодействия не учитывает влияние изгиба на критические напряжения. В действительности стержень изгибается с самого начала нагружения моментом M в плоскости его действия, причем изгиб еще больше увеличивается в результате действия сжимающей силы N.
В связи с этим в формуле взаимодействия (4.5) необходимо уточнить значение изгибающего момента

Выше рассматривались стержни, нагруженные продольной сжимающей силой N и постоянным изгибающим моментом М. Рассмотрим теперь стержень, на который кроме продольной силы N действуют разные концевые моменты M1 и М2 (M1 - больший из них). В этом случае расчет может быть приведен к основной задаче продольного изгиба стержня с постоянным моментом путем введения эквивалентного изгибающего момента M*. Значение M* определяется из условия, что критическое напряжение стержня, загруженного продольной силой N и разными моментами М1 и M2, равно критическому напряжению того же стержня, на который действует сила N и постоянный эквивалентный момент М*.
Вопросом определения М* занимался ряд исследователей. Наиболее распространенной является формула Maccoно

Исследуем теперь продольный изгиб рассмотренного стержня в неупругом состоянии. В этом случае часто применяют приближенную формулу, аналогичную формуле (4.7), причем вместо Ncr и Mcr подставляют критическую силу Npl,cr и момент Mpl,cr неупругого стержня. Обоснованием для такого подхода являются экспериментальные исследования, основные результаты которых приведены далее.
Определение критических значений Ncr и Mcr является классической задачей устойчивости, которая хорошо изложена в специальной литературе. В неупругой стадии часто используют подход Энгессера - Шенли, который предполагает возрастание нагрузки во время потери устойчивости, в связи с чем не учитывается разгрузка. Формулы для критических парам даются в справочниках, в частности, где приведены формулы для критических сил и моментов в зависимости от вида нагрузки на стержень и закрепления его концов, а также многочисленные таблицы и графики, которые облегчают расчет.
Формулу взаимодействия (4.7), в которой Ncr=Npl,cr и Mcr=Mpl,cr, можно преобразовать таким образом, чтобы она позволяла сразу вычислять допустимые концевые моменты M1 и M2=mM1. Если подставить M* из формул (4.9) или (4.10) в формулу (С7) и выразить пластический критический момент в виде Mpl,cr=kMpl, после преобразований получим

Выше был рассмотрен пространственный продольный изгиб тонкостенных стержней с открытым контуром сечения. Стержни с замкнутым профилем или достаточно жестким недеформируемым сечением имеют существенно большую жесткость при кручении. Поэтому для обычных сечений в этих случаях пространственный продольный изгиб можно не учитывать и выполнять проверку устойчивости только в плоскости наименьшей жесткости стержня. Исключение составляют высокие замкнутые сечения при h≥10b (h - высота, b - ширина поперечного сечения), которые сравнительно редко применяются в стальных конструкциях.
Экспериментальная проверка формул для идеальных стержней. Приближенное теоретическое решение рассматриваемой задачи приведено ранее. Сравним получаемые результаты с данными экспериментальных исследований внецентренно сжатых стержней.
Рассмотрим вначале случай плоского продольного изгиба. На рис. 4.10 дано сравнение теоретических решений с результатами испытаний Maccoнэ, Фишера и Винтера показанными на рисунке крестиками и кружками. При этом учитывался действительный предел текучести. Испытывались стержни, нагруженные в плоскости наименьшей жесткости, которые фактически разрушались в результате плоского продольного изгиба; схема стержня и сечения приведены на рис. 4.10. Как видно из рисунка, теоретические результаты довольно близки к экспериментальным, последние в большинстве случаев немного превышают теоретические. Это и понятно, так как значения коэффициентов формы сечения испытываемых стержней были большими, чем принятые в теоретических решениях f=(1,17-1,25)/1,1, а фактические собственные напряжения оказались меньше принятых авторами, т.е. σ"0=0,23σfl≤0,3σfl.

В США испытывались стержни из широкополочных двутавров, нагруженные, как показано на рис. 4.11, а, и закрепленные таким образом, чтобы исключить пространственный изгиб. Результаты испытаний сравнивались с теоретическими кривыми Галамбоша и Кеттер. Сравнение показывает в целом хорошую сходимость (рис. 4.11 , b-d), за исключением стержня Т13, для которого экспериментальный результат получился выше. Это различие можно объяснить малой гибкостью стержня, незначительным влиянием продольной силы N на общую напряженность стержня и, по-видимому, работой материала в зоне самоупрочнения.
В случае пространственного продольного изгиба необходимо проверить приближенные формулы (4.12) или (4.14). Приведем результаты испытаний Хилла, Гартмана и Кларка, которые испытали большое число стержней из легких сплавов двутаврового и H-образного сечений, а также стержней с сечением из круглых труб при плоском продольном изгибе. Сравнение экспериментальных данных с результатами, полученными по формуле взаимодействия (4:5), показано на рис. 4.12,а дли плоского продольного изгиба зачерненными кружками; для пространственного продольного изгиба белыми кружками. Как видно из рис. 4.12, я,безопасность расчетов по формуле (4.5) не обеспечивается. Что касается результатов, полученных по формуле (4.7), то они значительно лучше соответствуют экспериментальным данным, в особенности для пространственного продольного изгиба. Некоторые точки в этом случае лежат ниже теоретической прямой, что можно объяснить влиянием начальных отклонений, которые приближенные формулы для идеального стержня не учитывают. Безопасность расчетов можно получить только при расчете реального стержня, имеющего неизбежные начальные несовершенства.


Продольный изгиб реального стержня. Если в теоретических расчетах не учитывать начальные отклонения, то фактическая работа стержня при продольном изгибе искажается. Поэтому необходимо рассмотреть реальный стержень, которым имеет случайные отклонения от принимаемых идеальных предпосылок.
Рассмотрим вновь пространственный продольный изгиб стержня, нагруженного продольной силой N и концевыми моментами M1 и M2. Полученные ранее конечные формулы являются достаточно универсальными; так, например, формулу для плоского продольного изгиба можно рассматривать как частный случай общей формулы.
Таким образом, и здесь можно применить формулы взаимодействия, аналогичные полученным ранее. Однако в них требуется заменить критические нагрузки Npl,cr и Mpl,cr для идеального стержня предельными величинами, которые соответствуют реальному стержню со случайными отклонениями.
Если не учитывать влияние начальной погиби в плоскости внешних моментов, то формулу взаимодействия для расчета можно записать в виде

Дальнейший анализ будет сделан применительно к формуле (4.16). Если обозначить λх,fl=√π2E/σfl, N- Npl/c и M=Mpl/c0 (где с и сО -соответственно коэффициенты, учитывающие продольный изгиб и устойчивость при изгибе для упругого расчета), то формулу (4.16) можно записать в виде

В ЧСН 73 1401/1976 установлено, что сжатоизгибаемые стержни должны иметь гибкость не более 120√210/R=120√240/σfl (R или σfl в Н/мм2).
В одном из предложений при пересмотре норм проектирования для расчета сжатоизгибаемых стержней была рекомендована формула


Однако в нормах ЧСН 73 1401/1976 для расчета сжатоизгибаемых стержней приведена более простая формула

которая получена путем преобразования формулы (4.17). Здесь М - эквивалентный изгибающий момент M*, определяемый по формулам табл. 4.2. Нормы разрешают применять эту таблицу для стержней, у которых нагрузка (сила и момент) приложена между опорами стержня. Место приложения нагрузки в этом случае разделяет стержень на две части, для которых эквивалентный момент можно принимать как для стержня незакрепленной рамы.
Приведенные формулы справедливы для случая продольного изгиба, когда момент действует в плоскости, перпендикулярной главной оси Х (М=Мх) . Нормы не устанавливают, как поступать в случае, если стержень нагружен продольной силой N и моментами в двух главных плоскостях Mх и Mу. Предполагаем, что формулы (4.17) или (4.19) можно распространить и на этот случай:

Способность к повороту в пластических шарнирах на концах стержней. Рассмотрим вопрос, обладают ли концевые сечения стержня, нагруженного продольным изгибом, такой способностью к деформациям, чтобы при поворотах, возникающих в них пластических шарниров, мог образоваться полный механизм разрушения. Для ответа на этот вопрос следует проанализировать результаты экспериментальных исследований стальных рам и стержней на продольный изгиб.
Испытания для случая плоского продольного изгиба были проведены в CШA на стержнях, нагруженных сжимающей силой N и изгибающим моментом M1 на одном конце; при этом были приняты меры против появления пространственного изгиба. Результаты измерений показали, что поворот υ в пластическом шарнире на конце стержня в 4 раза превышал теоретический упругий поворот υel, отвечающий несущей способности. Характерная кривая M1/ Mpl=pel(υ/υel) приведена на рис. 4.13. Она соответствует стержню двутаврового сечения гибкости λх=55, нагруженному сжимающей силой N=0,325 Npl и моментом M1 на конце стержня, на котором образовался пластический шарнир. В других испытаниях наблюдались аналогичные зависимости.
Эксперименты также показали, что способность к повороту в пластическом шарнире увеличивается с уменьшением гибкости λx и увеличением силы N, т.е. при уменьшении влияния продольного изгиба.
Из этих исследований следует вывод, что при плоском продольном изгибе способность к повороту в пластических шарнирах в сечениях на концах стержня достаточна, чтобы в системе мог образоваться полный механизм разрушения.

При рассмотрении пространственного продольного изгиба необходимо в первую очередь ознакомиться с исследованиями, проведенными в Лехайском университете США. Были испытаны стержни двутавровых сечений 8 WF 31 и 4 WF 13 (широкополочные профили) с гибкостями от 27 до 111, нагруженные, в основном сжимающей силой N=0,12 Npl и различными комбинациями концевых моментов M1 и M2, стержни не были раскреплены против возникновения пространственного изгиба. Во многих испытаниях углы поворота в пластических шарнирах на концах были всего в 2 раза больше упругих углов поворота υel (в то время как при плоском продольном изгибе - в 4 раза). Большая способность к поворотам была выявлена в стержнях с неодинаковыми концевыми моментами. Вместе с тем исследования показали опасность ограниченных поворотов в пластических шарнирах на концах стержней при пространственном продольном изгибе.
В связи с этим в рассматриваемом случае необходимо заранее проверить, не появляются ли пластические шарниры на концах стержня при продольном изгибе последними в кинематическом механизме разрушения. Если это то даже недостаточная способность к повороту в последнем пластическом шарнире не препятствует возникновению такого механизма, поскольку именно этим шарниром завершается его образование. В противном случае пространственный продольный изгиб может ограничивать поворот в шарнирах и тем самым препятствовать появлению следующих пластических шарниров, которые должны завершить образование механизма разрушения. В этом случае для большей осторожности вместо учета возможности пространственного продольного изгиба лучше воспользоваться рекомендациями для неупругих стержней.

Общие положения

Расчёты на устойчивость

Выше отмечалось, что в сопротивлении материалов рассматривается три вида расчётов: 1) на прочность, 2) на жесткость и 3) на устойчивость.

При рассмотрении напряженно-деформированных состояний растяжения-сжатия, кручения и изгиба решались задачи только по расчётам на прочность и жесткость.

Расчеты на устойчивость в силу их специфики приходятся выделять отдельной темой. Например, что будет показано ниже, при расчётах на устойчивость сжатого стержня необходимо рассматривать одновременно вопросы как сжатия, так и изгиба.

В предыдущих разделах, используя метод сечений для определения внутренних силовых факторов, мы рассматриваем условия статического равновесия отсеченной части стержня. При этом предполагалось, что эта отсеченная часть находится в состоянии устойчивого равновесия. Между тем, в аналитической механике рассматривается три вида равновесия: устойчивое, безразличное и неустойчивое.

Некоторые конструкции, как, например, длинные тонкие стержни, испытывающие сжатие вдоль оси; труба под действием наружной распределенной нагрузки; оболочки под действием сосредоточенной нагрузки при некоторых значениях нагрузки могут перейти из заданного положения равновесия в состояние неустойчивого равновесия. Соответствующие нагрузки получили название критических.

В сопротивлении материалов в качестве примера перехода из состояния устойчивого равновесия в неустойчивое рассматривается сжатие гибкого стержня.

При продольном сжатии стержня может наступить такой момент, когда прямоугольный стержень при разовом воздействии поперечного толчка изогнётся. Такое состояние, когда стержень может иметь как прямолинейную ось, так и изогнутую, получило название «бифуркация». Сжимающая сила, соответствующая такому состоянию, получила название критической силы «Р кр». Задачу по определению критической силы сжатого стержня впервые решил Леонард Эйлер , решая задачу продольного изгиба.

При решении задачи по расчёту длинного тонкого стержня на продольный изгиб Эйлер предполагал, что стержень выполнен из линейно-упругого материала.

Расположим шарнирно опертый стержень в горизонтальном положении, см. рис 12.1. Правый торец стержня опирается на «каток», левый – на неподвижную шарнирную опору.

При действии в сечении «В» критической силы «Р кр» стержень получит боковое выпучивание. Перемещением подвижного шарнира «В» пренебрегаем, считая, что длина стержня 2l остается неизменной. Стержень работает на изгиб. Сечению «Z» соответствует прогиб «V» и кривизна «ρ». Выше было получено выражение для кривизны балки:

В случае потери устойчивости стержень всегда прогибается в плоскости наименьшей жесткости. Поэтому момент инерции не зависимо от обозначения осей при расчете стержней на устойчивость принято обозначать «J min». Дифференциальное уравнение упругой линии балки при продольном изгибе записывается следующим образом:

Дифференциальное уравнение упругой линии балки при продольном изгибе записывается следующим образом:

Прогиб «V» мал, то есть:

И знаменатель левой части уравнения (12.1) можем считать равным единице.

Изгибающий момент может быть определен:

В итоге получаем:

И окончательно дифференциальное уравнение при продольном изгибе получает вид:

Введем обозначение:

Решение уравнения (12.5) ищем в виде:

Постоянные интегрирования определим из граничных условий:

1) При Z=0 , V(A) = 0;

2) При Z=l , V(B) = 0

В итоге решение уравнения (7.5) имеет вид:

V(Z)=A·sin Kl = 0

Для определения критической силы рассмотрим выражение (12…..). Значение, равное нулю, синус принимает при следующих значениях аргумента:

Kl= O; π;2π;…;nπ.

Минимальное значение аргумента получает вид:

С учётом (12.4) можем записать:

Окончательно, полученное Л.Эйлером выражение для критической силы имеет вид:

Согласно (12.7) данное значение критической силы имеет место, когда стержень получает прогиб по полусинусоиде. Но это справедливо только для рассматриваемого случая закрепления стержня. Например, при трёх опорах стержень получает прогиб равный одному периоду синусоиды (см. рис. 12.2).

Только сжимается. При превышении нек-рого значения, наз. критической силой, брус самопроизвольно выпучивается. Это нередко приводит к разрушению или недопустимым деформациям стержневых конструкций.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ

Деформация изгиба прямого стержня при действии продольных (направленных по оси) сжимающих сил. При квазистатич. возрастании нагрузки прямолинейная форма стержня остаётся устойчивой до достижения нек-рого критич. значения нагрузки, после чего устойчивой становится искривлённая форма, причём при дальнейшем возрастании нагрузки прогибы быстро увеличиваются.

Для призматич. стержня из линейно-упругого материала, сжатого силой Р, критич. значение даётся ф-лой Эйлера где E - модуль упругости материала, I - момент инерции поперечного сечения относительно оси, соответствующей изгибу, l - длина стержня, - коэф., зависящий от способа закрепления. Для стержня, опирающегося своими концами на опору,=1. При малых P -> 0 изогнутая ось близка по форме к где x - координата, отсчитываемая от одного из концов стержня. Для стержня, жёстко закреплённого на обоих концах, = 1/4; для стержня, к-рый одним концом закреплён, а другой (загруженный) его конец свободен, = 2. Критич. сила для упругого стержня отвечает точке бифуркации на диаграмме сжимающая сила - характерный прогиб. П. и.- частный случай более широкого понятия - потери устойчивости упругих систем.

В случае неупругого материала критич. сила зависит от соотношения между напряжением а и относит, деформацией при одноосном сжатии. Простейшие модели упругопластич. П. и. приводят к ф-лам типа Эйлера с заменой модуля упругости E либо на касательный модуль , либо на приведённый модуль . Для стержня прямоуг. сечения =В реальных задачах оси стержней имеют нач. искривления, а нагрузки приложены с эксцентриситетом. Деформация изгиба в сочетании со сжатием происходит с самого начала нагружения. Это явление наз. продольно-поперечным изгибом. Результаты теории П. и. используют для приближённой оценки деформации и несущей способности стержней с малыми нач. возмущениями.

При динамич. нагрузках формы П. и. и продольно-поперечного изгиба могут существенно отличаться от форм потери устойчивости при квазистатич. нагруже-нии. Так, при очень быстром нагружении стержня, опирающегося своими концами, реализуются формы П. и., имеющие две и более полуволны изгиба. При продольной силе, к-рая периодически изменяется во времени, возникает параметрический резонанс поперечных колебаний, если частота нагрузки , где - собств. частоты поперечных колебаний стержня, h - натуральное число. В нек-рых случаях параметрич. возбуждается также при

Лит.: Лаврентьев М. А., Ишлинский А. Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем "ДАН СССР", 1949, т. 64, № 6, с. 779; Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем, М., 1956; Воль мир А, С., Устойчивость деформируемых систем, 2 изд., М. 1967. В. В. Болотин

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ" в других словарях:

В сопротивлении материалов изгиб сжатого (первоначально прямого) стержня вследствие потери им устойчивости. Возникает при достижении напряжениями критических значений … Большой Энциклопедический словарь

Изгиб детали сооружения или машины под действием сжимающей силы. П. И. возникает, когда длина детали значительно превосходит ее поперечные размеры. Сила, при которой наступает П. И., называется критической силой. Величина последней зависит от… … Морской словарь

продольный изгиб - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN lateral bendingbuckling …

Продольный изгиб - – возникновение прогиба изогнутого элемента от дей­ствия продольных сил. [Терминологический словарь по бетону и железобетону. ФГУП «НИЦ «Строительство» НИИЖБ им. А. А. Гвоздева, Москва, 2007 г. 110 стр.] Рубрика термина: Теория и расчет… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

В сопротивлении материалов, изгиб прямого длинного стержня при действии на него продольных (направленных по оси) сжимающих сил. Возникает при достижении силами некоторого критического значения. * * * ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ, в… … Энциклопедический словарь

Изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери им устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. П. и. возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критич. значений. При расчёте конструкций… … Большой энциклопедический политехнический словарь

В сопротивлении материалов, Изгиб первоначально прямолинейного стержня под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил вследствие потери им устойчивости. В упругом стержне постоянного сечения различным формам потери… … Большая советская энциклопедия

продольный изгиб колонны - — Тематики нефтегазовая промышленность EN buckling of string … Справочник технического переводчика

Если судно плавает на воде, то вес его должен равняться вертикальному давлению воды, т. е. весу воды в объеме подводной части судна (водоизмещению). Если же у плавающего судна рассмотреть какой нибудь отдельный отсек abcd (фиг. 1) между двумя… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона