Когда решают задачи на перемещение объектов, то в ряде случаев пренебрегают их пространственными размерами, вводя понятие материальной точки. Для другого типа задач, в которых рассматриваются покоящиеся или вращающиеся тела, важно знать их параметры и точки приложения внешних сил. В этом случае речь идет о моменте сил относительно оси вращения. Рассмотрим этот вопрос в статье.
Понятие о моменте силы
Перед тем как приводить относительно оси вращения неподвижной, необходимо пояснить, о каком явлении пойдет речь. Ниже дан рисунок, на котором изображен гаечный ключ длиной d, к концу его приложена сила F. Нетрудно представить, что результатом ее воздействия будет вращение ключа против часовой стрелки и откручивание гайки.
Согласно определению, момент силы относительно представляет собой произведение плеча (d в данном случае) на силу (F), то есть можно записать следующее выражение: M = d*F. Сразу же следует оговориться, что приведенная формула записана в скалярном виде, то есть она позволяет рассчитать абсолютное значение момента M. Как видно из формулы, единицей измерения рассматриваемой величины являются ньютоны на метр (Н*м).
- векторная величина
Как выше было оговорено, момент M в действительности представляет собой вектор. Для пояснения этого утверждения рассмотрим другой рисунок.
Здесь мы видим рычаг длиной L, который закреплен на оси (показано стрелкой). К его концу приложена сила F под углом Φ. Нетрудно себе представить, что эта сила будет вызывать подъем рычага. Формула для момента в векторной форме в этом случае запишется так: M¯ = L¯*F¯, здесь черта над символом означает, что рассматриваемая величина - это вектор. Следует пояснить, что L¯ направлен от оси вращения к точке приложения силы F¯.
Приведенное выражение является векторным произведением. Его результирующий вектор (M¯) будет направлен перпендикулярно плоскости, образованной L¯ и F¯. Для определения направления момента M¯ существуют несколько правил (правой руки, буравчика). Чтобы не заучивать их и не путаться в порядке умножения векторов L¯ и F¯ (от него зависит направление M¯), следует запомнить одну простую вещь: момент силы будет направлен таким образом, что если смотреть с конца его вектора, то воздействующая сила F¯ будет вращать рычаг против часовой стрелки. Это направление момента условно принято за положительное. Если же система совершает вращение по часовой стрелки, значит, результирующий момент сил имеет отрицательное значение.
Таким образом, в рассматриваемом случае с рычагом L величина M¯ направлена вверх (от рисунка к читателю).
В скалярной форме формула для момента запишется в виде: M = L*F*sin(180-Φ) или M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Согласно определению синуса, можно записать равенство: M = d*F, где d = L*sin(Φ) (см. рисунок и соответствующий прямоугольный треугольник). Последняя формула является аналогичной той, которая была приведена в предыдущем пункте.
Проведенные выше вычисления демонстрируют, как работать с векторными и скалярными величинами моментов сил, чтобы не допустить ошибок.
Физический смысл величины M¯
Поскольку два рассмотренных в предыдущих пунктах случая связаны с вращательным движением, то можно догадаться, какой смысл несет момент силы. Если сила, действующая на материальную точку, является мерой увеличения скорости линейного перемещения последней, то момент силы - это мера ее вращательной способности применительно к рассматриваемой системе.
Приведем наглядный пример. Любой человек открывает дверь, взявшись за ее ручку. Также это можно сделать, если толкнуть дверь в зоне ручки. Почему никто не открывает ее, толкая в области петель? Очень просто: чем ближе к петлям приложена сила, тем труднее открыть дверь, и наоборот. Вывод предыдущего предложения следует из формулы для момента (M = d*F), откуда видно, что при M = const величины d и F находятся в обратной зависимости.
Момент силы - аддитивная величина
Во всех рассмотренных выше случаях имела место лишь одна действующая сила. При решении же реальных задач дело обстоит гораздо сложнее. Обычно на системы, которые вращаются или находятся в равновесии, действуют несколько сил кручения, каждая из которых создает свой момент. В этом случае решение задач сводится к нахождению суммарного момента сил относительно оси вращения.
Суммарный момент находится путем обычной суммы отдельных моментов для каждой силы, однако, следует не забывать использовать правильный знак для каждого из них.
Пример решения задачи
Для закрепления полученных знаний предлагается решить следующую задачу: необходимо вычислить суммарный момент силы для системы, изображенной на рисунке ниже.
Мы видим, что на рычаг длиной 7 м действуют три силы (F1, F2, F3), причем они имеют разные точки приложения относительно оси вращения. Поскольку направление сил перпендикулярно рычагу, то нет необходимости применять векторное выражение для момента кручения. Можно рассчитать суммарный момент M, используя скалярную формулу и не забывая о постановке нужного знака. Поскольку силы F1 и F3 стремятся повернуть рычаг против часовой стрелки, а F2 - по часовой стрелке, то момент вращения для первых будет положительным, а для второй - отрицательным. Имеем: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 Н*м. То есть суммарный момент является положительным и направлен вверх (на читателя).
Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью
Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.
Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:
Если сила параллельна оси
Если сила пересекает ось
Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.
27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.
Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.
28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.
Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.
Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:
R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .
Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.
Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:
L O = M O (F 1) + M O (F 2) + ... + M O (F n) = M O (F i).
Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.
Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.
Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.
Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.
29 Частные случаи приведения пространственной системы сил
|
Значения главного вектора и главного момента |
Результат приведения |
|
|
|
Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту (главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения О). |
|
|
|
Система сил приводится к равнодействующей, равной , проходящей через центр О. |
|
|
|
Система сил приводится к равнодействующей , равной главному векторуи параллельной ему и отстоит от него на расстоянии. Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление ее момента относительно центра приведения О совпадало с направлениемотносительно центра О. |
|
|
|
Система сил приводится к динаме (силовому винту) – совокупности силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе. |
|
|
|
Система сил, приложенных к твердому телу, является уравновешивающейся. |
,
причем векторы ине
перпендикулярны
30. Приведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.
Уравнение
центральной винтовой оси
Предположим,
что в центре приведения, принятом за
начало координат, получены главный
вектор с
проекциями на оси координат и
главный момент с
проекциями При
приведении системы сил к центру
приведения О 1 (рис.
30) получается динама с главным вектором и
главным моментом ,
Векторы и как
образующие линаму. параллельны и поэтому
могут отличаться только скалярным
множителем k 0. Имеем, так
как .Главные
моменты и , удовлетворяют
соотношению
Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью
Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.
Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:
Если сила параллельна оси
Если сила пересекает ось
Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.
27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.
Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.
28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.
Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.
Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:
R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .
Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.
Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:
L O = M O (F 1) + M O (F 2) + ... + M O (F n) = M O (F i).
Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.
Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.
Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.
Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.
29 Частные случаи приведения пространственной системы сил
|
Значения главного вектора и главного момента |
Результат приведения |
|
|
|
Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту (главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения О). |
|
|
|
Система сил приводится к равнодействующей, равной , проходящей через центр О. |
|
|
|
Система сил приводится к равнодействующей , равной главному векторуи параллельной ему и отстоит от него на расстоянии. Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление ее момента относительно центра приведения О совпадало с направлениемотносительно центра О. |
|
|
|
Система сил приводится к динаме (силовому винту) – совокупности силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе. |
|
|
|
Система сил, приложенных к твердому телу, является уравновешивающейся. |
,
причем векторы ине
перпендикулярны
30. Приведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.
Уравнение
центральной винтовой оси
Предположим,
что в центре приведения, принятом за
начало координат, получены главный
вектор с
проекциями на оси координат и
главный момент с
проекциями При
приведении системы сил к центру
приведения О 1 (рис.
30) получается динама с главным вектором и
главным моментом ,
Векторы и как
образующие линаму. параллельны и поэтому
могут отличаться только скалярным
множителем k 0. Имеем, так
как .Главные
моменты и , удовлетворяют
соотношению
Подставляя , получим
Координаты точки О 1 в которой получена динама, обозначим х, у, z. Тогда проекции вектора на оси координат равны координатам х, у, z. Учитывая это, (*) можно выразить в форме
где i. j ,k - единичные векторы осей координат, а векторное произведение *представлено определителем. Векторное уравнение (**) эквивалентно трем скалярным, которые после отбрасывания можно представить в виде
Полученные линейные уравнения для координат х, у, z являются уравнениями прямой линии - центральной винтовой оси. Следовательно, существует прямая, в точках которой система сил приводится к динаме.
Рассмотрим, как определяется момент силы относительно оси . Стремление силы вращать тело вокруг неподвижной оси зависит от величины силы, ее наклона и расстояния от оси .
Из опыта известно, что силы, проходящие через ось , и силы, параллельные оси , НЕ МОГУТ ВЫЗВАТЬ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА вокруг этой оси . Посмотрим на рисунок.
Ни сила Р 1 , линия действия которой пересекает ось Oz , ни сила Р 2 , параллельная оси, не смогут повернуть тело вокруг этой оси.
Для вращательного эффекта силы относительно закрепленной оси вводится понятие момента силы относительно оси М z (Р) . Вращательный эффект силы относительно оси и выражается ее моментом .
Пусть на тело в какой-то точке действует произвольная сила Р , не параллельная оси вращения Oz и не пересекающая эту ось. Проведем плоскость H , перпендикулярную оси Oz и проходящую через начало вектора силы . Разложим заданную силу Р на две составляющие: Р 1 , расположенную в плоскости H , и Р 2 , параллельную оси Oz .
Составляющая Р 2 , параллельная оси Oz момента относительно этой оси не создает . Составляющая Р 1 , действующая в плоскости H , создает момент относительно оси Oz или, что то же самое, относительно точки О . Момент силы Р 1 измеряется произведением модуля самой силы на длину а перпендикуляра , опущенного из точки О на направление этой силы, т. е.
В выражение момента силы относительно оси входит не вся сила , а только ее составляющая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Знак момента по общему правилу определяется направлением вращения тела: (+) при движении по часовой стрелке , (-) при движении против часовой стрелки (правило условно). При определении знака момента наблюдатель должен непременно находиться со стороны положительного направления оси. На рисунке вверху момент силы Р относительно оси Oz положителен , так как для наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направления оси (сверху ), тело под действием заданной силы представляется вращающимся вокруг оси по ходу часовой стрелки .
На рисунке внизу момент силы Р относительно оси Oz - величина отрицательная .
Рассмотрим частный случай.
В частном случае момент силы Р , расположенной в плоскости H , относительно оси Oz , перпендикулярной этой плоскости, определится произведением полной величины силы Р на ее плечо l относительно точки пересечения оси Oz и плоскости H
В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.
Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы , действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.
где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело.
Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.
Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.
Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты . Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и . В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.
Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:
Как в каждом векторном произведении, так и здесь
Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0 o или 180 o . Каков эффект применения момента силы М ?
Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу
Умножив обе части уравнения на R, получим
Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что
Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a , момент внешней силы дает угловое ускорение ε.
Единица измерения момента силы
Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н м
В СГС: [M]=дин см
Работа и сила во вращательном движении
Работа в линейном движении определяется общим выражением,
но во вращательном движении,
а следовательно
Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать
Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:
Мощность во вращательном движении:
Найдите момент силы,
действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.
а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1:
M = r F = 1м 2N = 2Н м
б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0:
M = 0
да направленная сила
не может дать точке вращательное движение
.
c) поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5:
M = 0,5 r F = 1Н м.
Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела , однако ее эффект будет меньше, чем в случае a) .
Момент силы относительно оси
Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P . В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р ), (рисунок ниже).
Любая точка A
на линии P
имеет координаты (xo , yo , zo).
Вектор силы P
имеет координаты Px , Py, Pz
.
Комбинируя точку A (xo, yo, zo)
с началом системы, мы получаем вектор p
. Координаты вектора силы P
относительно полюса O
обозначены символами Mx, My, Mz.
Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где (i, j, k
) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k
После решения определителя координаты момента будут равны:
Координаты вектора моментов Mo (P ) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:
Mz = Pyxo — Pxyo
Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже.
На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz
можно определить, как момент проекции силы P
на перпендикуляр оси Oz
относительно точки проникновения этой плоскости осью. Проекция силы P
на перпендикуляр оси обозначена Pxy
, а точка проникновения плоскости Oxy
— осью Oс
символом O.
Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось).
Используя формулы на Mx, My, Mz,
мы можем рассчитать значение момента силы P
относительно точки O
и определить углы, содержащиеся между вектором M
и осями системы:
Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).
Момент силы P
по отношению к точке (полюсу) O составляет:
Mx = 0,
My = 0,
Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo
.
Метка крутящего момента:
плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке,
минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.
