СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Смешанным произведением
трёх
векторов называют число, равное
. Обозначается 
. Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный
вектор умножается скалярно на
третий вектор . Очевидно, такое произведение есть некоторое число.
Рассмотрим свойства смешанного произведения.
- Геометрический смысл
смешанного произведения.
Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму
параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. .
Таким образом, и
.
Доказательство . Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим и заметим, что . По определению скалярного произведения
Предполагая, что и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим .
Таким образом, при
Если же , то и . Следовательно, .
Объединяя оба эти случая, получаем или .
Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение , а если – левая, то .
- Для любых векторов , , справедливо равенство
Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что и . Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы между векторами и и и одновременно острые или тупые.
- При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.
Действительно, если рассмотрим смешанное произведение , то, например, или
- Смешанное произведение тогда и только тогда,
когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны.
Доказательство .
Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если .
Если векторы заданы в координатной форме , то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:
.Т. о., смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.
Примеры.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Уравнение F(x, y, z) = 0 определяет в пространстве Oxyz некоторую поверхность, т.е. геометрическое место точек, координаты которых x, y, z удовлетворяют этому уравнению. Это уравнение называется уравнением поверхности, а x, y, z – текущими координатами.
Однако, часто поверхность задаётся не уравнением, а как множество точек пространства, обладающих тем или иным свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из её геометрических свойств.
ПЛОСКОСТЬ.
НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР ПЛОСКОСТИ.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ
Рассмотрим в пространстве произвольную плоскостьσ. Её положение определяется заданием вектора , перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ), лежащей в плоскости σ.
Вектор перпендикулярный плоскости σ, называется нормальным вектором этой плоскости. Пусть вектор имеет координаты .
Выведем уравнение плоскости σ, проходящей через данную точку M 0 и имеющей нормальный вектор . Для этого возьмём на плоскости σ произвольную точку M(x, y, z) и рассмотрим вектор .
Для любой точки M Î σ вектор .Поэтому их скалярное произведение равно нулю . Это равенство – условие того, что точка M Î σ. Оно справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается, как только точка M окажется вне плоскости σ.
Если обозначить через радиус-вектор точки M , – радиус-вектор точкиM 0 , то и уравнение можно записать в виде
Это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Запишем его в координатной форме. Так как , то
Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Таким образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты нормального вектора и координаты некоторой точки, лежащей на плоскости.
Заметим, что уравнение плоскости является уравнением 1-ой степени относительно текущих координат x, y и z .
Примеры.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Можно показать, что любое уравнение первой степени относительно декартовых координат x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Это уравнение записывается в виде:
Ax+By+Cz+D =0
и называется общим уравнением плоскости, причём координаты A, B, C здесь являются координатами нормального вектора плоскости.
Рассмотрим частные случаи общего уравнения. Выясним, как располагается плоскость относительно системы координат, если один или несколько коэффициентов уравнения обращаются в ноль.
A – это длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox . Аналогично, можно показать, что b и c – длины отрезков, отсекаемых рассматриваемой плоскостью на осях Oy и Oz .
Уравнением плоскости в отрезках удобно пользоваться для построения плоскостей.
Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов, определение, свойства
Линейные операции над векторами.
Векторы, основные понятия, определения, линейные операции над ними
Вектором на плоскости называется упорядоченная пара ее точек, при этом первая точка называется началом, а вторая концом – вектора
Два вектора называются равными если они равны и сонаправлены.
Векторы, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными если они сонаправленны с некоторым одним и тем же вектором, не лежащим на этой прямой.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными, а коллинеарные но не сонаправленные – противоположно-направленные.
Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых, называются ортогональными.
Определение 5.4 . Суммой a + b векторовa и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b , если начало вектора b совпадает с концом вектора а .
Определение 5.5 . Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор а .
Определение 5.6. Произведением ka вектора а на число k называется вектор b , коллинеарный векторуа , имеющий модуль, равный |k ||a |, и направление, совпадающее с направлением а при k >0 и противоположное а при k<0.
Свойства умножения вектора на число:
Свойство 1. k(a + b ) = ka + kb .
Свойство 2. (k + m) a = ka + ma .
Свойство 3. k(ma ) = (km) a .
Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k , что b = ka .
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число (скаляр), равный произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab , a · b , (a , b ), (a · b ). Таким образом, скалярное произведение равно:
a · b = |a | · |b | · cos φ
Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.
· Свойство перестановки: a · b = b · a (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);
· Свойство распределения: a · (b · c ) = (a · b ) · c (результат не зависит от порядка умножения);
· Свойство сочетания (по отношению к скалярному множителю): (λ a ) · b = λ (a · b ).
· Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпендикулярные друг к другу)a ┴ b ;
· Свойство квадрата: a · a = a 2 = |a | 2 (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);
· Если координаты векторов a ={x 1 , y 1 , z 1 } и b ={x 2 , y 2 , z 2 }, то скалярное произведение равно a · b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .
Векторное проведение векторов. Определение : Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:
Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и
Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.
Если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.
Свойства векторного произведения :
1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.
2 .Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.
3 .Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.
4 .Для любых трех векторов справедливо равенство
5 .Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :
Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a → , b → , c → в трехмерном пространстве.
Отложим для начала векторы a → , b → , c → от одной точки. Ориентация тройки a → , b → , c → бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c → . От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a → к b → с конца вектора c → , будет определен вид тройки a → , b → , c → .
Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a → , b → , c → называется правой , если по часовой стрелке – левой .
Далее возьмем два не коллинеарных вектора a → и b → . Отложим затем от точки A векторы A B → = a → и A C → = b → . Построим вектор A D → = c → , который одновременно перпендикулярный одновременно и A B → и A C → . Таким образом, при построении самого вектора A D → = c → мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
Упорядоченная тройка векторов a → , b → , c → может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.
Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Определение 1
Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:
- если векторы a → и b → коллинеарны, он будет нулевым;
- он будет перпендикулярен и вектору a → и вектору b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- его длина определяется по формуле: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- тройка векторов a → , b → , c → имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.
Векторное произведение векторов a → и b → имеет следущее обозначение: a → × b → .
Координаты векторного произведения
Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.
Определение 2
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) называют вектор c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , где i → , j → , k → являются координатными векторами.
Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i → , j → , k → , вторая строка содержит координаты вектора a → , а третья – координаты вектора b → в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k →
Свойства векторного произведения
Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:
- антикоммутативность a → × b → = - b → × a → ;
- дистрибутивность a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- ассоциативность λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , где λ - произвольное действительное число.
Данные свойства имеют не сложные доказательства.
Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.
Доказательство антикоммутативности
По определению a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения
В большинстве случаев встречаются три типа задач.
В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Пример 1
Найдите длину векторного произведения векторов a → и b → , если известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .
Решение
С помощью определения длины векторного произведения векторов a → и b → решим данную задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
Ответ: 15 2 2 .
Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) .
Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a → и b → , а их разложения по координатным векторам вида b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , или векторы a → и b → могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 2
В прямоугольной системе координат заданы два вектора a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Найдите их векторное произведение.
Решение
По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Ответ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Пример 3
Найдите длину векторного произведения векторов i → - j → и i → + j → + k → , где i → , j → , k → - орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение
Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i → - j → × i → + j → + k → в данной прямоугольной системе координат.
Известно, что векторы i → - j → и i → + j → + k → имеют координаты (1 ; - 1 ; 0) и (1 ; 1 ; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Следовательно, векторное произведение i → - j → × i → + j → + k → имеет координаты (- 1 ; - 1 ; 2) в заданной системе координат.
Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .
Ответ: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
Пример 4
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный A B → и A C → одновременно.
Решение
Векторы A B → и A C → имеют следующие координаты (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов A B → и A C → , очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к A B → и к A C → , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
Ответ: - 6 i → + j → - 4 k → . - один из перпендикулярных векторов.
Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.
Пример 5
Векторы a → и b → перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .
Решение
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →
По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →
Векторные произведения a → × a → и b → × b → равны 0, так как a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 , тогда 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .
Из антикоммутативности векторного произведения следует - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .
Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
По условию векторы a → и b → перпендикулярны, то есть угол между ними равен π 2 . Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = - 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Ответ: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 60 .
Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма - удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a → и b → , отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin ∠ a → , b → .
Это и есть геометрический смысл векторного произведения.
Физический смысл векторного произведения
В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.
Определение 3
Под моментом силы F → , приложенной к точке B , относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение A B → × F → .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Угол между векторами
Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.
Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).
Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$
Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения
Определение 1
Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.
Математически это выглядит следующим образом:
- $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin∠(\overline{α},\overline{β})$
- $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
- $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)
Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:
- Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.
- Если угол между этими векторами будет равняться $180^\circ$ или $0^\circ$ (так как в этом случае синус равняется нулю).
Чтобы наглядно увидеть, как находится векторное произведение векторов, рассмотрим следующие примеры решения.
Пример 1
Найти длину вектора $\overline{δ}$, который будет являться результатом векторного произведения векторов, с координатами $\overline{α}=(0,4,0)$ и $\overline{β}=(3,0,0)$.
Решение .
Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 3):
Рисунок 3. Векторы в декартовом координатном пространстве. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^\circ$. Найдем длины этих векторов:
$|\overline{α}|=\sqrt{0+16+0}=4$
$|\overline{β}|=\sqrt{9+0+0}=3$
Тогда, по определению 1, получим модуль $|\overline{δ}|$
$|\overline{δ}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Ответ: $12$.
Вычисление векторного произведения по координатам векторов
Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.
Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$
Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты
$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Пример 2
Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.
Решение .
Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$
Ответ: $(12,-3,3)$.
Свойства векторного произведения векторов
Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:
Пример 3
Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.
Решение .
Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):
Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. Используя четвертое свойство, получим:
$S=|\overline{α}х\overline{β}|$
Найдем вектор $\overline{α}х\overline{β}$:
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&0&0\\0&8&0\end{vmatrix}=0\overline{i}-0\overline{j}+24\overline{k}=(0,0,24)$
Следовательно
$S=|\overline{α}х\overline{β}|=\sqrt{0+0+24^2}=24$
Векторное произведение - это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.
Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».
Определение:
Векторным произведением вектора a
на вектор b
в пространстве R 3 называется вектор c
, удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой;
в случае пространства R7 требуется ассоциативность тройки векторов a,b,c.
Обозначение:
c===a × b
Рис. 1. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения
Геометрические свойства векторного произведения
:
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b (см. рис.1).
Если e
- единичный вектор, ортогональный векторам a
и b
и выбранный так, что тройка a,b,e
- правая, а S
- площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
=S e
Рис.2. Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений
Если c
- какой-нибудь вектор, π
- любая плоскость, содержащая этот вектор, e
- единичный вектор, лежащий в плоскости π
и ортогональный к c,g
- единичный вектор, ортогональный к плоскости π
и направленный так, что тройка векторов ecg
является правой, то для любого лежащего в плоскости π
вектора a
справедлива формула:
=Pr e a |c|g
где Pr e a проекция вектора e на a
|c|-модуль вектора с
При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b
и c
. Такое произведение трех векторов называется смешанным.
V=|a (b×c)|
На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:
V=a×b c=a b×c
Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.
Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
Если два вектора a
и b
определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее - представлены в ортонормированном базисе
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Для запоминания этой формулы:
i =∑ε ijk a j b k
где ε ijk
- символ Леви-Чивиты.
