Уединенным называют проводник, расположенный настолько далеко от других тел, что влиянием зарядов и полей других тел можно пренебречь. При сообщении такому проводнику некоторого заряда он расположится на его поверхности некоторым образом так, чтобы выполнялись условия равновесия. В окружающем пространстве заряд проводника создаст электрическое поле. Если от поверхности проводника переместить на бесконечно малое расстояние бесконечно малый (не влияющий на заряд проводника) заряд , то силы поля совершат некоторую работу . Отношение дает потенциал проводника, который он приобрел вследствие сообщения ему заряда .
Если проводнику дополнительно сообщить заряд еще одну порцию заряда , то он распределится по поверхности таким же образом как первая порция. Соответственно во всех точках пространства напряженность электрического поля увеличится вдвое. Так же возрастет работа , а значит и потенциал проводника. Таким образом, оказывается, что заряд, сообщенный проводнику, и приобретаемый им потенциал пропорциональны . Поэтому можно записать соотношение:
|
Коэффициент пропорциональности С в соотношении (16.3) характеризует способность проводника накапливать электрический заряд и называется электроемкостью уединенного проводника. Этот параметр проводника измеряется в фарадах . Электроемкостью в 1 фарад обладает проводник, который при сообщении заряда в 1 кулон приобретает потенциал 1 вольт .
Рассчитаем емкость уединенного сферического проводника, находящегося в среде с диэлектрической проницаемостью . Напряженность поля заряженной сферы вне ее пределов описывается выражением, аналогичным выражению для напряженности поля точечного заряда, расположенного в центре сферы. Поэтому выражение для работы по перемещению малого точечного заряда с поверхности сферы радиуса , имеющей заряд , на бесконечность имеет вид:
Поэтому электроемкость уединенной сферы определяется выражением:
|
Подставив в (16.6) радиус Земли , получим электроемкость Земли, которая составляет приблизительно 700 мкФ.
Конденсаторы
Уединенные проводники имеют небольшую емкость. Однако в технике используются устройства, обладающие электроемкостью до нескольких фарад. Такими устройствами являются конденсаторы . В основе принципа устройства конденсаторов положен тот факт, что при приближении к уединенному заряженному проводнику другого (даже незаряженного) проводника электроемкость системы значительно возрастает. В поле уединенного проводника на приближающемся теле возникают индуцированные заряды, причем заряды знака, противоположного сообщенному уединенному проводнику, располагаются к нему ближе и сильней влияют на его поле. Потенциал проводника по модулю уменьшается, а заряд сохраняется. Это означает, что его электроемкость растет .
Удаленные части приближающегося проводника можно соединить с Землей (заземлить), чтобы индуцированный заряд того же знака, что сообщенный уединенному проводнику, распределился по поверхности Земли и не оказывал влияния на потенциал системы. Очевидно, что, максимально приблизив противоположно заряженные проводники, можно достичь заметного увеличения электроемкости. Соответственно конденсаторы изготавливают плоскими , когда противоположно заряженные проводники (обкладки конденсатора ) в виде, например, полосок фольги, разделяют тонким слоем диэлектрика. В этом случае электрическое поле системы оказывается сосредоточенным в пространстве между обкладками, и внешние тела не оказывают влияния на емкость конденсатора. Можно представить также обкладки в виде концентрических цилиндров или сфер.
Электроемкостью конденсатора , по определению, называется величина отношения заряда каждой из обкладок к разности потенциалов между ними:
.Диэлектрическая проницаемость материала между обкладками конденсатора.
Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (84.5), прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, принимают различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать Q=Сj. Величину
C=Q/j (93.1) называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала. Сказанное не противоречит формуле (93.1), так как она лишь показывает, что емкость уединенного проводника прямо пропорциональна его заряду и обратно пропорциональна потенциалу. Единица электроемкости - фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Согласно (84.5), потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью e, равен
Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара
С = 4pe 0 eR . (93.2)
Отсюда следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R= С/(4pe 0)»9 10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С»0,7мФ). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постоянной e 0 фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).
Конденсаторы
Как видно из § 93, для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов.
Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенциал проводника, что приводит (см. (93.1)) к повышению его электроемкости.
Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют (см. § 82): 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.
Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (j 1 -j 2) между его обкладками: C =Q /(j 1 -j 2). (94.1)
Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью 5 каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и -Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Его можно рассчитать используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними, согласно (86.1),
j 1 -j 2 =sd/(e 0 e), (94.2)
где e - диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя Q=sS, с учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:
C=e 0 eS/d. (94.3)
Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами r 1 и r 2 (r 2 >r 1), вставленных один в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью t=Q/l (l -длина обкладок). С учетом наличия диэлектрика между обкладками
Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:
Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 (r 2 >r 1 ) от центра заряженной сферической поверхности. С учетом наличия диэлектрика между обкладками
Подставив (94.6) в (94.1), получим
Если d=r
2 -r
1 <
Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вытекает, что емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов.
Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением - разностью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой - электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.
Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединение.
1. Параллельное соединение конденсаторов (рис. 144). У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j А -j B . Если емкости отдельных конденсаторов С 1 , С 2 , ..., С n , то, согласно (94.1), их заряды равны
Q 1 =C 1 (j A -j B),
Q 2 =C 2 (j A -j B),
Q n =С n (j A -j B), а заряд батареи конденсаторов
Полная емкость батареи
т. е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.
2. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 145). У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи
где для любого из рассматриваемых конденсаторов
С другой стороны,
т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.
Уединенным называется проводник , вблизи которого нет других заряженных тел, диэлектриков, которые могли бы повлиять на распределение зарядов данного проводника.
Отношение величины заряда к потенциалу для конкретного проводника есть величина постоянная, называемая электроемкостью (емкостью ) С , .
Таким образом, электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на единицу . Опыт показал, что электроемкость уединенного проводника зависит от его геометрических размеров, формы, диэлектрических свойств окружающей среды и не зависит от величины заряда проводника.
Рассмотрим
уединенный шар радиуса R,
находящийся в однородной среде с
диэлектрической проницаемостью .
Ранее было получено, что потенциал шара
равен
.
Тогда емкость шара
,
т.е. зависит только от его радиуса.
За единицу емкости принимается 1фарад (Ф). 1Ф - емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменится на 1В при сообщении заряда 1Кл. Фарад - очень большая величина, поэтому на практике используют дольные единицы: миллифарад (мФ, 1мФ=10 -3 Ф), микрофарад (мкФ, 1мкФ=10 -6 Ф), нанофарад (нФ, 1нФ=10 -9 Ф), пикофарад (пФ, 1пФ=10 -12 Ф).
Уединенные проводники даже очень больших размеров обладают малыми емкостями. Емкостью в 1Ф обладал бы уединенный шар радиуса, в 1500 раз большего радиуса Земли. Электроемкость Земли составляет 0.7 мФ.
1. 18. Взаимная электроемкость. Конденсаторы
Пусть вблизи заряженного проводника А находятся незаряженные проводники или диэлектрики. Под действием поля проводника А в телах 1 и 2 возникают индуцированные (если 1 и 2 проводники) или связанные (если диэлектрики) заряды, причем ближе к А будут располагаться заряды противоположного знака (рис.1.25). Индуцированные (или связанные) заряды создают свое поле противоположного направления, чем ослабляют поле проводника А, уменьшая его потенциал и увеличивая его электроемкость.
Рис.1.25.
Взаимное влияние проводников.
Для того, чтобы поле, создаваемое заряженными обкладками, было полностью сосредоточено внутри конденсатора, обкладки должны быть в виде двух близко расположенных пластин, или коаксиальных цилиндров, или концентрических сфер. Соответственно конденсаторы называются плоскими , цилиндрическими или сферическими .
Разность потенциалов между обкладками пропорциональна абсолютной величине заряда обкладки. Поэтому отношение есть величина постоянная для конкретного конденсатора. Она обозначаетсяС и называется взаимной электроемкостью проводников или емкостью конденсатора . Емкость конденсатора численно равна заряду, который нужно перенести с одной обкладки конденсатора на другую, чтобы изменить разность их потенциалов на единицу.
Разность
потенциалов плоского конденсатора
равна
,
гдеповерхностная плотность заряда обкладки.S
- площадь обкладки конденсатора..
Отсюда
емкость плоского конденсатора
.Из этой
формулы следует, что С
плоского конденсатора зависит от
его геометрических размеров, т.е. от S
и d,
и диэлектрической проницаемости
диэлектрика, заполняющего межплоскостное
пространство. Применение в качестве
прослойки сегнетоэлектриков значительно
увеличивает емкость конденсатора,
т.к.
у них достигает очень больших значений.
В очень сильных полях (порядка Е пр 10 7
В/м) происходит разрушение диэлектрика
или «пробой», он перестает быть
изолятором и становится проводником.
Это «пробивное напряжение» зависит от
формы обкладок, свойств диэлектрика и
его толщины..
Для получения устройств различной электроемкости конденсаторы соединяют параллельно и последовательно.
Параллельное соединение конденсаторов (Рис. 1. 26) . В данном случае, так как соединенные провода-проводники имеют один и тот же потенциал, то разность потенциалов на обкладках всех конденсаторов одинакова и равна . Заряды конденсаторов будут
,
… ,
.
Опыт показывает, что при сообщении заряда Q проводнику потенциал его изменяется пропорционально на величину φ. Коэффициент пропорциональности
называется электроемкостью (емкостью) проводника.
Единицей емкости является Фарад : .
Потенциал шара радиуса R согласно (3.16):
Сравнивая с (3.24), получим формулу емкости проводящего шара :
C = 4πε 0 εR .(3.25)
Найдем радиус шара, емкость которого равна 1Ф:
.
Эта величина в 1400 раз больше радиуса Земли. Следовательно, Фарад очень большая единица емкости. Поэтому на практике емкость проводников (конденсаторов) измеряется в мкФ или пФ.
Для увеличения электроемкости проводников в технике используют устройства, называемые конденсаторами. Конденсатор состоит из двух проводников, обычно разделенных диэлектриком. Например, две параллельные плоские пластины, между которыми находится диэлектрик, образуют плоский конденсатор.
Электроемкость конденсатора определяется формулой, аналогичной (3.24):
, (3.26)
где φ 1 -φ 2 -разность потенциалов между пластинами конденсатора;
σ-поверхностная плотность зарядов на пластинах;
S-площадь пластины.
При наличии диэлектрика между пластинами с диэлектрической проницаемостью ε>1 имеем φ 1 - φ 2 =Еd или с учетом формулы (3.12):
Подставив это значение разности потенциалов в (3.26), получим формулу для емкости плоского конденсатора :
где d – расстояние между пластинами.
Емкость сферического конденсатора:
С=4π ε ε 0 r 1 r 2 /(r 2 -r 1) , (3.28)
где r 1 и r 2 -радиусы концентрических сфер.
Емкость цилиндрического конденсатора:
С=2π ε ε 0 ℓ·ℓn·r 1 /r 2 , (3.29)
где ℓ- длина полых коаксиальных цилиндров радиусами r 1 и r 2 .
Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы объединяют в батареи. При параллельном соединении емкость батареи:
При последовательном:
Энергия системы зарядов.
При формировании системы зарядов затрачивается энергия на преодоление их взаимодействия:
, (3.32)
где φ i -потенциал в точке, где находится заряд Q i , созданный всеми зарядами системы кроме Q i .
Энергия заряженного проводника
В соответствии с законом сохранения энергию W заряженного проводника можно определить как работу, которую затрачивают силы электрического поля проводника на его зарядку: заряд Q переносится малыми порциями dQ на проводник из бесконечности. Тогда элементарная работа, совершаемая при этом, согласно (3.17) равна.
Все вещества можно разделить на две группы – проводники и диэлектрики. К диэлектрикам относятся вещества, в составе которых не свободных электрических зарядов. К таким веществам относятся, например, керамика, стекло, резина и другие. К проводникам относятся вещества, в состав которых входят свободные заряды. К таким веществам относятся металлы, электролиты и другие.
Если уединенному проводнику сообщить заряд , то он распределится по поверхности проводника так, что напряженность поля внутри проводника будет равна нулю. Характер распределения заряда не зависит от самого заряда , а зависит от формы проводника и от окружающей проводника среды. Каждый новый заряд распределяется по поверхности проводника подобно предыдущему заряду. Таким образом, при увеличении заряда, сообщаемого проводнику в раз, поверхностная плотность заряда, или заряд, приходящийся на единицу площади поверхности проводника, также увеличится в раз в любой точке поверхности проводника. Таким образом, можно записать:
(1)
Здесь - поверхностная плотность заряда, - некоторая функция координат рассматриваемой точки поверхности.
Для вычисления потенциала поля, созданного заряженным проводником, разобьем поверхность проводника площадью (Рис. 1) на бесконечно малые элементы поверхности , несущие заряд , равный
(2).
Потенциал электростатического поля , созданного одним из таких точечных зарядов, в точке A (Рис. 1), находящейся на расстоянии от него, определяется формулой:
(3)
Здесь 
Нм 2 /Кл 2 – постоянная, которая определяется выбором системы единиц; 
Ф/м – электростатическая постоянная вакуума; - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.
| S |
| dS |
| dq |
| A |
Чтобы найти потенциал электростатического поля, созданного всей заряженной поверхностью проводника в точке A, надо проинтегрировать формулу (3) по всей поверхности проводника. Так как поверхность проводника всегда замкнутая, то получаем:
(4)
Интеграл 
для заданной поверхности представляет собой некоторое постоянное число. Так как величина 
для заданных условий также является постоянной, то, как видно из формулы (4) потенциал электростатического поля, созданного уединенным проводником в некоторой заданной точке пропорционален его заряду.
Физическая величина, равная отношению заряда проводника к его потенциалу , называется электроемкостью уединенного проводника.
Подставляем в формулу (5) формулу (4) и получаем:
(6)
Из формулы (6) следует, что электроемкость уединенного проводника зависит от его формы, размеров и диэлектрической проницаемости среды, в которой проводник находится. Отсюда следует, что геометрически подобные проводники обладают емкостями, которые пропорциональны их линейным размерам. Кроме того, формула (6) показывает, что электроемкость проводника не зависит ни от его заряда, ни от потенциала.
Если электрический заряд проводника увеличить на величину , то его потенциал возрастет на величину , то есть в соответствии с формулой (5) имеем:
(7)
Таким образом,
(8)
Из формулы (8) следует, что электроемкость проводника показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал единицу (в системе единиц СИ на 1 вольт).
