Выполнила ученица 7 класса Карпюк Полина

Приода создана из самоподобных офигур, просто мы этого не замечаем. В этой галерее мы собрали образы, в которых ясно видна фрактальность.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Фракталы в природе Выполнила: ученица 7 «Б» класса Карпюк Полина Руководитель: Молчанова Ирина Павловна Рубцовск-2015

Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них - еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них - мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Это свойство объектов американский математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты - фракталами. Само слово «фрактал» с латыни переводится как "частичный", "разделенный", "раздробленный", а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. .

Космические фотографии земных ландшафтов часто дают отличные примеры фракталов.

Береговые линии обычно имеют фрактальную форму, но различаются степенью своей изрезанности. На этом примере видны два характерных свойства природных фракталов: Отдельные протоки не являются копией друг друга, но имеют аналогичные криволинейные очертания, будто они нарисованы одним лекалом. Большие протоки аналогичны по очертаниям маленьким и очень маленьким протокам. Если мы увеличим, например, нижний левый угол картинки, мы получим нечто похожее на всю картинку целиком

Взаимодействие воды и земли порождает фрактальные структуры ландшафтов - будь то горы, реки или побережья.

Наверное, каждый знает картину японского художника Хокусаи "Большая волн\", там волна цунами изображена на фоне Фудзиямы. Если вглядываться в эту картину, то обращаешь внимание, что художник рисуя гребень волны использовал фрактал, как бы состоящий из многочисленных хищных водяных лап. Поэтому часто эту картину используют в качестве иллюстрации к книгам по теории хаоса, фракталам.

Когда песчаная дюна размывается водой, в крошечных масштабах повторяется то, что придает фрактальную форму большим земным ландшафтам.

Разряд молнии-один из примеров природных фракталов.

Эта картинка иллюстрирует не только фрактальность крон деревьев, она наводит на еще одно интересное соображение: лес как биологическое сообщество также является фракталом. Отдельные деревья - большие и маленькие - выступают тогда в качестве ветвей фрактала. Они похожи, но не повторяют друг друга.

Прожилки листьев - плоский природный фрактал. Для каждого растения характерный рисунок уникален, как уникален папиллярный рисунок на руке человека. Гете (поэт и ученый) считал, что лист - самая выразительная часть растения, в которой отражается вся его морфология.

Папортники - пример природных фракталов, которые очень похожи на компьютерные фракталы. При этом они еще интересны тем, что папортники - одни из самых эволюционно древних растений, наряду с различными мхами и прочими низшими растениями

Это еще один знаменитый и очень впечатляющий пример природного фрактала, который обладает математически четкими формами. Прослеживается как минимум три уровня самоподобных хитроумных пирамидок Капуста романеско

Волшебно красивый фрактал, который бы вполне мог вдохновить какого-нибудь художника. А между тем, приглядитесь: это всего лишь тугой пучок капустных листьев.

Это любопытные примеры фрактальной структуры в минеральном мире. Карбонат-апатит Золотой самородок - изысканное сокровище, изготовленное самой природой.

Вы задумывались когда-нибудь, что мы буквально мыслим фракталами? Тут есть о чем задуматься – кто будет спорить, что мозг – одно из самых удивительных и уникальных творений природы. И оказывается, он внешне имеет те же фрактальные признаки, что и атмосферная облачность или корневая система крапивы.

Тут еще все сложнее: переплетаются два отдельных фрактальных дерева - по одному подается венозная кровь, по другому отводится обогащенная кислородом артериальная. А в совокупности легкое - потрясающая по сложности система трех фракталов - одного дыхательного и двух кровеносных.

Сетчатка содержит светочувствительные клетки, благодаря которым мы видим. На этом снимке они желтовато-зеленые. Они действительно образуют сеть (сетчатку), но эта сеть хаотична и фрактальна.

Это живот свиньи. Пятна его окраса, кажется, тоже подчиняются фрактальным правилам. Это интересная тема и, главное, имеет массу применений, в том числе имеет и военное значение. По каким правилам должен составляться рисунок камуфляжа, чтобы его носитель сливался с природными формами - ландшафта и растительности?

Спасибо за внимание!!!

Недавно я узнала о таких интереснейших объектах математического мира как фракталы. Но существуют они не только в математики. Они окружают нас повсюду. Фракталы бывают природные. О том, что такое фракталы, о видах фракталов, о примерах этих объектов и их применении я и расскажу в этой статье. Для начала кратко расскажу, что такое фрактал.

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Для примера я вставлю картинку с изображением четырех разных фракталов.

Расскажу немного об истории фракталов. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Примеров фракталов можно привести массу, потому что, как и говорила, они окружают нас повсюду. По-моему, даже вся наша Вселенная — это один огромный фрактал. Ведь все в ней, от строения атома до строения самой Вселенной, в точности повторяет друг друга. Но есть, конечно, и более конкретные примеры фракталов из разных областей. Фракталы, к примеру, присутствуют в комплексной динамике. Там они естественным образом появляются при изучении нелинейных динамических систем . Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функцией комплекса переменных на плоскости. Одними из самых известных фракталов такого вида являются множество Жюлиа, множество Мандельброта и бассейны Ньютона. Ниже по порядку на картинки изображены каждый из вышеперечисленных фракталов.

Еще одним примером фракталов являются фрактальные кривые. Объяснить, как строиться фрактал лучше всего именно на примере фрактальных кривых. Одной из таких кривых является, так называемая, Снежинка Коха. Существует простая процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Ниже показана Снежинка (или кривая) Коха.

Фрактальных кривых так же существует огромное множество. Самые известные из них — это, уже упомянутая, Снежинка Коха, а также кривая Леви, кривая Минковского, ломанная Дракона, кривая Пиано и дерево Пифагора. Изображение данных фракталов и их историю, я думаю, при желании вы легко сможете найти в Википедии.

Третьим примером или видом фракталов являются стохастические фракталы. К таким фракталам можно отнести траекторию броуновского движения на плоскости и в пространстве, эволюции Шрамма-Лёвнера, различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр.

Существуют так же чисто математические фракталы. Это, например, канторово множество, губка Менгера, Треугольник Серпинского и другие.

Но самые, пожалуй, интересные фракталы — это природные. Природные фракталы — это такие объекты в природе, которые обладают фрактальными свойствами. И тут уже список большой. Я не буду перечислять все, потому что, наверное, всех и не перечислить, но о некоторых расскажу. Вот, к примеру, в живой природе к таким фракталам относятся наша кровеносная система и легкие. А еще кроны и листья деревьев. Так же сюда можно отнести морских звезд, морских ежей, кораллы, морские раковины, некоторые растения, такие как капуста или брокколи. Ниже наглядно показаны несколько таких природных фракталов из живой природы.

Если же рассматривать неживую природу, то там интересных примеров гораздо больше, нежели в живой. Молнии, снежинки, облака, всем известные, узоры на окнах в морозные дни, кристаллики, горные хребты — все это является примерами природных фракталов из неживой природы.

Примеры и виды фракталы мы рассмотрели. Что же касается применения фракталов, то они применяются в самых разных областях знаний. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии. Так же фракталы активно используются в радиотехнике, в информатике и компьютерных технологиях, телекоммуникациях и даже экономике. Ну и, конечно же, фрактальное видение, активно используется в современном искусстве и архитектуре. Вот один из примеров фрактальных картин:

И так, на этом я думаю завершить свой рассказ о таком необычном математическом явлении как фрактал. Сегодня мы узнали о том, что такое фрактал, как он появился, о видах и о примерах фракталов. А так же я рассказала о их применении и продемонстрировала некоторые из фракталов наглядно. Надеюсь, вам понравилась эта небольшая экскурсия в мир удивительных и завораживающих фрактальных объектов.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

• Введение
• 1. Понятие фрактала
• 2. Классификация фракталов
• 4. Применение фракталов
• Заключение
• Список использованной литературы

Введение

Появление самоподобных математических объектов сто и более лет назад почти никого не заинтересовало, они были интересны лишь авторам этих объектов. Более того, некоторые ученые окрестили их “монстрами” и не считали, что они имеют хоть какое-нибудь отношение к реальному миру и науке.

Отношение к самоподобным математическим объектам изменилось с появлением компьютеров, когда появились первые изображения алгебраических и стохастических фракталов. Сразу после этого они заинтересовали не только математиков, но и физиков, биологов, акустиков, и всех, кто в своей работе сталкивался с природными объектами. Математиков фракталы привлекали незамысловатостью формул, которыми описываются столь сложные структуры, физиков - возможностью пересмотреть физику с новой позиции, биологов - соответствием изображений фракталов с различными биологическими объектами.

Фракталы еще не исчерпали себя, фрактальные объекты находят все в новых областях науки. Их применяют физики, биологи, социологи, экономисты и многие другие. Фракталы не изучены до конца, им находят все новое применение, изменяющие наше отношение, как к самим фракталам, так и к природе.

Объект работы - феномен фракталов.

Предмет работы - место фракталов в современной науке.

Цель работы - рассмотреть фракталы как одновременно простой и сложный феномен.

Задачи работы: рассмотреть понятие фракталов, виды фракталов, историю возникновения и изучения фракталов, применение фракталов на практике.

1. Понятие фрактала

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х 20-го века прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, с.5 -- М.: Институт компьютерных исследований, 2002. . Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, с.5 -- М.: Институт компьютерных исследований, 2002. . Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" Федер Е. Фракталы.: Мир 1991,с.67 .

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

1. Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

2. Является самоподобной или приближенно самоподобной.

3. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

4. Может быть построена при помощи рекурсивной процедурыФедер Е. Фракталы.: Мир 1991,с.133 .

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Фракталы -- это прежде всего язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур.

Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии.

2. Классификация фракталов

Геометрические фракталы. Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Схоластические фракталы. Природные объекты, возникающие в результате сложных процессов случайного характера, часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

1. траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;

2. граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельборта о том, что ее размерность равна 4/3.

3. эволюции Шрамма-Лёвнера -- конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например в модели Изинга и перколяции.

4. различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введен случайный параметр. Плазма -- пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Фрактальная монотипия, или стохатипия -- направления в изобразительном искусстве, состоящие в получении изображения случайного фрактала Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. -- Ижевск: РХД, 2001,с.26 .

3. История возникновения фракталов

Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, предста­вляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых.

В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. -- М.: Мир 1993,с.45 .

Французский математик Анри Пуанкаре инициировал исследования в области нелинейной динамики около 1890 года, что привело к появлению современной теории хаоса. Интерес к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, занимавшийся нелинейным мо­делированием погоды, в 1963 году обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды. Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных условий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии погоды в будущем. Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса.

Траектории частиц броуновского движения, которым занимались Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кривую -- непрерывное отображение, переводящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с единицы до двойки. Граница снежинки Коха (1904 год), чья размерность d » 1,2618, -- это еще одна хорошо известная кривая, повышающая размерность.

Фрактал, никоим образом не похожий на кривую, который Мандельброт назвал пылью -- это классическое множество Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено, что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столько же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую «пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии. Фрактальная пыль того или иного рода появляется в многочисленных ситуациях. Фактически, она является универсальным фракталом в том смысле, что любой фрактал -- аттрактор системы итерированных функций -- представляет собой либо фрактальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низкой размерностью Пайтген Х.-О., Рихтер П., с. 22 .

Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев-растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кровеносной системы и др. Интересно отметить предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности-фрактала.

Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции у = /(х) и рассматривают поведение последовательности f(х), f(f(х)), f(f(f(x))),... В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением *множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений.

Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

4. Применение фракталов

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д.

Физика и другие естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные случайные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

1. Неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»).

2. Неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был веселый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

3. В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна

4. Венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений).

5. «Рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе»).

6. Предисловия, скрывающие авторство (У.Эко «Имя розы»).

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому

Х. Л. Борхес «В кругу развалин»

Х.Кортасар «Жёлтый цветок»

Ж.Перек «Кунсткамера»

Фрактальные антенны.

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Сжатие изображений.

Существуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо изображения можно хранить отображение сжатия, для которого это изображение является неподвижной точкой.

Децентрализованные сети.

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Заключение

Большинство людей, считают, что фракталы, это лишь красивые картинки, которые услаждают глаз. К счастью, это не так, и фракталы применяются во многих областях деятельности человека. Уже существует теоретическая база для создания новых направлений их применения, такие как диагностика заболеваний, прогнозирование разрушений при динамическом ударе и многие другие. Но, несмотря на теоретическую неисчерпаемость использования фракталов, можно предположить, что со временем выделятся основные направления их применения.

Прошло всего несколько десятилетий с тех пор, как Бенуа Мандельброт заявил: «Геометрия природы фрактальна!», на сегодняшний день мы уже можем предположить намного больше, а именно, что фрактальность - это первоочередной принцип построения всех без исключения природных объектов.

Выводы:

1. Природа фракталов тщательно изучается учеными

2. В будущем с помощью фракталов будут решены многие проблемы в медицине, в компьютерной индустрии, в науке и т.д.

Список использованной литературы

фрактал естественный графика

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. -- М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. -- М.: Мир, 1993.

3. Федер Е. Фракталы-М.: Мир,1991.

4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. -- Ижевск: РХД, 2001.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Фрактал как множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической. Принципы и условия формирования соответствующей системы согласно исследованиям Мандельброта. Типы и значение фракталов, главные этапы их эволюции.

контрольная работа , добавлен 19.02.2015


Суть современных концепций относительности пространства и времени в специальной и общей теориях. Гиперхронологическое историческое пространство, ускорение исторического времени. Раскрытие понятий бифуркаций, фракталов, аттракторов, факторов случайности.

контрольная работа , добавлен 10.12.2009


Гуманитарный, технический, математический типы знания и естествознание в современной системе знания. Роль и значение математики и физики в познании мира. Отношение к природе в естественных и гуманитарных науках. Проблема противостояния науки и религии.

реферат , добавлен 26.11.2011


Развитие естественных наук в средние века, место и роль церкви в государстве. Построение теории строения атома на основе планетарной модели. Развитие астрономии, характеристики галактик. Теории возникновения жизни на Земле. Гипотезы происхождения рас.

контрольная работа , добавлен 14.09.2009


Гиппократ как основоположник современной клинической медицины. Заслуга ученых античности в развитии естественных наук. Содержание основных законов диалектики, применение диалектических методов исследования. Закон перехода количества в качество.

контрольная работа , добавлен 03.04.2011


Синергетика как теория самоорганизующихся систем в современном научном мире. История и логика возникновения синергетического подхода в естествознании. Влияние этого подхода на развитие науки. Методологическая значимость синергетики в современной науке.

реферат , добавлен 27.12.2016


Общая характеристика бактерий. Их строение, размножение и питание. Понятие о природных ресурсах и их характеристика. Строение и значение пищеварительной системы. Экономическая классификация природных ресурсов. Строение стенки пищеварительного канала.

контрольная работа , добавлен 09.10.2012


Тенденции развития сферы промышленности, энергетики, народного хозяйства в настоящее время. Преобразования в области науки. Последствия развития биотехнологий, разработок в естественных науках. Химические процессы и энергетика. Сохранение озонового слоя.

реферат , добавлен 18.11.2009


Применене принципа абсолютной объективности и определенности эмпирических данных в квантовой физике. Использование циркуля и линейки в евклидовой геометрии. Анализ периодической системы химических элементов Д.И. Менделеева. Свойсива точки бифуркации.

контрольная работа , добавлен 12.06.2015


Понятие о биоэлектрических явлениях. Возникновение современной мембранной теории возбуждения. Основные виды биоэлектрических потенциалов, механизм их возникновения и применение в медико-биологических лабораториях, в клинической практике при диагностике.

Природа — совершенное творение, убеждаются учёные, которые открывают в строении человеческого тела пропорции золотого сечения, а в головке цветной капусты — фрактальные фигуры.

«Изучение и наблюдение природы породило науку», — писал Цицерон в первом столетии до нашей эры. В более поздние времена с развитием науки и отдалением её от изучения природы, учёные с удивлением открывают то, что было известно ещё нашим предкам, но не было подтверждено научными методами.

Интересно находить схожие образования в микро- и макромире, вдохновлять может и то, что геометрию этих образований наука может описать. Кровеносная система, река, молния, ветки деревьев… всё это — схожие системы, состоящие из разных частиц и различные по масштабу.

Пропорции «золотого сечения»

Ещё древние греки, а, возможно, и египтяне, знали пропорцию «золотого сечения». Лука Пачоли, математик эпохи Возрождения, назвал это соотношение «божественной пропорцией». Позже учёные обнаружили, что золотое сечение, которое так приятно глазу человека и которое часто встречается в классической архитектуре, искусстве и даже поэзии, можно повсеместно найти и в природе.

Пропорция золотого сечения — это деление отрезка на две неравные части, в котором короткая часть так относится к длинной, как длинная ко всему отрезку. Отношение длинной части ко всему отрезку — это бесконечное число, иррациональная дробь 0,618…, отношение короткой — соответственно 0,382…

Если построить прямоугольник со сторонами, соотношение которых будет равно пропорции «золотого сечения», и вписать в него ещё один «золотой прямоугольник», в тот — ещё один, и так до бесконечности внутрь и наружу, то по угловым точкам прямоугольников можно провести спираль. Интересно то, что такая спираль совпадёт со срезом раковины наутилуса, а также другими встречающимися в природе спиралями.

Иллюстрация: Homk/wikipedia.org

Окаменелость Наутилуса.
Фото: Studio-Annika/Photos.com

Раковина Наутилуса.
Фото: Chris 73/en.wikipedia.org

Пропорция золотого сечения воспринимается человеческим глазом как красивая, гармоничная. А ещё пропорция 0,618… равняется отношению предыдущего к последующему числу в ряде Фибоначчи. Числа ряда Фибоначчи повсеместно проявляются в природе: это спираль, по которой веточки растений примыкают к стеблю, спираль, по которой вырастают чешуйки на шишке или зёрна на подсолнухе. Что интересно, количество рядов, закручивающихся против часовой стрелки и по часовой стрелке, — это соседние числа в ряде Фибоначчи.

Спирально закручивается головка капусты брокколи и бараний рог… Да и в самом человеческом теле, разумеется, здоровом и нормальных пропорций, встречаются соотношения золотого сечения.

Витрувианский человек. Рисунок Леонардо да Винчи.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — числа ряда Фибоначчи, в котором каждый последующий член получаем из суммы двух предыдущих. Далёкие спиральные галлактики, которые засняли спутники, также закручиваются по спиралям Фибоначчи.

Спиральная галлактика.
Фото: NASA

Три тропических циклона.
Фото: NASA

Двойной спиралью закручена молекула ДНК.

Закрученная спиралью ДНК человека.
Иллюстрация: Zephyris/en.wikipedia.org

Ураган закручивается по спирали, спирально плетёт свою паутину паук.

Паутина паука-крестовика.
Фото: Vincent de Groot/videgro.net

«Золотую пропорцию» можно увидеть и в строении тела бабочки, в отношении грудной и брюшной частей её тельца, а также у стрекозы. Да и большинство яиц вписывается если не в прямоугольник золотого сечения, то в производный от него.

Иллюстрация: Adolphe Millot

Фракталы

Другими интересными фигурами, которые мы можем повсеместно увидеть в природе, являются фракталы. Фракталы — это фигуры, составленные из частей, каждая из которых подобна целой фигуре — не напоминает ли это принцип золотого сечения?

Деревья, молния, бронхи и кровеносная система человека имеют фрактальную форму, идеальными природными иллюстрациями фракталов называют также папоротники и капусту брокколи. «Всё так сложно, всё так просто» устроено в природе, замечают люди, с уважением прислушиваясь к ней.

«Природа наделила человека стремлением к обнаружению истины», — писал Цицерон, словами которого хотелось бы и закончить первую часть статьи о геометрии в природе.

Брокколи — идеальная природная иллюстрация фрактала.
Фото: pdphoto.org

Листья папоротника имеют форму фрактальной фигуры — они самоподобны.
Фото: Stockbyte/Photos.com

Зеленые фракталы: листья папоротника.
Фото: John Foxx/Photos.com

Жилки на пожелтевшем листе, имеющие форму фрактала.
Фото: Diego Barucco/Photos.com

Трещины на камне: фрактал в макро.
Фото: Bob Beale/Photos.com

Разветвления кровеносной системы на ушах кролика.
Фото: Lusoimages/Photos.com

Удар молнии — фрактальная ветка.
Фото: John R. Southern/flickr.com

Веточка артерий в человеческом теле.

Вьющаяся река и её ответвления.
Фото: Jupiterimages/Photos.com

Лёд, замерзший на стекле имеет самоподобный рисунок.
Фото: Schnobby/en.wikipedia.org

Листик плюща с разветвлением прожилок — фракталов по форме.
Фото: Wojciech Plonka/Photos.com

Для того чтобы понять, что такое фрактал, следовало бы начать разбор полетов с позиции математики, однако прежде чем углубляться в точные науки, мы немного пофилософствуем. Каждому человеку присуща природная любознательность, благодаря которой он и познает окружающий мир. Зачастую в своем стремлении познания он старается оперировать логикой в суждениях. Так, анализируя процессы, которые происходят вокруг, он пытается вычислить взаимосвязи и вывести определенные закономерности. Самые большие умы планеты заняты решением этих задач. Грубо говоря, наши ученые ищут закономерности там, где их нет, да и быть не должно. И тем не менее даже в хаосе есть связь между теми или иными событиями. Вот этой связью и выступает фрактал. В качестве примера рассмотрим сломанную ветку, валяющуюся на дороге. Если внимательно к ней присмотреться, то мы увидим, что она со всеми своими ответвлениями и сучками сама похожа на дерево. Вот эта схожесть отдельной части с единым целым свидетельствует о так называемом принципе рекурсивного самоподобия. Фракталы в природе можно найти сплошь и рядом, ведь многие неорганические и органические формы формируются аналогично. Это и облака, и морские раковины, и раковины улиток, и кроны деревьев, и даже кровеносная система. Данный список можно продолжать до бесконечности. Все эти случайные формы с легкостью описывает фрактальный алгоритм. Вот мы подошли к тому, чтобы рассмотреть, что такое фрактал с позиции точных наук.

Немного сухих фактов

Само слово «фрактал» с латыни переводится как “частичный”, “разделенный”, “раздробленный”, а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. Этот термин придумал в семидесятых годах ХХ века Бенуа Мандельброт, который признан отцом фрактальной геометрии. Сегодня под понятием фрактала подразумевают графическое изображение некой структуры, которая при увеличенном масштабе будет подобна сама себе. Однако математическая база для создания этой теории была заложена еще до рождения самого Мандельброта, а вот развиваться она не могла, пока не появились электронные вычислительные машины.

Историческая справка, или Как все начиналось

На рубеже 19-20 веков изучение природы фракталов носило эпизодический характер. Это объясняется тем, что математики предпочитали изучать объекты, поддающиеся исследованию, на основе общих теорий и методов. В 1872 году немецким математиком К. Вейерштрассом был построен пример непрерывной функции, нигде не дифференцируемой. Однако это построение оказалась целиком абстрактным и трудным для восприятия. Дальше пошел швед Хельге фон Кох, который в 1904 году построил непрерывную кривую, не имеющую нигде касательной. Ее довольно легко нарисовать, и, как оказалось, она характеризуется фрактальными свойствами. Один из вариантов данной кривой назвали в честь ее автора – «снежинка Коха». Далее идею самоподобия фигур развивал будущий наставник Б. Мандельброта француз Поль Леви. В 1938 году он опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому». В ней он описал новый вид – С-кривую Леви. Все вышеперечисленные фигуры условно относятся к такому виду, как геометрические фракталы.

Динамические, или алгебраические фракталы

К данному классу относится множество Мандельброта. Первыми исследователями этого направления стали французские математики Пьер Фату и Гастон Жюлиа. В 1918 году Жюлиа опубликовал работу, в основе которой лежало изучение итераций рациональных комплексных функций. Здесь он описал семейство фракталов, которые близко связаны с множеством Мандельброта. Невзирая на то что данная работа прославила автора среди математиков, о ней быстро забыли. И только спустя полвека благодаря компьютерам труд Жюлиа получил вторую жизнь. ЭВМ позволили сделать видимым для каждого человека ту красоту и богатство мира фракталов, которые могли «видеть» математики, отображая их через функции. Мандельброт стал первым, кто использовал компьютер для проведения вычислений (вручную такой объем невозможно провести), позволивших построить изображение этих фигур.

Человек с пространственным воображением

Мандельброт начинал свою научную карьеру в исследовательском центре IBM. Изучая возможности передачи данных на большие расстояния, ученые столкнулись с фактом больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. Бенуа искал пути решения этой проблемы. Просматривая результаты измерений, он обратил внимание на странную закономерность, а именно: графики шумов выглядели одинаково в разном масштабе времени. Аналогичная картина наблюдалась как для периода в один день, так и для семи дней или для часа. Сам Бенуа Мандельброт часто повторял, что он работает не с формулами, а играет с картинками. Этот ученый отличался образным мышлением, любую алгебраическую задачу он переводил в геометрическую область, где правильный ответ очевиден. Так что неудивительно, что такой человек, отличающийся богатым пространственным мышлением, и стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание данной фигуры может прийти только тогда, когда изучаешь рисунки и вдумываешься в смысл этих странных завихрений, образующих узор. Фрактальные рисунки не имеют идентичных элементов, однако обладают подобностью при любом масштабе.

Жюлиа – Мандельброт

Одним из первых рисунков этой фигуры была графическая интерпретация множества, которая родилась благодаря работам Гастона Жюлиа и была доработана Мандельбротом. Гастон пытался представить, как выглядит множество, построенное на базе простой формулы, которая проитерирована циклом обратной связи. Попробуем сказанное объяснить человеческим языком, так сказать, на пальцах. Для конкретного числового значения с помощью формулы находим новое значение. Подставляем его в формулу и находим следующее. В результате получается большая числовая последовательность. Для представления такого множества требуется проделать эту операцию огромное количество раз: сотни, тысячи, миллионы. Это и проделал Бенуа. Он обработал последовательность и перенес результаты в графическую форму. Впоследствии он раскрасил полученную фигуру (каждый цвет соответствует определенному числу итераций). Данное графическое изображение получило имя «фрактал Мандельброта».

Л. Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов довольно быстро нашла практическое применение. Так как она весьма тесно связана с визуализацией самоподобных образов, то первыми, кто взял на вооружение принципы и алгоритмы построения этих необычных форм, стали художники. Первым из них стал будущий основатель студии Pixar Лорен Карпентер. Работая над презентацией прототипов самолетов, ему в голову пришла идея в качестве фона использовать изображение гор. Сегодня с такой задачей сможет справиться практически каждый пользователь компьютера, а в семидесятых годах прошлого века ЭВМ были не в состоянии выполнять такие процессы, ведь графических редакторов и приложений для трехмерной графики на тот момент еще не было. И вот Лорену попалась книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В ней Бенуа приводил множество примеров, показывая, что существуют фракталы в природе (фыва), он описывал их разнообразную форму и доказывал, что они легко описываются математическими выражениями. Данную аналогию математик приводил в качестве аргумента полезности разрабатываемой им теории в ответ на шквал критики от своих коллег. Они утверждали, что фрактал – это всего лишь красивая картинка, не имеющая никакой ценности, являющаяся побочным результатом работы электронных машин. Карпентер решил опробовать этот метод на практике. Внимательно изучив книгу, будущий аниматор стал искать способ реализации фрактальной геометрии в компьютерной графике. Ему понадобилось всего три дня, чтобы визуализировать вполне реалистичное изображение горного ландшафта на своем компьютере. И сегодня этот принцип широко используется. Как оказалось, создание фракталов не занимает много времени и сил.

Решение Карпентера

Принцип, использованный Лореном, оказался прост. Он состоит в том, чтобы разделить более крупные геометрические фигуры на мелкие элементы, а те – на аналогичные меньшего размера, и так далее. Карпентер, используя крупные треугольники, дробил их на 4 мелких, и так далее, до тех пор, пока у него не получился реалистичный горный пейзаж. Таким образом, он стал первым художником, который применил фрактальный алгоритм в компьютерной графике для построения требуемого изображения. Сегодня этот принцип используется для имитации различных реалистичных природных форм.

Первая 3D-визуализация на фрактальном алгоритме

Уже через несколько лет Лорен применил свои наработки в масштабном проекте – анимационном ролике Vol Libre, показанном на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло многих, и его создатель был приглашен работать в Lucasfilm. Здесь аниматор смог реализоваться в полной мере, он создал трехмерные ландшафты (целую планету) для полнометражного фильма “Star Trek”. Любая современная программа («Фракталы») или приложение для создания трехмерной графики (Terragen, Vue, Bryce) использует все тот же алгоритм для моделирования текстур и поверхностей.

Том Беддард

В прошлом лазерный физик, а ныне цифровых дел мастер и художник, Беддард создал ряд весьма интригующих геометрических фигур, которые назвал фракталы Фаберже. Внешне они напоминают декоративные яйца русского ювелира, на них такой же блестящий замысловатый узор. Беддард использовал шаблонный метод для создания своих цифровых визуализаций моделей. Полученные изделия поражают своей красотой. Хоть многие отказываются сравнивать продукт ручной работы с компьютерной программой, однако следует признать, что полученные формы необычайно красивы. Изюминка заключается в том, что построить такой фрактал сможет любой желающий, воспользовавшись программной библиотекой WebGL. Она позволяет исследовать в реальном времени различные фрактальные структуры.

Фракталы в природе

Мало кто обращает внимание, но эти удивительные фигуры присутствуют повсюду. Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы. Или взять, к примеру, ананас или даже хвост павлина – они состоят из подобных фигур. А сорт капусты брокколи Романеску вообще поражает своим видом, ведь это поистине можно назвать чудом природы.

Музыкальная пауза

Оказывается, фракталы – это не только геометрические фигуры, они могут быть и звуками. Так, музыкант Джонатан Колтон пишет музыку с помощью фрактальных алгоритмов. Он утверждает, что такая мелодия соответствует природной гармонии. Композитор все свои произведения публикует под лицензией CreativeCommons Attribution-Noncommercial, которая предусматривает свободное распространение, копирование, передачу произведений другими лицами.

Индикатор-фрактал

Данная методика нашла весьма неожиданное применение. На ее основе создан инструмент для анализа рынка фондовой биржи, и, как следствие, его начали применять на рынке «Форекс». Сейчас индикатор-фрактал находится на всех торговых платформах и применяется в торговой технике, которую называют ценовым прорывом. Разработал эту методику Билл Вильямс. Как комментирует свое изобретение автор, данный алгоритм является сочетанием нескольких «свечей», в котором центральная отражает максимальную либо, наоборот, минимальную экстремальную точку.

В заключение

Вот мы и рассмотрели, что такое фрактал. Оказывается, в хаосе, который окружает нас, на самом деле существуют идеальные формы. Природа является лучшим архитектором, идеальным строителем и инженером. Она устроена весьма логично, и если мы не можем найти закономерность, это не значит, что ее нет. Может быть, нужно искать в ином масштабе. С уверенностью можно сказать, что фракталы хранят еще немало секретов, которые нам только предстоит открыть.