รูปแบบผลต่างสำหรับปัญหาไฮเปอร์โบลิก วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิก (โดยใช้ตัวอย่างสมการการขนส่ง) รูปแบบผลต่างที่ดีที่สุดสำหรับสมการไฮเปอร์โบลิก

พิจารณาปัญหาคอชีสำหรับสมการของรูปแบบ

ซึ่งความเร็วในการถ่ายโอนข้อมูล โวลต์อาจเป็นฟังก์ชันได้ เอ็กซ์สำหรับสมการ (6.1) สามารถเสนอโครงร่างที่แตกต่างกันได้หลายแบบ โดยจะแตกต่างกันตามลำดับของการประมาณ วิธีการแทนอนุพันธ์ เป็นต้น ก่อนอื่นให้เราอาศัยรูปแบบความแตกต่างที่ชัดเจนซึ่งแต่ละสมการของระบบมีปริมาณที่ไม่ทราบเพียงปริมาณเดียว) ซึ่งช่วยให้เราสามารถคำนวณค่าของการแก้ปัญหาตามลำดับในชั้นเวลาใหม่

เป็นที่ทราบกันดีว่าคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดที่รูปแบบความแตกต่างที่ชัดเจนต้องมีคือความเสถียร - ความสามารถของโครงการที่จะไม่สะสมการรบกวนทางการคำนวณ ความเสถียรของโครงการเป็นข้อกำหนดที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าโซลูชันที่ต่างกันมาบรรจบกันกับโซลูชันที่แน่นอน สำหรับสมการไฮเปอร์โบลิก การวิเคราะห์ความเสถียรมักจะดำเนินการโดยใช้ข้อมูลเริ่มต้นตามสเปกตรัมของค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเปลี่ยนผ่านไปยังเลเยอร์เวลาใหม่ โดยขึ้นอยู่กับการเลือกรูปแบบความแตกต่างที่ยอมรับได้สำหรับการคำนวณ ดังนั้น โครงการผลต่างสมมาตร

มีเงื่อนไขความเสถียรที่เข้มงวดมาก (t 2 vh) และไม่ได้ใช้สำหรับอัลกอริธึมเชิงปฏิบัติ รูปแบบความแตกต่าง

มีความเสถียรตามเงื่อนไข เพื่อให้มั่นใจถึงความมั่นคง อันดับแรกคือต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Courant Friedrichs-Lévy (CFL):

และประการที่สอง การใช้ความแตกต่างไปสู่กระแส เช่น การประยุกต์ใช้โครงการ (6.3) ด้วย วี> 0 และ (6.4) ที่ โวลต์ 0

รูปแบบที่ชัดเจนพร้อมความแตกต่างต่อการไหลหากเราเลือกใช้สองรูปแบบก่อนหน้านี้อย่างเฉพาะเจาะจงคือด้วย วี>> 0 โครงการ (6.3) และเมื่อใด โวลต์

จะไม่สนใจทิศทางของความเร็วและความเสถียรที่จัดให้ โวลต์/ชม^ 1. สังเกตได้ง่ายว่าความแตกต่างด้านเดียวในโครงการนี้ถูกนำไปสู่กระแส (โครงการดังกล่าวมีคุณสมบัติ mpanenopmuemu).แบบแผนประเภทนี้เรียกว่า ทวนหรือ โครงการที่มีความแตกต่างต่อการไหล

ในกรณีของสมการที่มีค่าคงที่ของความเร็วการถ่ายโอน จะไม่มีปัญหากับการออกแบบโครงร่างผลต่างทวนลม ความแตกต่างที่สอดคล้องกับเครื่องหมายของความเร็วการถ่ายโอนจะถูกเลือกและใช้กับโหนดทั้งหมดของโดเมนการคำนวณ เงื่อนไข (6.5) กำหนดข้อจำกัดเกี่ยวกับอัตราส่วนของขั้นตอนของตารางการคำนวณ โดยปกติ สำหรับขั้นตอนเชิงพื้นที่ที่กำหนด ขั้นตอนที่เวลาที่อนุญาต th/v จะถูกกำหนดจากความสัมพันธ์ (6.5)

แต่ถ้าความเร็วการถ่ายโอนเป็นฟังก์ชันของพิกัด (หรือเวลา) จะต้องเลือกประเภทการประมาณค่าความแตกต่างโดยอาศัยการวิเคราะห์สัญลักษณ์ของความเร็วการถ่ายโอน เช่น การใช้ตัวดำเนินการแบบมีเงื่อนไข ยกเว้นชาวเยอรมันที่มีความเร็วการถ่ายโอนแปรผัน วี = วี(x)ต้องตรวจสอบเงื่อนไขความเสถียรสำหรับโหนดกริดทั้งหมด และต้องเลือกค่าขั้นต่ำจากชุดของค่าขั้นตอนเวลานี้: t min,; ฮ/วีเจ

Courant และคณะ (1952) เสนอวิธีการที่น่าสนใจสำหรับการสร้างวงจรทวนกระแสที่ไม่ได้ใช้ตัวดำเนินการแบบมีเงื่อนไข สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่านี่ไม่ใช่แค่เทคนิคที่เป็นทางการ แต่เป็นแนวทางที่มีแนวคิดเชิงลึกบนพื้นฐานที่สามารถเปรียบเทียบและค้นหาความสอดคล้องระหว่างโครงร่างต้นน้ำ (ไม่สมมาตร) และความแตกต่างแบบสมมาตร แนวคิดในการแบ่งตัวดำเนินการของแผนงานที่แตกต่างกันก็ใกล้เคียงกัน

ลองจินตนาการถึงอัตราการถ่ายโอนเป็นผลรวมขององค์ประกอบเชิงบวกและเชิงลบ:

ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถแทนตัวดำเนินการดำเนินการเป็นผลรวมของตัวดำเนินการสองตัว:

ตอนนี้ตัวดำเนินการแต่ละตัวมีค่าสัมประสิทธิ์ของเครื่องหมายคงที่ ซึ่งทำให้สามารถใช้การประมาณผลต่างของลมกับค่าดังกล่าวได้ โปรดทราบว่ารูปแบบความแตกต่างที่มีต่อการไหลสำหรับการประมาณเงื่อนไขการพาความร้อนนั้นใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาต่างๆ ของพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ มักใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้ของอัลกอริทึมการคำนวณตามรูปแบบ (6.6):

หากตอนนี้เราทำการแปลงเบื้องต้นทางด้านขวาของ (6.7) และเลือกอนุพันธ์ผลต่างสมมาตร รูปแบบนี้จะถูกนำเสนอในรูปแบบ

เราสามารถสรุปได้ว่ารูปแบบผลต่างทวนกระแส (6.7) เทียบเท่ากับรูปแบบสมมาตร (6.2) ซึ่งมีการแนะนำสารเติมแต่งแบบกระจายเพื่อให้มั่นใจถึงความเสถียรตามเงื่อนไขของโครงการ

โครงการหละหลวม.โครงการนี้ถูกนำมาใช้ในการฝึกปฏิบัติด้านคอมพิวเตอร์ในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ II แม้ว่าจะมีการพบการอ้างอิงถึงโครงร่างประเภทนี้ในงานของผู้เขียนหลายคน แต่ความคิดเห็นของสาธารณชนก็เชื่อมโยงกับชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Lax (P.D. Lax) ซึ่งตีพิมพ์บทความชุดหนึ่งในยุค 50 ในแง่มุมต่างๆ ของ ทฤษฎีแผนความแตกต่าง เมื่อใช้กับสมการการขนส่ง (6.1) โครงการนี้มีรูปแบบ

ลักษณะเฉพาะของโครงการคือเพื่อให้แน่ใจว่ามีเสถียรภาพในการประมาณอนุพันธ์ของเวลาค่าของฟังก์ชันกริดที่โหนด (r, ป)จะถูกแทนที่ด้วยผลรวมครึ่งหนึ่งของค่าในโหนดข้างเคียงของชั้นเวลาเดียวกัน การดำเนินการนี้ทำให้มั่นใจได้ถึงความเสถียรตามเงื่อนไขของรูปแบบส่วนต่างสำหรับการประมาณค่าส่วนกลางของอนุพันธ์เชิงพื้นที่ (หากเงื่อนไข Courant-Friedrichs-Lévy เป็นที่พอใจ โวลต์/ชม ^ 1).

แม้ว่าที่นี่อนุพันธ์ด้วยความเคารพ เอ็กซ์นำเสนอด้วยการประมาณลำดับที่สอง รูปแบบเนื่องจากการเป็นตัวแทนเฉพาะของอนุพันธ์ของเวลา จึงมีการกระจายอย่างมีนัยสำคัญ สิ่งนี้เห็นได้ชัดเจนจากการประมาณค่าส่วนต่างแรก:

ค่าสัมประสิทธิ์ทางด้านขวาก่อนอนุพันธ์อันดับสองสามารถตีความได้ว่าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของความหนืดของวงจร หลังจากการแปลงอย่างง่าย ปริมาณนี้สามารถแสดงเป็น

ผ่านที่ไหน กแสดงด้วยหมายเลข Courant จากการประมาณค่าความแตกต่าง สามารถกำหนดคุณสมบัติหลายประการของวงจรนี้ได้:

• - โครงการจะไม่กระจายที่หมายเลข Courant เท่ากับหนึ่ง
• - วงจรไม่ไวต่อทิศทางการไหล

เมื่อหมายเลข Courant น้อยกว่า 1 ความหนืดของวงจรจะมีผลในการรักษาเสถียรภาพ (ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายเชิงบวก) เมื่อหมายเลข Courant มากกว่าหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดของวงจรจะกลายเป็นลบ ซึ่งนำไปสู่ความเข้มข้นของกระบวนการแพร่กระจายและในที่สุด , สูญเสียความเสถียรในการคำนวณของวงจร;

เมื่อขั้นตอนเวลาลดลง คุณสมบัติการกระจายของวงจรจะเพิ่มขึ้น

ในบรรดาคุณสมบัติที่ระบุไว้มีบางอย่างที่ลดข้อดีของโครงการลงอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ความเรียบง่ายของอัลกอริทึมมักเป็นพื้นฐานสำหรับการใช้งานในขั้นตอนเริ่มต้น (การดีบัก) ของการสร้างโปรแกรมการคำนวณ นอกจากนี้ โครงการ Lax ดังที่เราจะเห็นในภายหลัง เป็นส่วนสำคัญของอัลกอริธึมหลายขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพ ซึ่งใช้ในการดำเนินการขั้นตอนเบื้องต้น (ขั้นตอนการทำนาย)

แผนการลำดับที่สองรูปแบบความแตกต่างที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้คือรูปแบบลำดับที่หนึ่ง (ในตัวแปรเชิงพื้นที่หรือเชิงเวลา) เมื่อสร้างโครงร่างลำดับที่สอง จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีลำดับการประมาณเพิ่มขึ้นทั้งในแง่ของการเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่และเชิงเวลา ลองดูโครงร่างประเภทนี้หลายแบบ

โครงการก้าวกระโดดรูปแบบลำดับที่สองทั้งในตัวแปรเชิงพื้นที่และเวลาของประเภทที่ง่ายที่สุดสามารถแสดงเป็นได้

โครงการนี้เรียกว่าโครงการแบบก้าวข้าม แต่รู้จักกันดีกว่าในชื่อ "ก้าวกระโดด"(โครงการกบกระโดด) โครงร่างนี้มีสามชั้นและสร้างโซลูชันโดยอิงจากสองชั้นเวลาก่อนหน้า ดังนั้นเมื่อใช้งานปัญหาเกิดขึ้นเมื่อเริ่มคำนวณซึ่งต้องดำเนินการด้วยวิธีอื่น

โครงการแลกซ์-เวนดรอฟโครงการที่มีชื่อเสียงที่สุดแห่งหนึ่งของประเภทนี้คือโครงการส่วนกลาง ซึ่งเรียกว่าโครงการ Lax-Wendroff ตามชื่อผู้เขียน มันครอบครองช่องเฉพาะในทฤษฎีโครงร่างความแตกต่างสำหรับสมการไฮเปอร์โบลิก แนวคิดที่มีประสิทธิผลมากมายเกี่ยวข้องกับมัน แต่ข้อได้เปรียบหลักของมันคือสามารถสรุปได้ง่ายและถ่ายโอนไปยังกรณีที่มีปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น - ปัญหาการไหลของก๊าซอัดได้ ซึ่งอธิบายโดยระบบสมการกึ่งเชิงเส้นซึ่งเป็นหนึ่งในเครื่องมือการคำนวณหลักมาเป็นเวลานาน

มีประโยชน์ในการศึกษาคุณสมบัติของโครงร่างนี้โดยใช้ตัวอย่างการประยุกต์ใช้กับสมการการขนส่งของแบบฟอร์ม (6.1) ในการสร้างโครงการอันดับสอง เราเขียนสูตร Taylor:

ซึ่งเราจะพิจารณาร่วมกับสมการเดิม (6.1) เราจะใช้สมการนี้เพื่อแทนที่อนุพันธ์เชิงเวลาในส่วนขยายด้วยเชิงพื้นที่ สิ่งนี้เป็นไปได้ เนื่องจากอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเวลาแสดงโดยตรงจาก (6.1): du/dt = -vdu/dxอนุพันธ์อันดับสองยังหาได้ง่ายจากสายโซ่ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

โปรดทราบว่าการแสดงนี้ถูกต้องที่อัตราการถ่ายโอนคงที่เท่านั้น: วี =ค่าคงที่ มิฉะนั้นจะเป็นค่าประมาณ อย่างไรก็ตาม หากความเร็วการถ่ายโอน วี(เอ็กซ์)เป็นฟังก์ชันที่ค่อนข้างราบรื่น สามารถใช้ในการแปลงความสัมพันธ์ความแตกต่างที่มีลักษณะเป็นท้องถิ่นได้

เมื่อแทนนิพจน์ของอนุพันธ์ที่ได้รับโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมลงในสูตรเทย์เลอร์ข้างต้น เราจะได้ความสัมพันธ์

และการแทนที่อนุพันธ์เชิงพื้นที่ด้วยความสัมพันธ์ผลต่างอันจำกัดอันดับสอง เราได้รับรูปแบบความแตกต่าง (หลังจากการแปลงอย่างง่าย ๆ)

เรียกว่าโครงการ Lax Wendroff โครงการนี้ถูกนำมาใช้ในการฝึกปฏิบัติด้านคอมพิวเตอร์ร่วมกับโครงการอื่นๆ อีกหลายชุดในชุดบทความที่ตีพิมพ์โดย Lax และ Wsndroff ในปี 1960-1964

โครงการ Lax-Wendroff เวอร์ชันสองขั้นตอนต่อมา Richtmeier เสนอโครงร่างเวอร์ชันสองขั้นตอนดั้งเดิมซึ่งเนื่องจากความง่ายในการใช้งานจึงเป็นหนึ่งในอัลกอริธึมการคำนวณหลักของพลวัตของก๊าซมาเป็นเวลานาน มานำเสนอตัวเลือกนี้กัน

ในครึ่งขั้นตอนแรก เราจะคำนวณค่ากลางของโซลูชันโดยใช้รูปแบบ Lax อันดับแรกแบบง่ายๆ เราจะกำหนดตัวยกให้กับค่ากลางนี้ เอ็น + 1/2 และเราจะจำไว้ว่ามีการใช้สเต็ปครึ่งเวลาด้วย เมื่อใช้โครงร่างนี้เราได้รับค่าโซลูชันที่ชั้นเวลากลาง: เสื้อ = เสื้อ n+l / 2 .โปรดทราบว่าเนื่องจากการใช้รูปแบบ Lax ซึ่งไม่มีโหนดกลางที่ชั้นล่าง สารละลายจึงถูกทำซ้ำบนเลเยอร์กลางในระบบจุดจำนวนครึ่งจำนวนด้วย

ให้เราเขียนความสัมพันธ์ส่วนต่างสำหรับช่วงสองช่วงที่อยู่ติดกัน:

ครึ่งขั้นตอนหลังประกอบด้วยการคำนวณโซลูชันในชั้นเวลาใหม่ ป+ 1 ขึ้นอยู่กับรูปแบบที่มีความแตกต่างที่สำคัญทั้งในด้านพื้นที่และเวลา - รูปแบบ "กากบาท" ในการคำนวณอนุพันธ์เชิงพื้นที่จะใช้ค่าของสารละลายบนเลเยอร์กลางในระบบจุดครึ่งจำนวนเต็มตัวโซลูชันจะถูกกู้คืนในระบบจุดเดียวกันกับที่กำหนดที่จุดเริ่มต้นของขั้นตอนเวลา : :

ความสัมพันธ์ (6.12) และ (6.13) ร่วมกันกำหนดโครงการ Lax-Weidroff สองขั้นตอน ในระยะแรกจะรับประกันการปฏิบัติตามเงื่อนไขความมั่นคง ระยะนี้บางครั้งเรียกว่า ผู้ทำนายขั้นตอนที่สองช่วยให้มั่นใจว่าได้รับความแม่นยำที่ต้องการและถูกเรียก ผู้พิสูจน์อักษรวิธีทำนาย-ตัวแก้ไขมักใช้ในคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ และระยะตัวแก้ไขอาจมีบล็อกการวนซ้ำ

สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าไม่รวมค่ากลางจาก (6.13) โดยใช้ความสัมพันธ์ (6.12) เรามาถึงเวอร์ชันหลัก - ขั้นตอนเดียว - ของโครงร่าง ในแง่ของลำดับการประมาณและความเสถียรตัวเลือกทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน แต่ขั้นตอนสองขั้นตอนจะสะดวกกว่าเมื่อทำการคำนวณซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมักเกี่ยวข้องกับชื่อของรูปแบบความแตกต่างนี้ ตัวเลือกสองขั้นตอนสะดวกเป็นพิเศษในการใช้เมื่อสร้างแผนความแตกต่างสำหรับปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับระบบสมการกึ่งเชิงเส้นของพลศาสตร์ของก๊าซที่ไม่คงที่

ความซ้ำซากจำเจของการแก้ปัญหาในรูปแบบลำดับที่สอง เทอมสุดท้ายทางด้านขวาของ (6.11) มีรูปแบบที่แตกต่างจากรูปแบบของเงื่อนไขการกระจายของแผนลำดับที่หนึ่ง (6.8) และ (6.10) ในกรณีนี้ จะมีการระงับข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับลำดับแรกของการประมาณอนุพันธ์ของเวลา ดังนั้นโครงร่างนี้จึงเป็นโครงร่างลำดับที่สองของทั้งตัวแปรเวลาและเชิงพื้นที่ การประมาณค่าดิฟเฟอเรนเชียลครั้งแรกจะไม่มีคำกระจายอีกต่อไป แต่จะมีส่วนประกอบการกระจายตัวที่มีอนุพันธ์อันดับสาม ซึ่งเป็นสาเหตุของความผิดพลาดของเฟสในวงจร คาดว่ารูปแบบนี้จะทำให้สารละลายเลอะเลือนเล็กน้อย แต่ในบริเวณที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว อาจเกิดการสั่นที่ไม่ใช่ทางกายภาพที่เกิดจากการกระจายตัว

รูปแบบความแตกต่างที่แปลงโซลูชันในรูปแบบของฟังก์ชันโมโนโทนิกของพิกัดตามยาวเป็นสารละลายโมโนโทนิกเรียกว่า โครงการความแตกต่างแบบโมโนโทนิก ตามคำจำกัดความนี้ โครงการ Lax-Weidroff ไม่ใช่แบบซ้ำซาก

เอส.เค. Godunov ได้สร้างทฤษฎีบทเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจซึ่งครอบครองจุดศูนย์กลางแห่งหนึ่งในทฤษฎีโครงร่างความแตกต่าง ตามทฤษฎีบทนี้ สำหรับสมการเชิงเส้นของแบบฟอร์ม (6.1) ไม่มีโครงร่างแบบโมโนโทนิกที่มีลำดับสูงกว่าอันแรก

การสูญเสียความซ้ำซากจำเจของรูปแบบความแตกต่างนั้นมีลักษณะเฉพาะในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่นสำหรับโครงร่างทั้งหมดของการประมาณลำดับที่สูงกว่า เพื่อเอาชนะความไม่ซ้ำซากจำเจของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของแผนการลำดับสูงที่เรียกว่า ไฮบริด แผนงานที่แตกต่างกัน พวกเขาอยู่ในคลาสที่ไม่เชิงเส้นซึ่งขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์พฤติกรรมของการแก้ปัญหาสวิตช์ถูกสร้างขึ้นสำหรับโครงร่างโมโนโทนิกลำดับแรกในพื้นที่ที่มีข้อผิดพลาดของเฟสเด่นชัดเป็นพิเศษและการกลับไปสู่โครงร่างที่มีลำดับสูง ในบริเวณที่มีการเปลี่ยนแปลงสารละลายอย่างราบรื่น

แผนการของแมคคอร์แมคนี่เป็นโครงร่างสองขั้นตอนลำดับที่สองโดยไม่แยแสกับทิศทางของการไหล สะดวกกว่าที่จะแสดงโดยใช้สมการการขนส่งรูปแบบอนุรักษ์นิยม:

โครงการประกอบด้วยสองขั้นตอนตามลำดับ:

ในระยะแรก (6.15) จะพบค่าเบื้องต้นของการแก้ปัญหา สช ที่โหนดกริดตามรูปแบบความแตกต่างทางเดียว จากวิธีการแก้ปัญหาที่พบในวิธีนี้จะคำนวณค่าเบื้องต้นของฟลักซ์ / g ถัดไปบนพื้นฐานของโครงร่างทางเดียวที่มีทิศทางตรงกันข้าม (6.16) วิธีแก้ปัญหาจะถูกกำหนดในชั้นเวลาถัดไป

อัลกอริธึมนี้สามารถปรับเปลี่ยนได้หลากหลาย โดยปรับให้เข้ากับการแก้ปัญหาทั้งระบบเสมือนและปัญหาไฮเพอร์โบลิกหลายมิติได้ดี ในปี 1970 โครงการนี้เป็นหนึ่งในรูปแบบความแตกต่างที่สำคัญของคอมพิวเตอร์ต่างประเทศ (ส่วนใหญ่เป็นชาวอเมริกัน) แต่ในปัจจุบันได้ถูกแทนที่ด้วยคอมพิวเตอร์ที่ทันสมัยกว่าโดยอิงตามแนวคิดของการผสมข้ามพันธุ์

ขนาด : px

เริ่มแสดงจากหน้า:

การถอดเสียง

2 กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของ RF NOVOSIBIRSK STATE UNIVERSITY คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ ภาควิชาการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny วิธีการคำนวณส่วนที่ 4 วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาสำหรับสมการประเภทไฮเปอร์โบลิก ตำราเรียน Novosibirsk 014

3 BBK V.193 UDC X 16 ผู้วิจารณ์ ปริญญาเอก ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ A. S. Lebedev สิ่งพิมพ์นี้จัดทำขึ้นโดยเป็นส่วนหนึ่งของการดำเนินการตามโครงการพัฒนาของสถาบันการศึกษาของรัฐเกี่ยวกับการศึกษาวิชาชีพระดับสูง "มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโนโวซีบีร์สค์" เป็นเวลาหลายปี X 16 Khakimzyanov, G. S. วิธีการคำนวณ: เวลา 4 นาฬิกา: หนังสือเรียน คู่มือ / G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny; โนโวซิบ. สถานะ มหาวิทยาลัย โนโวซีบีสค์: RIC NSU, 014. ส่วนที่ 4: วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาสมการประเภทไฮเปอร์โบลิก 07 น. ISBN ตำราเรียนสอดคล้องกับโปรแกรมการบรรยายหลักสูตร “วิธีการคำนวณ” ซึ่งเปิดสอนที่คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ NSU ส่วนที่สี่จะสรุปพื้นฐานของวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นสำหรับสมการประเภทไฮเปอร์โบลิก กำหนดปัญหาสำหรับชั้นเรียนสัมมนา และจัดเตรียมตัวอย่างการทดสอบและงานสำหรับชั้นเรียนภาคปฏิบัติบนคอมพิวเตอร์ คู่มือนี้จัดทำขึ้นสำหรับนักเรียนและครูเฉพาะทางคณิตศาสตร์ของสถาบันอุดมศึกษา ISBN BBK V.193 UDC c Novosibirsk State University, 014 c G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny, 014

4 สารบัญ แบบแผนสำหรับสมการการขนส่งเชิงเส้น คุณสมบัติความเป็นเอกเทศของแผนความแตกต่าง การสร้างแผนแบบโมโนโทนิกตามวิธีการประมาณค่าแบบดิฟเฟอเรนเชียล แบบแผนสำหรับสมการการขนส่งแบบไม่เชิงเส้น แบบแผนบนตาข่ายแบบปรับตัวสำหรับสมการการขนส่ง แบบแผนความแตกต่างสำหรับสมการของการแกว่งของสตริง แบบแผนความแตกต่าง สำหรับระบบสมการไฮเปอร์โบลิกที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ รูปแบบความแตกต่างสำหรับระบบสมการไม่เชิงเส้นของน้ำตื้น รูปแบบความแตกต่างสำหรับปัญหาพลศาสตร์ของก๊าซ งานทดสอบในหัวข้อ “การศึกษารูปแบบความแตกต่างสำหรับสมการการขนส่ง” งานสำหรับงานห้องปฏิบัติการ คำตอบ คำแนะนำ วิธีแก้ บรรณานุกรม

5 คำนำ ส่วนที่สี่ของคู่มือจะสรุปพื้นฐานของวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นสำหรับสมการไฮเปอร์โบลิก กำหนดปัญหาในหัวข้อนี้สำหรับชั้นเรียนสัมมนา จัดเตรียมงานสำหรับชั้นเรียนภาคปฏิบัติบนคอมพิวเตอร์ และตัวอย่างการทดสอบ ประเด็นทางทฤษฎีมีการนำเสนอค่อนข้างสั้น สำหรับการศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับประเด็นที่กำลังพิจารณาเราแนะนำให้หันไปหาหนังสือเรียนของ S. K. Godunov และ V. S. Ryabensky รวมถึงหนังสือของ G. I. Marchuk, A. A. Samarsky, A. A. Samarsky และ A. V. Gulin , A. A. Samarsky และ E. S. Nikolaev B. L. Rozhdestvensky และ N. N. Yanenko และหนังสือเรียนที่จัดพิมพ์ที่ NSU การบรรยายจะอภิปรายประเด็นทางทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาโครงร่างผลต่างอันจำกัดเท่านั้น ตามตัวอย่าง เราจะพิจารณาโครงร่างสำหรับสมการการขนส่งเชิงเส้น สมการสเกลาร์ลำดับที่หนึ่งแบบไม่เชิงเส้น สมการลำดับที่สองที่อธิบายการแกว่งของสตริง ระบบเชิงเส้นของสมการลำดับที่หนึ่ง ระบบสมการน้ำตื้นแบบไม่เชิงเส้น และสมการพลศาสตร์ของแก๊ส . แต่ละย่อหน้าจะมาพร้อมกับปัญหาที่ต้องแก้ไขในชั้นเรียนสัมมนา ปัญหาหลายอย่างมาพร้อมกับคำแนะนำและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด เนื้อหาเพิ่มเติมสำหรับชั้นเรียนสัมมนาสามารถพบได้ในหนังสือปัญหา คู่มือนี้ให้ตัวอย่างงานสำหรับชั้นเรียนภาคปฏิบัติในชั้นเรียนคอมพิวเตอร์ ให้คำแนะนำในการทำงานให้เสร็จสิ้น และอภิปรายประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาโปรแกรมและการนำเสนอผลลัพธ์ งานเพิ่มเติมสามารถรับได้จากสื่อการสอน ส่วนที่สี่ของคู่มือนี้มีการกำหนดหมายเลขย่อหน้าและรูปภาพอย่างต่อเนื่องโดยอิสระ และรายการบรรณานุกรมอิสระ ภายในย่อหน้าสำหรับสูตรและข้อความสั่ง (บทแทรกและทฤษฎีบท) จะใช้การกำหนดหมายเลขดัชนีคู่ เช่น 4.. การอ้างอิงถึงสูตร บทแทรก ทฤษฎีบทจากสามส่วนก่อนหน้าของคู่มือจะได้รับโดยการเพิ่มหมายเลข 1 หรือ 3 ลงใน ข้างหน้า เช่น แทนที่จะเขียน "ตามสูตร (4.) จากคู่มือ" เราเขียน "ตามสูตร (1.4.)" แทนที่จะเขียน "ตามทฤษฎีบท 8.3 จากคู่มือ" "ตามทฤษฎีบท 8.3" ผู้เขียนแสดงความขอบคุณอย่างสุดซึ้งต่อผู้วิจารณ์ Alexander Stepanovich Lebedev สำหรับคำแนะนำอันมีค่าและความคิดเห็นเชิงวิพากษ์วิจารณ์ที่มีส่วนช่วยปรับปรุงหนังสือเรียนเล่มนี้ 4

6 1. แบบแผนสำหรับสมการการขนส่งเชิงเส้น 1.1. ข้อมูลบางส่วนจากทฤษฎีระบบไฮเปอร์โบลิก พิจารณาปัญหาคอชีสำหรับระบบเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง u t + A u = f(x, t)< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t >0) ในทิศทางของเวลาที่ลดลง t จะตัดแกนวัวที่ m จุดต่างๆ ให้เราเรียงลำดับค่าลักษณะเฉพาะของระบบไฮเปอร์โบลิก (1.1) (แลมบ์ดา 1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 ส่วน ดังนั้น หากข้อมูลเริ่มต้นนอกกลุ่มถูกเปลี่ยนเป็นข้อมูลอื่น คำตอบที่จุด (x, t) จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนิยาม. พื้นที่อิทธิพลของจุด (x 0, 0) คือเซตของจุด (x, t) ของระนาบครึ่งบนซึ่งถูกจำกัดด้วยคุณลักษณะสุดขั้วของระบบ (1.1) ที่เกิดจาก (x 0, 0) นั่นคือลักษณะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แลม 1 และ แลมม พื้นที่อิทธิพลของจุด (x 0, 0) จะแสดงในรูป 1,ข. หากข้อมูลเริ่มต้นมีการเปลี่ยนแปลงเฉพาะที่จุด (x 0, 0) ดังนั้นคำตอบของระบบไฮเปอร์โบลิกจะเปลี่ยนเฉพาะที่จุด (x, t) ที่เป็นของพื้นที่อิทธิพลของจุด (x 0, 0) ตอนนี้เราสมมติว่าแทนที่จะเป็นปัญหา Cauchy (1.1) เราจำเป็นต้องแก้ปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นในช่วงเวลา จากนั้นนอกเหนือจากเงื่อนไขเริ่มต้นแล้วยังจำเป็นต้องระบุเงื่อนไขขอบเขตด้วย จำนวนเงื่อนไขขอบเขตในแต่ละขอบเขตถูกกำหนดโดยจำนวนคุณลักษณะที่รวมอยู่ในโดเมน ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณลักษณะ m 0 เข้าสู่โดเมนผ่านขอบเขตด้านซ้าย x = 0 เช่น ค่าลักษณะเฉพาะ m 0 ​​แลม k เป็นบวกที่ x = 0 ดังนั้น จะต้องระบุเงื่อนไขขอบเขต m 0 บนขอบเขตนี้ หากที่ขอบเขต x = l จำนวนค่าลักษณะเฉพาะเชิงลบเท่ากับ ml และดังนั้นคุณสมบัติ ml ที่แน่นอนจะเข้าสู่โดเมนผ่านขอบเขตด้านขวาจากนั้นที่ขอบเขตนี้จำเป็นต้องระบุเงื่อนไขขอบเขตของ ml เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะขึ้นอยู่กับเวลา จำนวนเงื่อนไขขอบเขตในแต่ละขอบเขตจึงสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลา t dx dt = m แลมแลม (x,t) dx dt = แลมบ์ดา 1 t dx dt =แลบ 1 dx dt = m แลมแล x l a x r x (x 0,0) b x 1. ลักษณะของระบบสมการ (1.1) จำกัด พื้นที่การพึ่งพาของจุด (x, t) (a) และอิทธิพลของจุด (x 0, 0) (b) 6

8 ให้เราพิจารณาระบบสมการไฮเปอร์โบลิกเอกพันธ์ (1.1) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ สำหรับเมทริกซ์ค่าคงที่ A ค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของมันจะคงที่นั่นคือไม่ได้ขึ้นอยู่กับ x และ t ให้ l k เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้าย k ของเมทริกซ์ A ซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะของมัน แล k: l k A = แลม k l k (k = 1,..., m) ให้เราคูณระบบ (1.1) ทางด้านซ้ายด้วยเวกเตอร์ l k: หรือโดยที่ l k u t + l ka u x = 0 สมการนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้: l k u t + lad k l k u x s ​​​​k t + lad s k x = 0, = 0 , (1.3) sk = ล คู , k = 1,... ม. (1.4) ผลเฉลย sk (x, t) ของสมการ (1.3) ถ่ายโอนไปตามลักษณะเฉพาะโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง จึงคำนวณหา t > 0 จากค่าเริ่มต้น sk ณ จุดตัดกันของลักษณะเฉพาะ k กับ Ox แกน: sk (x, t) = sk ( x แลม k t, 0) (1.5) ฟังก์ชัน sk เรียกว่าค่าคงที่ของรีมันน์ 1.. แบบจำลองเชิงเส้นของน้ำตื้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดซึ่งเป็นไปได้ที่จะอธิบายการเคลื่อนที่ของของเหลวที่มีคลื่นพื้นผิวได้คือแบบจำลองเชิงเส้นของน้ำตื้น: η t + u 0 = 0, (1.6) x u t + g η = 0, (1.7) x η (x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), (1.8) โดยที่ η(x, t) ระดับความสูงของพื้นผิวของเหลวเหนือระดับที่ไม่ถูกรบกวน (ดูรูป) u (x, t) ความเร็วของของเหลว , η 0 (x) และ u 0 (x) ระดับความสูงและความเร็วที่ช่วงเวลาเริ่มต้น t = 0, 0 = ความลึกของสระ const, g = ความเร่งของแรงโน้มถ่วงแบบ const 7

9 ระบบสมการ (1.6), (1.7) สามารถเขียนได้ในรูปของระบบเอกพันธ์ (1.1) โดยมีเมทริกซ์ A และเวกเตอร์ของสารละลาย u: A = (0 0 g 0) (η, u = u) (1.9) เมทริกซ์ A มีค่าลักษณะเฉพาะจริงที่แตกต่างกันสองค่า แล 1 = c 0, แล = c 0 = g 0, (1.10) ดังนั้น ระบบสมการ (1.6), (1.7) จึงเป็นระบบไฮเปอร์โบลิก สมการคุณลักษณะ (1.) มีรูปแบบดังนี้ dx dt = c 0, dx dt = c 0, (1.11) ดังนั้น คุณลักษณะจึงเป็นเส้นตรง ลักษณะที่ผ่านจุด (x, t), t > 0, ตัดแกน Ox ที่จุด x l และ x r โดยที่ x l = x c 0 t, x r = x + c 0 t (1.1) เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายของเมทริกซ์ A ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ (1.10) กำหนดโดยสูตร l 1 = (c 0, 0), l = (c 0, 0) (1.13) y 0 η y= (x,t) l x y=- 0 ภาพที่.. สัญลักษณ์ในปัญหาการแพร่กระจายคลื่นและการเปลี่ยนแปลงในสระที่มีผนังแนวตั้ง ตาม (1.4) ความเชื่อมโยงระหว่างค่าคงที่รีมันน์ r = s 1, s = s และตัวแปรตามเริ่มต้นถูกกำหนดโดยสูตร r = c 0 η 0 u, s = c 0 η + 0 u, (1.14) 8

10 โดยที่η = r + s c 0, u = s r 0 (1.15) จากสูตร (1.5) โดยคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของบัญชี (1.14) เราได้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาคอชี่ในค่าคงที่ r(x, t) = r( x แล 1 t, 0) = r(x + c 0 t, 0) = c 0 η 0 (x r) 0 u 0 (x r), (1.16) s(x, t) = s(x แล ​​t, 0 ) = s(x c 0 t, 0) = c 0 η 0 (x l) + 0 u 0 (x l) (1.17) และสุดท้ายเมื่อใช้ความสัมพันธ์ (1.15) เราจะได้คำตอบที่แน่นอนของปัญหาคอชี (1.6), (1.7), (1.8) η(x, t) = η 0(x l) + η 0 (x r) + 0 u0( x l) u 0 (x r), c 0 u(x, t) = u 0(x l) + u 0 (x r) + c 0 η0(x l) η 0 (x r) 0 (1.18) เมื่อแก้ไขปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นที่กำลังพิจารณา จำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไขหนึ่งข้อที่ปลายแต่ละด้านของเซ็กเมนต์ ตัวอย่างเช่น สมมติว่าผนังสระน้ำไม่สามารถให้ของเหลวซึมผ่านได้ ซึ่งหมายความว่าความเร็วของของเหลวที่อยู่บนผนังเหล่านี้เป็นศูนย์: u(0, t) = u(l, t) = 0 (1.19 ) ขอให้เราให้สูตรทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายของปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของของไหลที่มีคลื่นพื้นผิวในแอ่งที่มีขอบเขต: ค้นหาคำตอบที่ต่อเนื่องในโดเมนปิด D = วิธีแก้ปัญหา η(x, t), u(x, t) ของ ปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นต่อไปนี้ η t + u 0 x = 0, u t + g η = 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

11 ในกรณีนี้ สมการสำหรับค่าคงที่รีมันน์เป็นอิสระจากกัน และแต่ละสมการจะมีรูปแบบ u t + au x = 0, a = const (1.1) สมการนี้เป็นสมการไฮเพอร์โบลิกที่ง่ายที่สุด และเรียกว่าสมการการขนส่งเชิงเส้น เมื่อใช้สมการนี้ คุณจะศึกษาคุณสมบัติของแผนผลต่างที่ใช้ในการแก้ระบบสมการไฮเปอร์โบลิกได้ พิจารณาสมการการขนส่งเชิงเส้น (1.1) ปัญหาคอชี u t + au x = 0< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a >0 และในทางกลับกัน) สำหรับสมการการขนส่งที่มีค่าสัมประสิทธิ์ a คงที่ เป็นเรื่องง่ายที่จะเขียนคำตอบที่แน่นอนสำหรับปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น สมมุติว่า a = const > 0 จากนั้นปัญหาขอบเขตเริ่มต้นต่อไปนี้ u t + au x = 0, 0 จะถูกต้อง< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 เริ่มจากโครงร่างที่ชัดเจนซึ่งมีความแตกต่างต้นน้ำ (โครงร่างต้นน้ำ) สำหรับปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้น u t + au x = f(x, t), 0< x l, 0 < t T, a = const >0, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0) (1.7) ตลอดช่วงต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะกริดแบบเดียวกันที่ครอบคลุมพื้นที่ปิด D = ให้เราสร้างรูปแบบความแตกต่างต่อไปนี้ u n + a un un 1 = f n, = 1,..., N, u n 0 = µ n 0, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x) , = 0 ,..., N, (1.8) ปัญหาโดยประมาณ (1.7) ด้วยลำดับ O(+) เช่นเคย โครงการนี้สามารถเขียนในรูปแบบตัวดำเนินการ L u = f รูปแบบการไหลทวนของชื่อนั้นเกิดจากการที่ถ้าเราพิจารณาสมการการขนส่งเป็นสมการแบบจำลองสำหรับระบบสมการที่อธิบายการไหลของของเหลวหรือก๊าซและเราระบุค่าสัมประสิทธิ์ a ด้วยความเร็วของของไหล จากนั้นที่ความเร็วบวก เช่น สำหรับ a > 0 ในโครงการอนุพันธ์ส่วนต่างที่เหลือจะถูกใช้โดยใช้โหนด x 1 ที่ตั้งอยู่ต้นน้ำ (ตั้งอยู่ต้นน้ำ) ให้เราแนะนำบรรทัดฐานที่สม่ำเสมอในปริภูมิของฟังก์ชันกริด U และปริภูมิด้านขวามือ F: โดยที่ f F (= สูงสุด u U สูงสุด n u n C = สูงสุด 0 N un, = สูงสุด n un C, (1.9)) µn 0, ​​(u 0) C, สูงสุด f n C, (1.30) f n C = สูงสุด 1 N f n บรรทัดฐานสม่ำเสมอบนเลเยอร์ t = t n โดยใช้หลักการสูงสุด เราสามารถพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ได้ ทฤษฎีบท 1.1 ความพอใจตามเงื่อนไข a 1 (1.31) 11

13 เพียงพอสำหรับเสถียรภาพของรูปแบบการไหลทวน (1.8) ในอัตราที่สม่ำเสมอ การพิสูจน์. ให้ x เป็นโหนดกริดที่มีหมายเลข 1 N ขอให้เราเขียนสมการผลต่างของวงจรที่โหนดนี้ = (1 r)u n + r n 1 + f n โดยที่ r = a/ จากเงื่อนไขของทฤษฎีบทเป็นไปตามนั้น 1 r 0 ดังนั้นการประมาณค่าต่อไปนี้จะถูกต้อง (1 r) u n +r u n 1 + f n (1 r) u n C +r u n C + f n C u n C + สูงสุด m f m C ที่ โหนดขอบเขตเรามีค่าประมาณต่อไปนี้ 0 = µ n+1 0 สูงสุด m µm 0 ดังนั้น ค่าสูงสุดของด้านซ้ายของอสมการเหล่านี้จะต้องไม่เกินค่าสูงสุดของตัวเลขสองตัวทางด้านขวาของอสมการเหล่านี้: (C max สูงสุด m) µm 0, u n C + สูงสุด f m m C และนี่คือหลักการสูงสุด เราพบว่าภายใต้เงื่อนไข (1.31) แบบแผน (1.8) เป็นไปตามหลักการสูงสุด ดังนั้น (ดูทฤษฎีบท 3.1.1) มันจะเสถียรในบรรทัดฐานสม่ำเสมอโดยคำนึงถึงข้อมูลตั้งต้น เงื่อนไขขอบเขต และทางด้านขวามือ เงื่อนไขเดียวกัน (1.31) ยังเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเสถียรของโครงร่าง (1.8) ซึ่งตามมาจากเกณฑ์ความเสถียรของสเปกตรัมของนอยมันน์ มาพิสูจน์กัน ลองหาฮาร์มอนิก u n = แลมบ์ n e iφ (1.3) แล้วแทนที่มันลงในสมการผลต่างเอกพันธ์ ด้วยเหตุนี้ สำหรับปัจจัยการเปลี่ยนแปลง เราได้สมการ ดังนั้น แล = 1 r (1 e iφ) = 1 r(1 cos φ) ir sin φ แล = 1 r(1 cos φ) + r (1 cos φ) + r บาป φ = 1

14 = 1 r(1 cos φ) [ r(1 cos φ) r(1 + cos φ)] = 1 r(1 cos φ)(1 r) ให้ขั้นตอนต่างๆ ในแผนภาพ (1.8) เชื่อมโยงกันตามกฎแห่งการผ่านไปยังขีดจำกัด r = a = const (1.33) จากนั้นค่าลักษณะเฉพาะ γ (φ) จะไม่ขึ้นอยู่กับ ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเสถียรของนอยมันน์จึงลดลงตามข้อกำหนดหรือ γ (φ) 1, φ R. (1.34) r(1 cos φ)(1 r) 0, φ R (1.35) แน่นอนว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้เทียบเท่ากับเงื่อนไข (1.31) สำหรับ a > 0 ดังนั้น เงื่อนไข (1.31) สำหรับ > 0 จึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเสถียรภาพของโครงการทวนลมในบรรทัดฐานเดียวกัน โปรดทราบว่าสำหรับก< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a >0 โครงการ (1.37) จะไม่เสถียรอย่างแน่นอน (ดูปัญหาที่ 1) 13

15 ดังนั้น เราได้สร้างโครงร่างที่ชัดเจนที่มีเงื่อนไขและเสถียรสองแผนโดยมีความแตกต่างต้นทางสำหรับสมการการขนส่งที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ a u n u n + a un un 1 + a un +1 un พวกมันเสถียรภายใต้ความไม่เท่าเทียมกัน = f n ถ้า a > 0, = f n ถ้าก< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) >0, ก(ล, ที)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 โดยใช้หลักการสูงสุด สามารถพิสูจน์ได้ (ดูปัญหา 1.10) ว่าเพื่อความเสถียรของรูปแบบลมเหนือ (1.41) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์แปรผัน a(x, t) ก็เพียงพอที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขสูงสุด a(x, t) 1. (1.44) x,เสื้อ 1.5 . โครงการหละหลวม. นอกจากนี้ เพื่อความง่ายในการนำเสนอ เราจะพิจารณาปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้น (1.7) ด้วยสมการการขนส่งที่เป็นเนื้อเดียวกัน u t + au x = 0 (1.45) ในโครงการ Lax จะมีการเขียนสมการผลต่างประมาณสมการการขนส่ง (1.45) ดังที่ 0. 5 (u n +1 + ) un 1 + a un +1 un 1 = 0, = 1,..., N 1 (1.46) สำหรับข้อผิดพลาดในการประมาณเฉพาะที่ เรามีนิพจน์ ψ n, = u tt u xx +... ดังนั้นสำหรับ = O( ) โครงการ Lax จะไม่ประมาณสมการการขนส่ง แต่ตามกฎของการผ่านไปจนถึงขีดจำกัด r = a = const (1.47) มันจะประมาณด้วยลำดับ O(+) ดังนั้นการประมาณจะเกิดขึ้นเฉพาะกับการเชื่อมต่อบางอย่างระหว่างขั้นตอนต่างๆ และนั่นคือ โครงการ Lax อยู่ในคลาสของโครงร่างการประมาณแบบมีเงื่อนไข สำหรับทรานซิชันแฟคเตอร์ เราได้สูตร แล(φ) = cos φ ir sin φ ดังนั้นภายใต้กฎแห่งการผ่านไปสู่ขีดจำกัด (1.47) เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความมั่นคงของโครงการ Lax คือการตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน r 1 เช่น a 1 (1.48) 15

17 1.6. แผนการของแลกซ์ เวนดรอฟฟ์ สมการผลต่างของโครงร่างนี้มีลักษณะดังนี้: u +1/ 0, 5 (u n +1 +) un + a un +1 un = 0, / u n + a u +1/ (1.49) u 1/ = 0 โครงการ Lax Wendroff หมายถึงกลุ่มของโครงการสองขั้นตอน ในโครงการนี้ ขั้นแรก ที่โหนดครึ่งจำนวนเต็ม x +1/ = x +/ ปริมาณเสริม u +1/ ที่เกี่ยวข้องกับโมเมนต์เวลา t n + / คำนวณโดยใช้โครงการ Lax จากนั้นในขั้นตอนที่สอง ค่าของฟังก์ชันกริดที่ต้องการจะถูกคำนวณที่ชั้นเวลา (n + 1) เพื่อศึกษาการประมาณและความเสถียรของแผนสองขั้นตอน ปริมาณเสริม u จะถูกแยกออกจากโครงการก่อน จากผลลัพธ์ของการกำจัด เราได้โครงร่าง Lax Wendroff ขั้นตอนเดียว u n + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.50) ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ง่ายว่าประมาณสมการการขนส่ง (1.45) ) ด้วยลำดับที่สองในตัวคุณ สำหรับปัจจัยการเปลี่ยนแปลง เรามีนิพจน์ต่อไปนี้: แล = 1 ir sin φ r sin φ ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเสถียรของ แล 1 จะเทียบเท่ากับการเติมเต็มของความไม่เท่าเทียมกัน (1 r บาป φ) + r บาป φ 1 หรือ 1 4r บาป φ + 4r4 บาป 4 φ + 4r บาป φ (1 บาป φ ) 1. อสมการสุดท้ายเทียบเท่ากับเงื่อนไข r 1 ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเสถียรภาพของโครงการ Lax Wendroff จึงเกิดขึ้นพร้อมกับเงื่อนไขที่จำเป็น (1.48) เพื่อความมั่นคงของโครงการ Lax การกระจายและการกระจายตัว พร้อมกับสมการการขนส่ง u t + au x = 0, a = const (1.51) 16

18 พิจารณาอีกสองสมการ u t + au x = µu xx, µ = const > 0, (1.5) u t + au x + νu xxx = 0, ν = const (1.53) ให้ฟังก์ชันเริ่มต้นในปัญหาคอชีของสมการเหล่านี้แทนอนุกรมฟูริเยร์ u(x, 0) = m b me imx (1.54) เราจะหาคำตอบของแต่ละสมการโดยวิธีแยกตัวแปร u(x, t) = b m λ t e imx = b m u m (x, t), (1.55) m m โดยที่ u m (x, t ) เป็นฮาร์มอนิกที่มีเลขคลื่น m u m (x , t) = แลมบ์ที อี imx, (1.56) แลมบ์ จะได้รับการพิจารณา ส่วนจริงและจินตภาพของฮาร์มอนิกคือคลื่น m ซึ่งความยาว l ซึ่งสัมพันธ์กับเลขคลื่นตามสูตร l = π m (1.57) เนื่องจากสมการ (1.51) (1.53) เป็นแบบเชิงเส้น จึงสามารถพิจารณาพฤติกรรมของฮาร์โมนิคแต่ละตัวได้อย่างอิสระ เมื่อแทนฮาร์มอนิกด้วยเลขคลื่น m ลงในสมการการขนส่ง (1.51) เราจะได้ ln(แลมบ์) + จุดมุ่งหมาย = 0 แลม = e จุดมุ่งหมาย ดังนั้น หากฮาร์มอนิก (1.56) เป็นคำตอบของสมการการขนส่ง มันก็จะมีรูปแบบที่แสดงถึง ξ = x at เราจะได้ u m (x, t) = e im(x at) (1.58) u m (x, t) = e imξ = u m (ξ, 0) (1.59) 17

19 ดังนั้น ณ เวลาใดๆ t > 0 ฮาร์มอนิก um จะได้มาโดยการเลื่อนฮาร์มอนิกเริ่มต้นด้วยจำนวนที่ ดังนั้น สมการการขนส่งจึงอธิบายการเคลื่อนที่ของคลื่น m ซึ่งไม่ว่าจะมีความยาวเท่าใด คลื่นจะแพร่กระจายด้วยความเร็วคงที่ v m = a โดยไม่บิดเบือนรูปร่าง ง่ายต่อการตรวจสอบว่าฮาร์มอนิก (1.56) จะเป็นคำตอบของสมการที่สอง (1.5) ถ้า ln(แล) + จุดมุ่งหมาย = µm หรือ แล = อี จุดมุ่งหมาย อี µm เช่น ฮาร์มอนิกในกรณีนี้มีรูปแบบ ยู ม ( x, t) = e µmt e im(x at) ด้วยเหตุนี้ สำหรับฮาร์โมนิคทั้งหมด แอมพลิจูดของคลื่นจึงลดทอนลง (การกระจายคลื่น) เนื่องจาก m = π/l คลื่นสั้นจะสลายตัวเร็วกว่าคลื่นยาว ความเร็ว v m ของการแพร่กระจายคลื่นไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นแต่ยังคงเท่ากับ a คำว่า µu xx ที่มีอนุพันธ์อันดับสองของสารละลายมีหน้าที่ในการกระจายคลื่น ท้ายที่สุด การแทนที่ฮาร์มอนิกเป็นสมการ (1.53) จะได้ ln(แล) + จุดเล็ง + ν(im) 3 = 0 หรือจากที่เราได้รับว่า แล = e im(a νm), u m (x, t) = e im (x ( a νm)t) ดังนั้น สมการที่สามอธิบายการเคลื่อนที่ของคลื่นโดยไม่เปลี่ยนแอมพลิจูด (โดยไม่กระจาย) แต่ความเร็วของการแพร่กระจายขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น v m = a νm (1.60) จากสูตรนี้ เห็นได้ชัดว่าคลื่นที่มีความยาวต่างกันแพร่กระจายด้วยความเร็วที่ต่างกัน (คลื่นกระจาย) ความเร็วของการแพร่กระจายของการรบกวนคลื่นสั้น (m ขนาดใหญ่) มีการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญมากขึ้น คำว่า νu xxx ที่มีอนุพันธ์อันดับสามของสารละลายมีหน้าที่รับผิดชอบในการกระจายตัวของคลื่น 18

เมื่อพิจารณาถึงพฤติกรรมของฮาร์โมนิคแต่ละตัวแล้ว ตอนนี้เราสามารถทำนายพฤติกรรมเชิงคุณภาพของคำตอบ (1.55) ของปัญหาคอชีสำหรับสมการเหล่านี้ได้ ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ฟังก์ชันเริ่มต้น u(x, 0) มีรูปแบบของขั้นตอน ( 1, x 0, u(x, 0) = (1.61) 0, x > 0 และ a > 0 การขยายตัวของ a ฟังก์ชันในอนุกรมฟูริเยร์ (1.54) จะมีฮาร์โมนิคทั้งชุด คำตอบของปัญหา Cauchy สำหรับสมการการขนส่ง (1.51) แสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้: u(x, t) = m b me im(x at) = m b me imξ = u(ξ, 0), (1.6) กล่าวคือ วิธีแก้ปัญหาคือโปรไฟล์เริ่มต้นเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว a วิธีแก้ไข u(x, t) = m b me µmt e im(x at) = m b me µmt e imξ (1.63) ของปัญหาคอชีสำหรับสมการ (1.5) ที่มีเทอมกระจายซึ่งคลื่นสั้นสลายตัวอย่างรุนแรงจะมีลักษณะเป็นขั้นละเลง สุดท้าย จะได้คำตอบ u(x, t) = m b m e im(x (a νm)t) (1.64) ของปัญหา Cauchy สำหรับสมการ (1.53) ซึ่งคลื่นที่มีความยาวต่างกันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่างกันมีลักษณะการสั่นแบบไม่ซ้ำซาก ตามสูตร (1.60) สำหรับ ν > 0 คลื่นของ ความยาวสั้นจะมีความเร็วต่ำกว่าคลื่นที่มีความยาวและสำหรับ ν< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν >0 และเดินหน้าต่อไปที่ ν< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x >x 0 19

21 และดำเนินการคำนวณโดยใช้รูปแบบการไหลทวนที่ชัดเจน u n + a un un 1 = 0, a = const > 0 (1.66) ด้วยเหตุนี้เราจึงได้วิธีแก้ปัญหาในรูปแบบของขั้นตอนการทา (รูปที่ 3) ) กล่าวคือ การแก้ปัญหาจะมีคุณภาพเหมือนกับ และคำตอบของสมการ (1.5) ด้วยเทอมการกระจาย เกิดอะไรขึ้น? ท้ายที่สุดแล้ว เราต้องการแก้สมการการขนส่ง ซึ่งไม่มีคำศัพท์กระจาย ประเด็นก็คือ เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข ไม่ใช่สมการการขนส่ง แต่เป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับแผนงานที่แตกต่างกัน ดังนั้นคุณสมบัติของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณและสมการผลต่างโดยประมาณอาจไม่ตรงกัน แล้วเราจะทำนายคุณสมบัติของคำตอบของสมการผลต่างได้อย่างไร? ใช่ x 30 รูป 3. กราฟของผลเฉลยที่แน่นอน (เส้นประ) และผลเฉลยเชิงตัวเลข (เส้นทึบ) ที่ได้จากการใช้รูปแบบลมเหนือ (1.66) ณ เวลา t = 1 (1) เสื้อ = 8(); เสื้อ = 15 (3) ก = 1; x0 = 10; a/ = 0.5 ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้วิธีการประมาณค่าอนุพันธ์ ซึ่งเราจะแนะนำสั้นๆ ในตอนนี้ สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแทนที่สมการผลต่างเดิมด้วยสมการเชิงอนุพันธ์พิเศษที่มีคุณสมบัติทั้งหมดของสมการผลต่างที่กำลังศึกษาอยู่ ดังนั้น แทนที่จะศึกษาสมการผลต่าง เราจึงศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์นี้ ซึ่งในหลายกรณีทำได้ง่ายกว่ามาก การได้รับสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการผลต่างเริ่มต้นโดยการเขียนสมการผลต่างนี้ในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่าแผนผลต่างทางทฤษฎี ซึ่งตัวดำเนินการผลต่างทำหน้าที่ในพื้นที่ฟังก์ชันเดียวกันกับตัวดำเนินการผลต่างที่พวกมันประมาณ ตัวอย่างเช่น สมการผลต่าง (1.66) เขียนเป็นผลต่างทางทฤษฎีต่อไปนี้ 0

22 วงจร u(x, t +) u(x, t) u(x, t) u(x, t) + a = 0 (1.67) คำตอบของวงจรดังกล่าวคือฟังก์ชัน u(x, t) ของอาร์กิวเมนต์ต่อเนื่อง x และ t ในขณะที่คำตอบของสมการ (1.66) คือฟังก์ชันกริด u ซึ่งกำหนดไว้ที่โหนดกริดเท่านั้น ปล่อยให้ฟังก์ชันที่ราบรื่นเพียงพอ คุณ(x, t) เป็นวิธีแก้โครงร่างผลต่างทางทฤษฎี (1.67) ลองแทนที่มันลงในแผนภาพนี้แล้วแสดง u(x, t +) และ u(x, t) ผ่านค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันที่จุด (x, t) โดยใช้สูตรเทย์เลอร์ เป็นผลให้เราได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่เทียบเท่ากับรูปแบบผลต่าง (1.67) u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx +... = 0 (1.68) คำจำกัดความ สมการดิฟเฟอเรนเชียลลำดับอนันต์ (1.68) ที่ได้หลังจากขยายคำตอบ u(x, t) ของโครงร่างผลต่างทางทฤษฎี (1.67) โดยใช้สูตรเทย์เลอร์ เรียกว่า การแสดงค่าดิฟเฟอเรนเชียลของโครงร่างผลต่าง (1.66) คุณสมบัติบางอย่างของรูปแบบความแตกต่างสามารถศึกษาได้โดยใช้การแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียล แต่สำหรับวัตถุประสงค์ของเรา การใช้การแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียลรูปแบบอื่นจะสะดวกกว่า ซึ่งเป็นผลมาจากการกำจัดอนุพันธ์ตามเวลาทั้งหมด (1.68) ยกเว้นอนุพันธ์ที่รวมอยู่ในสมการโดยประมาณ (1.51) กล่าวคือ ยกเว้นคุณ เราจะแสดงตัวอย่างวิธีการกำจัดอนุพันธ์ด้านเวลาในแง่ของลำดับและ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการ (1.68) ใหม่โดยคำนึงถึงเงื่อนไขของบัญชีตามลำดับของ O() และ O() u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx = O() (1.69 ) และค้นหาการใช้อนุพันธ์ของสมการผลลัพธ์ u t: u t = au x u tt 6 u ttt + a u xx a 6 u xxx + O() (1.70) เราแทนที่อนุพันธ์นี้ลงในเงื่อนไขของสมการ (1.69) ที่มีอนุพันธ์ (u t) เสื้อ และ (คุณ) tt เมื่อคำนึงถึงลำดับความเล็กของสัมประสิทธิ์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองและสามตามเวลาเราได้รับสิ่งนั้นใน (u t) t 1

23 ก็เพียงพอแล้วที่จะทดแทนอนุพันธ์ (1.70) ซึ่งคำนวณด้วยความแม่นยำ O(+): u t = au x u tt + a u xx + O(+), (1.71) และใน (u t) tt ด้วยความแม่นยำ O(+): คุณ = au x + O(+) (1.7) จากการทดแทนนี้สมการ (1.69) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: u t + au x + (au x u tt + a) u xx + t 6 (au x) tt = = a u xx a 6 u xxx + O() หรือ u t + au x a u tx 4 u ttt + a 4 u txx a 6 u ttx = = a u xx a 6 u xxx + O() (1.73) เมื่อทำการแทนค่าลงในสมการ (1.69) แล้ว เราก็ดำเนินการคล้ายกับสมการ (1.73) ตอนนี้เราจำเป็นต้องแทนที่อนุพันธ์ u t ซึ่งกำหนดจากสมการ (1.73) ลงในเงื่อนไขทั้งสี่ของสมการเดียวกัน: u t + au x a (au x + a u tx + a u xx) x 4 (au x) tt + + a 4 (au x) xx a 6 (au x) tx = a u xx a 6 u xxx + O() หลังจากนำสมการที่คล้ายกันมา เราจะได้สมการ u t + au x a 1 u txx + a 4 u ttx = = a (a) (1 r) u xx + a u xxx + O(), 6 (1.74) ซึ่งตรงกันข้าม ถึง (1.69) ไม่มีอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับเวลา อนุพันธ์แบบผสมที่เหลือ u txx และ u ttx ใน (1.74) คำนวณจากความเท่าเทียมกัน (1.7): u txx = au xxx + O(+), u ttx = a u xxx + O(+) (1.75)

24 ดังนั้น การแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียล (1.74) จึงมีรูปแบบ u t + au x = a (1 r)u xx a 6 (r 3r + 1)u xxx + O() (1.76) ดังนั้นเราจึงกำจัดอนุพันธ์ของเวลาที่ยกกำลังและออกไป แต่อนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับ t ยังคงมีกำลังสูงกว่าทางด้านขวาของ O() หากเราดำเนินการตามขั้นตอนที่อธิบายต่อไปต่อไป ในการเป็นตัวแทน (1.68) เราสามารถลบอนุพันธ์ของเวลาออกไปในลำดับที่สูงตามอำเภอใจ เป็นผลให้เราได้รับการแทนค่าของวงจรในรูปแบบหรือ u t + au x = a (1 r)u xx + a 6 (1 r)(r 1)u xxx +... (1.77) u t + au x = k= c k k u x k . (1.78) คำจำกัดความ สมการลำดับอนันต์ (1.78) เรียกว่ารูปแบบ P ของการแสดงส่วนต่างของโครงร่างผลต่าง ปล่อยให้โครงร่างผลต่างมีลำดับประมาณ γ 1 และ γ ใน และตามลำดับ คำนิยาม. สมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้จากรูปแบบ P ของการแทนค่าเชิงอนุพันธ์โดยละทิ้งเงื่อนไขของลำดับ O(γ1+1, γ+1) และสูงกว่า เรียกว่าการประมาณค่าเชิงอนุพันธ์ครั้งแรก (f.d.a.) ของโครงร่างผลต่าง สำหรับรูปแบบลมเหนือ (1.66) p.d.p. คือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง u t + au x = µu xx, µ = a (1 r), (1.79) ซึ่งตามที่เราเห็นเกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (1.5) กับ a ระยะกระจาย ดังนั้น สำหรับ r 1 โครงร่างของเราจะแนะนำความหนืด (การกระจาย) โดยปริยายในสมการการขนส่งโดยประมาณ ซึ่งเรียกว่าการประมาณหรือความหนืดของโครงร่าง การมีความหนืดโดยประมาณจะนำไปสู่การละเลงของขั้นตอนแรก คำนิยาม. คุณสมบัติของรูปแบบความแตกต่างเนื่องจากการมีอยู่ของอนุพันธ์ของลำดับคู่ใน d.d.p. เรียกว่าการกระจายเชิงตัวเลข 3

25 รูป P ของการแสดงค่าดิฟเฟอเรนเชียลของโครงการผลต่าง Lax Wendroff มีรูปแบบ u t + au x = a 6 (1 r)u xxx a3 8 r(1 r)u xxxx +..., และ p.d.p. u t + au x + νu xxx = 0, ν = a 6 (1 r) (1.80) เกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (1.53) ที่มีเทอมการกระจาย ดังนั้น สำหรับ r 1 โครงการ Lax-Wendroff แนะนำการกระจายตัวในสมการการขนส่งโดยประมาณโดยปริยาย ดังนั้นคำตอบของรูปแบบความแตกต่างสามารถแกว่งได้ (รูปที่ 4) y รูป 4. กราฟของผลเฉลยที่แน่นอน (เส้นประ) และผลเฉลยเชิงตัวเลข (เส้นทึบ) ที่ได้จากการใช้โครงการ Lax Wendroff ณ เวลา t = 1 (1) เสื้อ = 8(); เสื้อ = 15 (3) ก = 1; x0 = 10; a/ = 0.5 คำจำกัดความ คุณสมบัติของรูปแบบผลต่างเนื่องจากการมีอยู่ของอนุพันธ์ลำดับคี่ใน d.d.p. เรียกว่าการกระจายตัวเชิงตัวเลข ให้เราสรุปเหตุผลของเรา สำหรับปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่แปรผันอย่างราบรื่น ซึ่งการมีส่วนร่วมของฮาร์โมนิกความถี่สูงมีน้อย ความแม่นยำของโครงร่าง Lax Wendroff จะสูงกว่าความแม่นยำของโครงร่างลมเหนือ หากเราแก้ปัญหาเชิงตัวเลขโดยที่โซลูชันมีโปรไฟล์โมโนโทนิกที่เปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว ดังนั้นการใช้รูปแบบทิศทางลมลำดับที่หนึ่งจะให้โปรไฟล์ที่ไม่สั่นไหวแบบโมโนโทนิก แต่มีความราบรื่นสูง นี่คือผลลัพธ์ของการกระจายเชิงตัวเลข โครงการ Lax Wendroff ซึ่งมีการกระจายตัวของตัวเลข สามารถให้โปรไฟล์แบบ nonmonotonic ของสารละลายเชิงตัวเลขในบริเวณใกล้กับความไม่ต่อเนื่องหรือการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วในสารละลาย ซึ่งบิดเบี้ยวโดยการสั่นแบบไม่ทางกายภาพ x4

26 งาน 1.1. แสดงว่าสำหรับก< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a >0 ไม่เสถียรอย่างยิ่ง โดยใช้วิธีการสเปกตรัมของนอยมันน์ จะได้เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเสถียรของวงจร "กบกระโดด" สามชั้น (วงจรก้าวข้าม วงจร "กบกระโดด") สำหรับสมการ (1.1) u n 1 + a un + 1 un 1 = 0, n = 1, ..., M 1, = 0, ±1, ±,..., (1.8) ถ้ากฎของการผ่านถึงขีด จำกัด ระบุไว้ในรูปแบบ (1.33) กำหนด ลำดับของการประมาณของโครงร่างที่ชัดเจนโดยมีผลต่างกลาง u n + a un +1 un 1 = 0 , (1.83) สร้างขึ้นสำหรับสมการการขนส่ง (1.1) เมื่อใช้วิธีสเปกตรัมของนอยมันน์ ให้ศึกษาความเสถียรของโครงร่างนี้ หากให้กฎแห่งการผ่านไปยังขีดจำกัดในรูป a = const (1.84) 1.5. กำหนดลำดับของการประมาณโครงร่างหลัก u n + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.85) ที่สร้างขึ้นสำหรับสมการการขนส่ง (1.1) เมื่อใช้วิธีสเปกตรัมของนอยมันน์ ให้ศึกษาความเสถียรของโครงร่างนี้ หากให้กฎแห่งการผ่านไปยังขีดจำกัดไว้ในรูปแบบ (1.84) 5

27 1.6. กำหนดลำดับของการประมาณของโครงการ McCormack คุณ un + a un +1 un = 0, 0, 5 (u +) un / + a คุณ 1 = 0, (1.86) ที่สร้างขึ้นสำหรับสมการการขนส่ง (1.1) เมื่อใช้วิธีสเปกตรัมของนอยมันน์ ให้ศึกษาความเสถียรของโครงร่างนี้ หากกฎการเปลี่ยนผ่านของขีดจำกัดระบุไว้ในรูปแบบ (1.84) จงหาลำดับของการประมาณของโครงร่างเหนือลมด้วยน้ำหนัก u n + σa un (1 σ)a un un 1 = 0, (1.87) สร้างขึ้นสำหรับสมการการขนส่ง ( 1.1) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ a > 0 โดยใช้วิธีการสเปกตรัมของนอยมันน์ จะได้เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเสถียรของโครงร่าง (1.87) หากกำหนดกฎของการส่งผ่านถึงขีด จำกัด ใน แบบฟอร์ม (1.84) ใช้หลักการสูงสุด ศึกษาความเสถียรในบรรทัดฐานสม่ำเสมอของโครงร่างลมเหนือโดยนัย u n + a un+1 1 = f n+1, = 1,..., N, u n 0 = µ n 0 , n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N , (1.88) สร้างไว้สำหรับปัญหา (1.7) ใช้หลักการสูงสุด หาสภาวะความเสถียรที่เพียงพอใน บรรทัดฐานสม่ำเสมอของโครงการทวนลมที่มีน้ำหนัก u n + σa un (1 σ)a un un 1 = f n+1/, u n 0 = µ n 0 , n = 0,..., M, u 0 = u 0( x), = 0,..., N, (1.89) สร้างขึ้นสำหรับปัญหา (1.7) ที่นี่ 0 σ 1.6

28 1.10. ใช้หลักการสูงสุดพิสูจน์ว่าการปฏิบัติตามเงื่อนไข (1.44) เพียงพอสำหรับเสถียรภาพของโครงการลมเหนือ (1.41) โดยมีสัมประสิทธิ์แปรผัน a(x, t) ได้ค่า p.d.p. (1.80) ของโครงการ Lax-Wendroff ค้นหา p.p.p. ของโครงร่างโดยนัย u n + a un+1 1 = 0, (1.90) สร้างขึ้นสำหรับสมการการขนส่ง (1.1) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ a > 0 ให้คำอธิบายเชิงคุณภาพเกี่ยวกับพฤติกรรมของคำตอบของโครงร่างส่วนต่างสำหรับ t > 0 ถ้าในตอนแรก t = 0 ขั้นตอน ( 1.61).. คุณสมบัติ monotonicity ของโครงร่างที่แตกต่างกัน1. ข้อกำหนดหลักประการหนึ่งสำหรับโครงร่างความแตกต่างก็คือ การแก้สมการผลต่างจะต้องถ่ายทอดลักษณะทางพฤติกรรมของการแก้สมการไปยังสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำลังประมาณอยู่ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาคอชีสำหรับสมการการขนส่งเชิงเส้น u t + au x = 0, a = const > 0< x <, t >0, (.1) ยู(x, 0) = ยู 0 (x) (.) ถ้า u 0 (x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น) ของตัวแปร x ดังนั้นสำหรับค่าคงที่ t > 0 ใดๆ วิธีแก้ปัญหา u(x, t) ของปัญหา (.1), (.) จะเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น) ของตัวแปร x สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อใดก็ตามที่ได้รับคำตอบจากสูตร u(x, t) = u 0 (x at) (.3) เป็นเรื่องปกติที่จะต้องให้วิธีแก้ปัญหาสำหรับรูปแบบความแตกต่างโดยประมาณปัญหา (.1), (.) มีคุณสมบัติคล้ายกันเช่นกัน แต่ปรากฎว่ารูปแบบที่แตกต่างกันจำนวนมากละเมิดความซ้ำซากจำเจของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข: แทนที่จะได้รับโปรไฟล์แบบโมโนโทนิกที่คาดหวัง จะได้รับการแก้ปัญหาที่มีการสั่นแบบไม่ทางกายภาพ (รูปที่ 4) สาเหตุของการเกิดขึ้นคือการกระจายตัวเชิงตัวเลขของผลต่าง 7

29 รูปแบบที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า ในส่วนนี้ เราจะนำเสนอเงื่อนไขภายใต้รูปแบบผลต่างที่จะรักษาความซ้ำซากจำเจของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข พิจารณารูปแบบความแตกต่างที่ชัดเจนตามอำเภอใจ = α b α u n +α, (.4) โดยที่ α เป็นจำนวนเต็ม, α = α 1, α 1 + 1,..., α, โหนด x +α กำหนดรูปแบบของโครงร่าง . คำนิยาม. โครงการผลต่าง (.4) เรียกว่าโครงการที่รักษาความน่าเบื่อของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข (รูปแบบโมโนโทนิก) หากแปลงฟังก์ชันเสียงเดียวใด ๆ n ให้เป็นฟังก์ชันที่เป็นเสียงเดียวในชั้นเวลา (n + 1) และเหมือนกัน ทิศทางการเติบโต ตัวอย่าง.1. ขอให้เราประมาณสมการ (.1) บนตารางสม่ำเสมอตามรูปแบบลมเหนือ u n + a un un 1 = 0 (.5) รูปแบบนี้มีลำดับแรกของการประมาณใน u ปล่อยให้ฟังก์ชันกริด u n บนชั้นเวลาที่ n เป็นแบบโมโนโทนิก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก เช่น u n un 1 สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดเอง ในกรณีนี้ หากสภาวะความเสถียรของวงจรเป็นที่น่าพอใจ ซึ่งมีรูปแบบ aæ 1 โดยที่ æ = / เราจะได้ 1 = (u n aæ(u n u n 1)) (u n 1 aæ(u n 1 u n)) = = (1 aæ) (u n u n 1) + aæ(u n 1 u n) 0 ดังนั้น สารละลายจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากในชั้นที่ (n + 1) ดังนั้นโครงการทวนกระแส (มีการกระจายที่aæ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

30 ดังนั้นฟังก์ชันกริดเริ่มต้น ( u 0 1, ที่ 0, = u 0 (x) = 0, ที่ > 0 จะลดลงอย่างน่าเบื่อ ให้เราเขียนโครงร่างใหม่ภายใต้การพิจารณาในรูปแบบของโครงร่างขั้นตอนเดียว (1.50) แล้วอยู่ในรูปของแผนภาพ (.4) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ b 1 = a æ + aæ, b 0 = 1 a æ, b 1 = a æ aæ (.6) จึงง่ายที่จะตรวจสอบได้ว่าบน ครั้งแรกที่เลเยอร์ความเท่าเทียมกันที่ 1 เก็บไว้ สำหรับ 1, u 1 b = 1 + b 0, ที่ = 0, b 1, ที่ = 1, 0, ที่ At aæ< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 >1 เช่น ฟังก์ชั่นกริด u 1 ไม่ได้ลดลงแบบซ้ำซากจำเจ ความน่าเบื่อหน่ายของโครงร่างสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่สามารถศึกษาได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท.1. เพื่อให้รูปแบบผลต่าง (.4) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ b α เพื่อรักษาความซ้ำซ้อน จำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไข b α 0 จะเป็นที่น่าพอใจสำหรับ α ทั้งหมด (.7) หลักฐาน ความจำเป็น. สมมติว่าโครงร่าง (.4) ยังคงรักษาความซ้ำซากจำเจ แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ลบ b α0< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

31 กล่าวคือ ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ และดังนั้น แบบแผน (.4) จึงไม่รักษาความซ้ำซากจำเจ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานดั้งเดิม ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกันพิสูจน์ได้ว่าสัมประสิทธิ์ b α ทั้งหมดไม่เป็นลบ ความเพียงพอ ให้ b α 0 และ u n เป็นฟังก์ชันโมโนโทน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน จากนั้น 1 = α b α u n +α α b α u n 1+α = = α b α (u n +α u n 1+α) 0 กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจด้วย ดังนั้นโครงการ (.4) จึงรักษาความซ้ำซากจำเจ ให้เรากลับมาที่ตัวอย่างที่ 1 และ. อีกครั้ง และตอนนี้เราจะไม่ถือว่า a > 0 รูปแบบลมสำหรับสมการ (.1) ที่มีเครื่องหมายใดๆ ของสัมประสิทธิ์ a มีลักษณะดังนี้: โดยที่ คุณ n เราเขียนมันใหม่ในรูปแบบ (.4) + a + un un 1 a + = a + a + a un +1 un, a = a a = 0, (.9) โดยที่ = b 1 u n 1 + b 0 u n + b 1 u n +1, (.10) b 1 = æa +, b 0 = 1 æ a, b 1 = æa หากเป็นไปตามเงื่อนไขเสถียรภาพ a æ 1 (.11) สัมประสิทธิ์ทั้งหมดนี้ไม่เป็นลบ นอกจากนี้ยังมีค่าคงที่ ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 รูปแบบลมเหนือ (.9) จะคงความซ้ำซากจำเจของสารละลายไว้ภายใต้เงื่อนไข (.11) โครงการ Lax Wendroff มีความเสถียรภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน (.11) เช่นเดียวกับโครงการทวนลม และสามารถเขียนได้ในรูปแบบ (.10) โดยมีสัมประสิทธิ์ (.6) ซึ่งแสดงว่าภายใต้เงื่อนไข a æ< 1 один из 30

32 สัมประสิทธิ์ b 1 หรือ b 1 เป็นลบ ตามทฤษฎีบทที่ 1 เป็นไปตามนั้น โครงการ Lax-Wendroff ซึ่งมีการประมาณลำดับที่สองใน และ ไม่ได้รักษาความซ้ำซากจำเจของคำตอบเชิงตัวเลข แต่อาจมีแผนการประมาณลำดับที่สองอื่น ๆ ที่มีคุณสมบัติเป็นความซ้ำซากจำเจ ปรากฎว่าไม่มีแผนการดังกล่าว งานแสดงให้เห็นว่าสำหรับสมการการขนส่งเชิงเส้น (.1) เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างโครงร่างแบบโมโนโทนิกที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ของการประมาณลำดับที่สอง... ให้เราพิจารณาโครงร่าง (.4) ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปร b α สำหรับรูปแบบดังกล่าว เงื่อนไข (.7) ของการไม่ลบของสัมประสิทธิ์จะเพียงพอที่จะรักษาความซ้ำซากจำเจของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขหรือไม่ ปรากฎว่าไม่ ลองยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกัน ตัวอย่าง.3. ให้ปัญหาคอชีได้รับการแก้ไขสำหรับสมการ u t + a(x)u x = 0, (.1) โดยที่ a(x) เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบวกที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด: 0< a(x) < 1 и a >0. เพื่อแก้ปัญหานี้ ขอให้เราใช้โครงร่างที่มีค่าสัมประสิทธิ์แปรผัน 0, 5 (u n +1 +) un 1 + a u n +1 un 1 = 0, (.13) โดยที่ a = a(x), x คือ a โหนดของตารางสม่ำเสมอ โครงการเขียนเป็นอะนาล็อกของโครงการ Lax (1.46) ซึ่งรักษาความซ้ำซากจำเจของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข (ดูปัญหาที่ 1) เราจะถือว่าเป็นเช่นนั้นสำหรับเงื่อนไขใด ๆ ก็ตาม< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

33 ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ b α มาพร้อมกับดัชนีเพิ่มเติม เนื่องจากเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่แปรผันและเปลี่ยนแปลงเมื่อย้ายจากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่ง เนื่องจากเงื่อนไข (.14) ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสองจึงเป็นค่าบวก แต่โครงร่าง (.13) ไม่ได้รักษาความซ้ำซากจำเจของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข แท้จริงแล้วการใช้ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ( คุณ n 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 >b 1.0 ดังนั้นฟังก์ชันกริดจึงเพิ่มขึ้น ไม่ซ้ำซาก ตัวอย่างที่ให้มาแสดงให้เห็นว่าวงจรที่มีค่าสัมประสิทธิ์แปรผันควรใช้เกณฑ์ความซ้ำซ้อนอื่นนอกเหนือจากเกณฑ์ (.7) ที่ระบุในทฤษฎีบทที่ 1 ทฤษฎีบท ให้ค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบความแตกต่าง = b 1, u n 1 + b 0, u n + b 1, u n +1 (.17) เป็นไปตามเงื่อนไขที่แต่ละโหนด x จากนั้นการปฏิบัติตามเงื่อนไขทั้งหมด b 1, + b 0 , + b 1 , = 1 (.18) b ±1, 0, b 1, + b 1, 1 1 (.19) จำเป็นและเพียงพอสำหรับโครงร่าง (.17) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์แปรผันเพื่อรักษาความซ้ำซากจำเจของ วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข การพิสูจน์. ให้เราเขียนโครงร่าง (.17) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปรที่ตรงตามเงื่อนไข (.18) ในรูปแบบต่อไปนี้: = u n b 1, (u n u n 1) + b1, (u n +1 u n) (.0) 3

34 จากนั้น +1 = un +1 b 1,+1 (u n +1 u n) + b1,+1 (u n + u n +1) ดังนั้น +1 un+1 = (u n +1 u n) (1 b 1,+1 b 1,) + (+ b 1,+1 u n + u n (+1) + b 1, u n u n) (.1) 1. ความจำเป็น. ให้โครงร่าง (.17) เป็นแบบโมโนโทนิค ให้เราพิสูจน์ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของมันเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (.19) สมมติว่าไม่เป็นเช่นนั้นและเงื่อนไขบางอย่าง (.19) ไม่เป็นไปตามที่บางโหนด x 0 เช่น b 1,0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 หลักฐาน วงจร (.) สามารถเขียนใหม่เป็น (.17) โดยที่ b 1, = æc 1/, b 1, = æc + +1/, b 0, = 1 æc 1/ æc+ +1/ จากนั้นสัมประสิทธิ์ b α เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (.18) และเงื่อนไข (.19) จะเทียบเท่ากับเงื่อนไข (.3) ความคิดเห็น งานพิสูจน์ให้เห็นว่าการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียม (.3) นั้นเพียงพอสำหรับโครงการ (.) ให้เป็นโครงการ TVD (โครงการ Total Variation Diminising Sceme) เช่น โครงการที่มีวิธีแก้ปัญหาของคุณสำหรับ n 0 ใด ๆ ตรงตามเงื่อนไขของการไม่ การเพิ่มขึ้นของความแปรผันรวม TV () TV (u n), (.4) โดยที่ความแปรผันรวมของฟังก์ชันกริด u n เข้าใจว่าเป็นปริมาณ TV (u n) = = u n +1 u n (.5) ปัจจุบันโครงร่าง TVD และการแก้ไขต่างๆ ถูกนำมาใช้เพื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ด้วยวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ต่อเนื่อง เหตุผลที่วิธีการเหล่านี้ได้รับความนิยมมากก็คือให้โปรไฟล์ของสารละลายที่ไม่สั่น มีความสามารถในการละลายสูงในบริเวณที่ไม่ต่อเนื่อง และรักษาความแม่นยำสูงในบริเวณที่ราบรื่นของสารละลาย โครงร่าง TVD สมัยใหม่ของการประมาณลำดับสูงนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการหนึ่งหรือวิธีอื่นในการกู้คืน (สร้างใหม่) ค่าของฟังก์ชันที่ขอบเขตของเซลล์จากค่าที่ศูนย์กลางของเซลล์ข้างเคียง ในกรณีนี้ แม่แบบวงจรจะแปรผันและขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของคำตอบเชิงตัวเลข อัลกอริธึมการสร้างใหม่จะขึ้นอยู่กับการใช้ตัวจำกัดการไหลแบบพิเศษ ซึ่งถูกสร้างขึ้นเพื่อให้วงจรที่มีตัวจำกัดมีคุณสมบัติ TVD (.4)..3 ความซ้ำซากจำเจของโครงการ Lax Wendroff หากฟังก์ชันเริ่มต้นที่ t = 0 ถูกกำหนดไว้ในรูปแบบของขั้นตอน จากนั้นในเลเยอร์ถัดไปในเวลา เราจะได้รับตามโครงการ Lax Wendroff ซึ่งเป็นขั้นตอนที่บิดเบี้ยวโดยการสั่น (ดูรูปที่ 4) แต่ปรากฎว่าสามารถดัดแปลงวงจร Lax Wendroff ให้เป็น 34 ได้

36 TVD-property (.4) ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 3 จึงกลายเป็นรูปแบบการรักษาความซ้ำซากจำเจของคำตอบเชิงตัวเลข อย่างไรก็ตาม ค่าสัมประสิทธิ์ของวงจรที่ถูกดัดแปลงจะไม่คงที่อีกต่อไป อาจขึ้นอยู่กับสารละลายที่ชั้นที่ n กล่าวคือ วงจรที่ถูกดัดแปลงจะไม่เป็นเชิงเส้น พิจารณาสมการการขนส่ง (.1) ในกรณี a = const > 0 สามารถเขียน Lax Wendroff Scheme (1.50) ใหม่ได้ดังนี้: u n +a un x,+1/ + un x, 1/ a () u n x, +1/ อูน x, 1/ = 0, (.6) หรือ u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) อูน x,+1/ อูน x, 1/ u n = 0, (.7) + au n x, = a (1 aæ) และ xx, (.8) P.D.P. (1.79) ของโครงการเหนือลมมีเทอมการกระจาย 0.5a (1 aæ) u xx ทางด้านขวา และในรูปแบบแทน (.8) เทอมการกระจายเดียวกันในรูปแบบต่างกันจะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ดังนั้น โครงการ Lax Wendroff จึงถูกนำเสนอเป็นโครงการแบบโมโนโทนิกที่มีความแตกต่างต้นน้ำ เสริมด้วยสิ่งที่เรียกว่า anti-diffusion term ซึ่งกำจัดคำศัพท์ dissipative ใน p.d.p. ของโครงการ upwind และเปลี่ยนให้เป็นโครงการ Lax Wendroff คุณสามารถพยายามป้องกันได้โดยการลดระยะการป้องกันการแพร่กระจายในตำแหน่งที่อาจเกิดการสั่นได้ เราจะควบคุมเงื่อนไขการป้องกันการแพร่กระจายในโครงการ Lax-Wendroff (.7) โดยใช้ฟังก์ชันลิมิตเตอร์ Φ(ξ) ของอาร์กิวเมนต์บางตัว ξ: u n +au n x, 1/ + a (1 aæ) ((Φu n x) + 1/ (Φu n x) 1/) = 0 (.9) ถ้า Φ 0 เราจะมีโครงร่างทวนลมแบบโมโนโทนของการประมาณลำดับแรก ถ้า Φ 1 เราจะได้รูปแบบ Lax Wendroff ของการประมาณลำดับที่สองบนสารละลายที่ราบรื่น แต่จะสั่นในสารละลายที่ไม่ต่อเนื่อง 35

37 ในรูปแบบผลต่าง (.9) Φ +1/ = Φ(ξ +1/) เนื่องจากอาร์กิวเมนต์แยกกัน ξ +1/ เราเลือกค่า u n x, 1/ ξ +1/ = u n สำหรับ u n x,+1/ 0, x,+1/ (.30) 1 สำหรับ u n x,+1/ = 0 สารละลายการสั่น อัตราส่วน u n x, 1/ /un x,+1/ กลายเป็นลบ ดังนั้น เมื่อ ξ +1/< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ >0. เราจะเลือกฟังก์ชันตัวจำกัดในลักษณะที่รูปแบบเป็นไปตามเงื่อนไข TVD (.3) และคงลำดับที่สองของการประมาณค่าไว้บนโซลูชันที่ราบรื่น ในการทำเช่นนี้ เราแปลงรูปแบบ Lax Wendroff ที่แก้ไข (.9) ให้อยู่ในรูปแบบ (.): หรือ u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) ((Φ ξ u n [ + aæ ((Φ) ξ ) +1/ + 1/ Φ 1/) u n x, 1/ = 0, Φ 1/)] u n x, 1/ = 0 ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ของโครงร่าง (.9) ซึ่งเขียนอยู่ในรูป (.) คือ กำหนดโดยสูตร [ C + +1 / = 0, C 1/ = a aæ ((Φ))] ξ Φ 1/ +1/ ตามทฤษฎีบท 3 เงื่อนไข 0 C 1/ 1 æ (.31) จะรับประกันว่าโครงการ Lax Wendroff ที่มีฟังก์ชันลิมิตเตอร์ใส่เข้าไปจะรักษาความซ้ำซ้อนของสารละลายตัวเลขไว้ เรายังถือว่าเงื่อนไขความเสถียรสำหรับโครงการ Lac-36

38 sa เวนดรอฟฟ์พอใจ นั่นคือ aæ 1 จากนั้น เพื่อให้ความไม่เท่าเทียมกัน (.31) ถูกต้องสำหรับ aæ 1 ทั้งหมด จึงจำเป็นและเพียงพอสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน (Φ) ξ +1/ Φ 1/ และ ด้วยเหตุนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะต้องปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ทั้งหมด: (Φ) 0, 0 Φ +1/ ξ +1/ พื้นที่ในระนาบของตัวแปร Φ และ ξ ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้แสดงไว้ในรูปที่ 1 5, ก. หากกราฟของฟังก์ชัน Φ = Φ(ξ) อยู่ในภูมิภาคนี้ รูปแบบที่แก้ไข (.9) จะคงความซ้ำซากจำเจของคำตอบเชิงตัวเลขไว้ Φ Φ= Φ Φ = Φ = ξ Φ = ξ Φ=ξ 1 1 Φ = a ξ b ξ 5. และในพื้นที่แรเงา โครงการ Lax Wendroff (.9) ที่ได้รับการดัดแปลงเป็นโครงการ TVD b ในพื้นที่ฟักคู่ โครงการ Lax Wendroff ที่ถูกแก้ไขคือโครงการ TVD ของการประมาณลำดับที่สอง ดังนั้น เราจะสมมติต่อไปว่า Φ(ξ) = 0 สำหรับ ξ 0, 0 Φ(ξ) min(, ξ) ) สำหรับ ξ > 0 ( .3) ตอนนี้เราตรวจสอบลำดับของการประมาณของโครงร่างที่แก้ไข โดยสมมติว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง Φ = Φ(ξ) เป็นไปตาม 37

39 ตามข้อจำกัดเพิ่มเติมต่อไปนี้: Φ(ξ 1) Φ(ξ) L ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) Φ(1) = 1, (.34) กล่าวคือ เราต้องการให้ฟังก์ชัน Φ = Φ (ξ) เป็นไปตามเงื่อนไขของลิปชิตซ์ด้วยค่าคงที่ L > 0 และกราฟของฟังก์ชันนี้ผ่านจุด (1, 1) ให้เราเขียนแผน Lax Wendroff ที่ถูกแก้ไข (.9) ใหม่ในรูปแบบของแผน Lax Wendroff ดั้งเดิม (.7) พร้อมด้วยคำศัพท์เพิ่มเติม โดยที่ u n + au n x, 1/ + a (1 aæ) (u n x,+1/ un x, 1/) + + a (1 aæ) Rn = 0, (.35) R n = (Φ +1/ 1) คุณ x,+1/ (Φ 1/ 1) คุณ x, 1/ (.36) ให้ u = u(x, t) เป็นวิธีแก้ปัญหาคอชี (.1), (.) ได้อย่างราบรื่นเพียงพอ ให้เราแทนที่คำตอบนี้เป็นนิพจน์ (.36) โดยเก็บสัญกรณ์ก่อนหน้านี้ทั้งหมดไว้ แต่คำนึงว่าตอนนี้ u n x,+1/ = u(x +1, t n) u(x, t n) (.37) แน่นอน ถ้าในชั้นเวลาที่ n ฟังก์ชัน u(x, t n) จะเป็นเส้นตรง u(x, t n) = Bx + C แล้ว R n 0 การใช้เงื่อนไข (.33), (.34) มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าสำหรับฟังก์ชันกำลังสอง u(x, t n) = Ax + Bx + C (A 0) ความเท่าเทียมกัน R n = O() เก็บไว้สำหรับโหนดทั้งหมดที่มีช่วงตัวเลขตามอำเภอใจ (α, β) ไม่ใช่ ที่มีจุดสุดขั้ว x = B/A ในกรณีทั่วไป ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง เล็มมา.1. ปล่อยให้เงื่อนไข (.33), (.34) เป็นไปตามเงื่อนไขและวิธีแก้ปัญหาคอชี (.1), (.) เป็นไปอย่างราบรื่นเพียงพอ ตรงตามเงื่อนไข u x (x, t n) 0 x [α, β] ในช่วงเวลาตัวเลขบางช่วง [α, β] . (.38) จากนั้น R n = O() x (α, β) (.39) 38

รูปแบบผลต่างสำหรับปัญหาไม่เชิงเส้น สมการการขนส่งเสมือน ในการแก้ปัญหาแบบไม่เชิงเส้นเชิงตัวเลขในสถานการณ์ต่างๆ จะใช้ทั้งแบบแผนเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ความยั่งยืนที่เกี่ยวข้อง

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา NOVOSIBIRSK STATE UNIVERSITY คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny วิธีการคำนวณส่วนที่ 3 วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหา

ทฤษฎีความเสถียรของโครงร่างผลต่าง 1 ความเสถียรของการแก้ปัญหาคอชีด้วยข้อมูลเริ่มต้นและด้านขวามือ ให้ B เป็นปริภูมิฟังก์ชัน Banach (นั่นคือ การทำให้เป็นมาตรฐานโดยสมบูรณ์) ของฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในบางโดเมน

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีแผนความแตกต่าง ตัวอย่างการสร้างแผนความแตกต่างสำหรับปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้น ปัญหาจำนวนมากในฟิสิกส์และเทคโนโลยีนำไปสู่ปัญหาค่าขอบเขตหรือค่าขอบเขตเริ่มต้นสำหรับเส้นตรง

สมการเชิงอนุพันธ์. 2542 ต.35. 6. หน้า 784-792. UDC 517.957 ความสามารถในการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำใครของปัญหาค่าขอบเขตสำหรับสมการรูปไข่ที่มีความไม่เชิงเส้น Yu. V. Zhernovy 1. บทนำ การกำหนดปัญหา ที่สุด

การประมาณผลต่างของปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นสำหรับสมการการแกว่ง แผนความแตกต่างที่ชัดเจน (ข้ามโครงการ) และแผนความแตกต่างโดยนัย ให้เราพิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับการประมาณค่าความแตกต่างของสมการการแกว่งเชิงเส้น:

บทที่สี่ อินทิกรัลแรกของระบบ ODE 1. อินทิกรัลแรกของระบบอิสระของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในส่วนนี้เราจะพิจารณาระบบอิสระในรูปแบบ f x = f 1 x, f n x C 1

การประมาณผลต่างของปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นสำหรับสมการความร้อน แนวคิดของสคีมาที่ชัดเจนและโดยนัย 1 การประมาณค่าความแตกต่างของสมการการนำความร้อน ให้เราพิจารณาตัวเลือกต่างๆ สำหรับความแตกต่าง

ทฤษฎีความเสถียรของโครงร่างผลต่าง 1 รูปแบบผลต่างของตัวดำเนินการ 1.1 บทนำ ให้ B เป็นปริภูมิ Banach (นั่นคือ การทำให้เป็นมาตรฐานโดยสมบูรณ์) ของฟังก์ชันที่กำหนดในบางโดเมน G R m และให้ u(t) เป็นนามธรรม

สมการการขนส่ง รูปแบบการคำนวณ "กำลังดำเนินการ" ลองพิจารณารูปแบบผลต่างที่ใช้บ่อยที่สุดจำนวนหนึ่งซึ่งประมาณปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นสำหรับสมการการขนส่งเชิงเส้น: u t + c(x, t) u x = f(x,

Skalko Yuri Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander สมการคลื่นของลำดับที่สอง สมการคลื่นในรูปแบบของสมการลำดับที่สองเขียนเป็น 2 u t 2 = c2 2 u x 2 + f ลองเพิ่มสมการกัน

วิธีการคำนวณ อาจารย์: ศาสตราจารย์ บีไอ ควาซอฟ ศาสตราจารย์ G. S. Khakimzyanov 5 6 ภาคการศึกษา 1. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ การจำแนกสมการฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ตัวอย่างที่ถูกต้อง

รูปแบบผลต่างสำหรับสมการการแกว่งในกรณีหลายมิติ สำหรับสมการการแกว่งหลายมิติ คุณสามารถสร้างอะนาล็อกของรูปแบบ "กากบาท" และรูปแบบโดยนัยได้ ในกรณีนี้ รูปแบบ "กากบาท" ที่ชัดเจนจะเหมือนกับในมิติเดียว

วิธีการพื้นฐานของการแยกส่วนเชิงพื้นที่ วิธีผลต่างอันจำกัด ค่าที่ต้องการคือค่าของตัวแปรในบางจุด, โหนดของตารางผลต่างอันจำกัด ข้อผิดพลาดลดลงเป็น N โดยที่ระยะห่างของกริดคือ

สมการ ในพีชคณิตจะพิจารณาความเท่าเทียมกันสองประเภท: อัตลักษณ์และสมการ อัตลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่พึงพอใจกับค่าที่ถูกต้องทั้งหมด) ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น สำหรับอัตลักษณ์จะใช้เครื่องหมาย

วิธีที่ง่ายที่สุดในการศึกษารูปแบบความแตกต่างเพื่อความมั่นคง โปรดจำไว้ว่ารูปแบบความแตกต่าง L h y h = ϕ h (x), x ω h, l h y h = χ h (x), x γ h, การประมาณค่าขอบเขตหรือปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้น Lu

ความเสถียรของบทของระบบเชิงเส้น บทนี้ตรวจสอบความเสถียรของคลาสที่ง่ายที่สุดของระบบดิฟเฟอเรนเชียลของระบบเชิงเส้น โดยเฉพาะ มีการกำหนดให้สำหรับระบบเชิงเส้นที่มีค่าคงที่

วารสารคณิตศาสตร์ไซบีเรีย มกราคม กุมภาพันธ์ 2544 เล่มที่ 42, 1 UDC 517.929 วิธีการสำหรับความเสถียร ความเสถียรของระบบที่มีความล่าช้าเชิงเส้น B. G. Grebenshchikov บทคัดย่อ: วิธีการศึกษาซีมโทติก

บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์ 1.1 แนวคิดของสมการเชิงอนุพันธ์ 1.1.1 ปัญหาที่นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ ในฟิสิกส์คลาสสิก ปริมาณทางกายภาพแต่ละปริมาณมีความเกี่ยวข้องกัน

การบรรยาย 8 9 ทฤษฎีบทของ Hille Yosida S 3. ความหมายและคุณสมบัติเบื้องต้นของตัวดำเนินการโมโนโทนสูงสุด ตลอดการบรรยายทั้งสองนี้ สัญลักษณ์ H หมายถึงปริภูมิของฮิลแบร์ตด้วยสเกลาร์

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษาสถาบันการศึกษาระดับรัฐของการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง SOUTH FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodological

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม N.E. บาวแมน คณะวิทยาศาสตร์พื้นฐาน ภาควิชาคณิตศาสตร์แบบจำลอง A.N. Kaviakovykov, A.P. เครเมนโก

หัวข้อโมดูล ลำดับการทำงานและอนุกรม คุณสมบัติของการลู่เข้ากันของลำดับและอนุกรม อนุกรมกำลัง การบรรยาย คำจำกัดความของลำดับฟังก์ชันและอนุกรม สม่ำเสมอ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่แก้ไขโดยคำนึงถึงทฤษฎีบทอนุพันธ์ของการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา ในกรณีทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะมีรูปแบบ F ()

บทที่: วิธีผลต่างอันจำกัด การบรรยายครั้งที่ 5: ความเสถียรของรูปแบบความแตกต่าง (10 สไลด์ 6 ภาพ) สไลด์ที่ 1: การจำแนกประเภท RS ตามประเภทของความเสถียร ตามประเภทของความเสถียร RS ต่อไปนี้มีความโดดเด่น: อย่างแน่นอน

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโกแห่งการบินพลเรือน V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. คู่มือคณิตศาสตร์ Shurinov สำหรับศึกษาวินัยและการทดสอบที่ได้รับมอบหมาย

การบรรยายครั้งที่ 9 การทำให้เป็นเส้นตรงของสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า คุณสมบัติสมการเอกพันธ์ของการแก้ปัญหา คุณสมบัติของการแก้สมการเอกพันธ์ คำจำกัดความที่ 9 เชิงเส้น

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา มหาวิทยาลัยของรัฐมอสโก สถาบันการศึกษาขั้นพื้นฐาน คณะแผนกวิทยาศาสตร์ทั่วไป - FOC การสั่นสะเทือนของสตริงที่ไม่มีที่สิ้นสุด สูตรของดาล็องแบร์

การบรรยายครั้งที่ 3 ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้สมการสเกลาร์ ข้อความปัญหา ผลลัพธ์หลัก พิจารณาปัญหาคอชี d f () d =, () = ฟังก์ชัน f (,) ถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ G ของระนาบ (,

วิธีในการสร้างโครงร่างความแตกต่าง โครงร่างที่เป็นเนื้อเดียวกันสำหรับสมการอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปร โครงร่างผลต่างที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นเข้าใจว่าเป็นโครงร่างที่แตกต่างกัน รูปแบบซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับ

ความแปรผันและส่วนปลายของฟังก์ชัน A. N. Myagky สมการอินทิกรัลและแคลคูลัสของการแปรผัน การบรรยาย ให้ฟังก์ชัน V = V , y(x) M E ให้เราแก้ไขฟังก์ชัน y (x) M จากนั้นฟังก์ชันอื่นใด

รูปแบบผลต่างทางเศรษฐกิจสำหรับปัญหาหลายมิติของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ โครงการสลับทิศทางสำหรับปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นของสมการความร้อนในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังที่ได้แสดงไปแล้ว

แนวคิดของฟังก์ชันอนุพันธ์ ขอให้เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนเซต X และให้จุด X เป็นจุดภายในของจุดเหล่านั้นซึ่งมีย่านใกล้เคียง X รับจุดใดก็ได้แล้วแสดงว่ามันโดยการเรียก

สมการประเภทไฮเปอร์โบลิก การสั่นของสายอนันต์และกึ่งอนันต์ วิธีฟูริเยร์ วิธีฟูริเยร์ คลื่นนิ่ง 4 การบรรยาย 4.1 สมการประเภทไฮเปอร์โบลิก การแกว่งของอนันต์และกึ่งอนันต์

ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีโครงร่างผลต่าง 1 สูตรสำหรับการบวกตามส่วนต่างๆ และสูตรผลต่างของกรีนสำหรับฟังก์ชันกริด เราได้รับความสัมพันธ์จำนวนหนึ่งที่เราจะใช้ในอนาคตในการวิจัยของเรา

การบรรยายครั้งที่ 8 4 ปัญหาสตวร์ม-ลิอูวิลล์ พิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้นของขอบเขตสำหรับสมการอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่อธิบายการสั่นตามขวางขนาดเล็กของสตริง ถือว่าสตริงนั้น

II สมการดิฟเฟอเรนเชียล สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง นิยาม ความสัมพันธ์ซึ่งตัวแปรที่ไม่รู้จักและฟังก์ชันของมันอยู่ภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียลเรียกว่า

การบรรยายครั้งที่ 5 5 ทฤษฎีบทสำหรับการมีอยู่และลักษณะเฉพาะของวิธีแก้ปัญหาคอชีสำหรับระบบ ODE ปกติ คำชี้แจงปัญหา ปัญหาคอชีสำหรับระบบ ODE ปกติ x = f (, x), () ประกอบด้วยการหาวิธีแก้ปัญหา x =

เรียบเรียงโดย VPBelkin 1 การบรรยาย 1 ฟังก์ชั่นของตัวแปรหลายตัว 1 แนวคิดพื้นฐาน การพึ่งพา = f (1, n) ของตัวแปรบนตัวแปร 1, n เรียกว่าฟังก์ชันของ n อาร์กิวเมนต์ 1, n ในสิ่งที่ต่อไปนี้เราจะพิจารณา

บทที่ 4 วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและระบบของสมการ บทนี้กล่าวถึงวิธีการเชิงตัวเลขพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

วิธีการแก้สมการกริด 1 วิธีโดยตรงและแบบวนซ้ำ จากการประมาณค่าความแตกต่างระหว่างปัญหาค่าขอบเขตของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ จะได้ SLAE ซึ่งเมทริกซ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

คำอธิบายของแบบจำลองการคำนวณ

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพระดับสูง "การวิจัยแห่งชาติ TOMSK POLYTECHNIC UNIVERSITY"

ปัญหาคอชี่สำหรับสมการคลื่น สูตรของดาล็องแบร์ ​​37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 หาคำตอบทั่วไปของสมการ u tt a u xx..) ขั้นตอน การหาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรวิธีการผ่าน

คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับงานคำนวณในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง “ชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ปริพันธ์สองเท่า” ส่วน หัวข้อ ชุด สารบัญ ชุด ชุดหมายเลข การบรรจบกันและความแตกต่าง

ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ขั้นสูง ที่ซับซ้อนด้านการศึกษาและระเบียบวิธีสำหรับนักศึกษาอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาที่เรียนโดยใช้เทคโนโลยีทางไกล แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เรียบเรียงโดย:

บท. ความเสถียรของระบบเชิงเส้น ระดับ 8 พร้อมเครื่องหมาย + จากที่ได้รับจะตามมาว่า () π เพิ่มขึ้นจากเป็น π ดังนั้น เงื่อนไข ϕ i() และ k () + กล่าวคือ เวกเตอร์ (i) ϕ ซ้ำซากจำเจ ϕ เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจเมื่อ

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม N.E. บาวแมน คณะวิทยาศาสตร์พื้นฐาน ภาควิชาคณิตศาสตร์แบบจำลอง A.N. คาซิคอฟ

บทที่ 6 พื้นฐานของทฤษฎีเสถียรภาพ การบรรยาย ปัญหา แนวคิดพื้นฐาน ก่อนหน้านี้ แสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาคอชีสำหรับระบบปกติ ODE = f, () อย่างต่อเนื่องขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่

บทที่ 9 วิธีการเชิงตัวเลข การบรรยายครั้งที่ 4 วิธีผลต่างของออยเลอร์ในการแก้ปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ ปัญหาเชิงอนุพันธ์ และผลต่างของออยเลอร์ คำนิยาม. ปัญหาเชิงอนุพันธ์ของออยเลอร์

สมการเชิงอนุพันธ์ แนวคิดทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์มีการประยุกต์มากมายและหลากหลายในกลศาสตร์ ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ เทคโนโลยี และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ชั้นสูง (เช่น

สมการเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นของฟิสิกส์ สมการลาปลาซในระบบพิกัดเชิงขั้ว อาจารย์อาวุโสภาควิชา VMMF Levchenko Evgeniy Anatolyevich 518 บทที่ 5 สมการรูปไข่ 25.2 แยก

การบรรยายครั้งที่ 3 ความเสถียรของสมดุลและการเคลื่อนที่ของระบบ เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่คงที่ เราจะเขียนสมการของการเคลื่อนที่ที่ถูกรบกวนในรูปแบบ d dt A Y โดยที่เวกเตอร์คอลัมน์เป็นเมทริกซ์จัตุรัสของค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ลำดับตัวเลข ลำดับตัวเลข Def ลำดับตัวเลขคือฟังก์ชันตัวเลขที่กำหนดบนเซตของจำนวนธรรมชาติ x - สมาชิกทั่วไปของลำดับ x =, x =, x =, x =,

5 อนุกรมกำลัง 5 อนุกรมกำลัง: คำจำกัดความ, พื้นที่ของการลู่เข้าอนุกรมฟังก์ชันของรูปแบบ (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) โดยที่, a, a, K, a ,k เป็นตัวเลขบางตัวเรียกว่าตัวเลขอนุกรมกำลัง

กระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซีย MATI - มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐรัสเซียตั้งชื่อตาม K E TSIOLKOVSKY ภาควิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง VV Gorbatsevich K Yu Osipenko สมการพร้อมผลหาร

ให้เราพิจารณาโครงร่างผลต่างที่ง่ายที่สุดสำหรับสมการฮอพฟ์

ลักษณะทั่วไปของสมการฮอพฟ์ของโครงการของพี. แลกซ์มีรูปแบบดังนี้

เห็นได้ชัดว่ามีการใช้สมการรูปแบบลู่ออก (3.6)

การออกกำลังกาย. ให้เราพิจารณาโครงการ Lax-Wendroff สำหรับสมการ Hopf ปล่อยให้เงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับปัญหา Cauchy ถูกตั้งไว้ดังนี้: u(x, 0) = cosh - 2 (x) จากนั้นสมการฮอพฟ์จะมีอินทิกรัลตัวแรก: . ตรวจสอบว่าไดอะแกรมข้างต้นเป็น ซึ่งอนุรักษ์นิยม, เช่น. ในนั้น ในระดับกริด กฎหมายการอนุรักษ์เดียวกันจะปฏิบัติตามโดยอัตโนมัติ

สร้างวงจรที่คล้ายกันโดยใช้ รูปแบบลักษณะเฉพาะการเขียนสมการฮอพฟ์ (3.9) เธอจะอนุรักษ์นิยมไหม?

โครงการจะมีเสถียรภาพตามเงื่อนไขเมื่อเงื่อนไขของ Courant เป็นที่พอใจ (หรือเจาะจงมากขึ้นคือ ภาพรวมของเงื่อนไข Courant)

ที่นี่และด้านล่าง เช่นเดียวกับก่อนหน้าใน (3.7) f = 0.5u 2 สันนิษฐานว่าการไหลเป็นไปอย่างราบรื่นเพียงพอ โมเมนต์ของภัยพิบัติแบบเกรเดียนต์ยังไม่เกิดขึ้น และไม่มีคลื่นกระแทกหรือความไม่ต่อเนื่องอื่นๆ ในสารละลาย

โครงการกูรองต์-อิซัคสัน-รีส์. ลักษณะทั่วไปของแผน KIR กับกรณีเสมือน (เมื่อใช้ รูปแบบที่แตกต่างกันการเขียนสมการ) ได้ชัดเจน

โครงการมีเสถียรภาพภายใต้เงื่อนไข Courant

ลักษณะทั่วไป วงจรแลกซ์-เวนดรอฟฟ์(รูปแบบตัวทำนาย-ตัวแก้ไข) สำหรับสมการกึ่งเชิงเส้น (เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์แปรผัน สมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ฯลฯ) รูปแบบ Lax-Wendroff จะซับซ้อนมากขึ้น ในการสร้างมันจำเป็นต้องแนะนำสิ่งที่เรียกว่าจุดจำนวนเต็มครึ่ง (จุดที่มีดัชนีเศษส่วน) ในระยะแรก (ตัวทำนาย) ค่าที่จุดครึ่งจำนวนเต็มจะถูกคำนวณตามรูปแบบข้างต้น - ลักษณะทั่วไปของกรณีกึ่งเชิงเส้นของโครงการ Lax:

ในขั้นตอนที่สอง (ตัวแก้ไข) จะใช้โครงร่าง "ก้าวกระโดด" (โครงร่างสามชั้นบนเทมเพลตรูปกากบาทซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของตระกูล (3.8)):

โครงการ Lax-Wendroff เป็นของสิ่งที่เรียกว่า ศูนย์กลางแผนงาน ลวดลายของมันมีความสมมาตร ในระยะแรกค่าของฟังก์ชันกริดจะถูกคำนวณที่จุดครึ่งจำนวนเต็มของเทมเพลตบนเลเยอร์กลาง (t m - 1/2, x m - 1/2), (t n + 1/2, x m + 1/2) ในขั้นตอนที่สอง วิธีแก้ปัญหาจะถูกคำนวณที่ชั้นบน ณ จุด (t n + 1 , x m) . โครงการมีเสถียรภาพภายใต้เงื่อนไข Courant

แบบแผน Lax-Wendroff สำหรับสมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นถูกสร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

โครงการที่ไม่ใช่ศูนย์กลางของ MacCormack(ผู้ทำนาย - ผู้แก้ไข)

เช่นเดียวกับโครงการ Lax-Wendroff ข้างต้น โครงการ McCormack ประกอบด้วยสองขั้นตอน ให้เราพิจารณาการก่อสร้างโครงการ McCormack สำหรับ สมการเอกพันธ์(3.7) ระยะที่ 1 (ตัวทำนาย) มีรูปแบบ

เหล่านั้น. มีการใช้รูปแบบ "มุมขวาที่ชัดเจน" ขั้นตอนที่สอง - ผู้พิสูจน์อักษร:

ดังนั้นการคำนวณในระยะแรกจึงเป็นไปตามรูปแบบ "มุมขวา" ในระยะที่สอง - "มุมซ้าย"

อีกหนึ่งโครงการของ McCormack ดูเหมือนว่า

แผนความแตกต่างดังกล่าวเรียกว่า ไม่ใช่ศูนย์กลาง. ข้อดีได้แก่ การไม่มีดัชนีครึ่งจำนวนเต็มและการตั้งค่าเงื่อนไขขอบเขตที่ง่ายกว่า ในกรณีเชิงเส้น โครงการ Mac-Cormack เกิดขึ้นพร้อมกับโครงการ Lax-Wendroff แบบแผนมีการประมาณลำดับที่สองในตัวแปรทั้งสอง แบบแผนจะเสถียรเมื่อตรงตามเงื่อนไขของ Courant

แผนการของ Rusanov(รูปแบบกลางของความแม่นยำลำดับที่สาม)

ในการสร้างโครงการ Rusanov ไม่เพียงแนะนำจุดครึ่งจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจุดกลางสองชั้นที่มีดัชนีเศษส่วนด้วย ขั้นตอนแรกของโครงการ Rusanov (เปลี่ยนเป็นเลเยอร์ 1/3) มีรูปแบบ

ขั้นที่สองคือโครงการ "ก้าวกระโดด"

และขั้นตอนที่สาม

ในระยะแรกการคำนวณจะดำเนินการตามโครงการ Lax ในขั้นตอนที่สอง - ตามโครงการ "ข้าม" ("ก้าวกระโดด") มีการแนะนำระยะสุดท้ายของระยะที่สามเพื่อให้มั่นใจถึงเสถียรภาพของโครงการ (คำที่เป็นสัดส่วนกับค่าประมาณผลต่างของอนุพันธ์อันดับ 4)

โครงการจะมีเสถียรภาพตามเงื่อนไขหากเป็นไปตามเงื่อนไขของ Courant และเงื่อนไข

ไม่ใช่ส่วนกลาง โครงการ Warming-Kutler-Lomaxความแม่นยำลำดับที่ 3

ขั้นแรก:

ระยะที่สอง:

ขั้นตอนที่สาม:

เทอมสุดท้ายจะถูกเพิ่มเข้าไปเพื่อความเสถียรของวงจร ซึ่งจะคงที่ตามเงื่อนไขเมื่อตรงตามเงื่อนไขของ Courant