การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกน

จลนศาสตร์ของร่างกายที่เข้มงวด

ตรงกันข้ามกับจลนศาสตร์ของจุด จลนศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งสามารถแก้ปัญหาหลักได้ 2 ประการ:

การระบุการเคลื่อนไหวและการกำหนดลักษณะทางจลนศาสตร์ของร่างกายโดยรวม

การกำหนดลักษณะทางจลนศาสตร์ของจุดของร่างกาย

วิธีการระบุและกำหนดลักษณะทางจลน์ศาสตร์ขึ้นอยู่กับประเภทของการเคลื่อนไหวของร่างกาย

คู่มือนี้กล่าวถึงการเคลื่อนที่สามประเภท ได้แก่ การเคลื่อนที่แบบแปลน การหมุนรอบแกนคงที่ และการเคลื่อนที่ขนานระนาบของวัตถุแข็งเกร็ง

การเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุแข็งเกร็ง

การแปลคือการเคลื่อนไหวที่เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดของร่างกายยังคงขนานกับตำแหน่งเดิม (รูปที่ 2.8)

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว: ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลน ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ไปตามวิถีเดียวกันและในแต่ละช่วงเวลาจะมีขนาดและทิศทางของความเร็วและความเร่งเท่ากัน (รูปที่ 2.8)

บทสรุป: การเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุแข็งเกร็งถูกกำหนดโดยการเคลื่อนที่ของจุดใดๆ ดังนั้น งานและการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุจึงลดลงเหลือจลนศาสตร์ของจุดนั้น

ข้าว. 2.8 รูป 2.9

การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่

การเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกนคงที่คือการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งโดยที่จุดสองจุดที่เป็นของร่างกายยังคงนิ่งอยู่ตลอดเวลาที่เคลื่อนไหว

ตำแหน่งของร่างกายถูกกำหนดโดยมุมการหมุน (รูปที่ 2.9) หน่วยวัดมุมเป็นเรเดียน (เรเดียนคือมุมศูนย์กลางของวงกลมที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี มุมเต็มของวงกลมมี 2 เรเดียน)

กฎการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุรอบแกนคงที่ = (t) เรากำหนดความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของร่างกายโดยวิธีหาความแตกต่าง

ความเร็วเชิงมุม rad/s; (2.10)

ความเร่งเชิงมุม rad/s 2 (2.11)

เมื่อวัตถุหมุนรอบแกนคงที่ จุดที่ไม่อยู่บนแกนหมุนจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่บนแกนหมุน

หากคุณผ่าร่างกายด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับแกน ให้เลือกจุดบนแกนของการหมุน กับและจุดใดจุดหนึ่ง เอ็มแล้วชี้ มจะอธิบายประมาณจุดหนึ่ง กับรัศมีวงกลม ร(รูปที่ 2.9) ในระหว่าง dtการหมุนเบื้องต้นเกิดขึ้นผ่านมุมและจุด มจะเคลื่อนที่ไปตามวิถีเป็นระยะทางหนึ่ง ให้เรากำหนดโมดูลความเร็วเชิงเส้น:

การเร่งความเร็วแบบจุด มด้วยวิถีที่รู้จัก จะถูกกำหนดโดยส่วนประกอบ ดู (2.8)

แทนที่นิพจน์ (2.12) ลงในสูตรที่เราได้รับ:

โดยที่: - ความเร่งวงสัมผัส

อัตราเร่งปกติ

เครื่องบิน - การเคลื่อนที่ขนานของวัตถุแข็งเกร็ง

การเคลื่อนที่แบบระนาบขนานคือการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งซึ่งจุดทั้งหมดเคลื่อนที่ในระนาบขนานกับระนาบคงที่อันเดียว (รูปที่ 2.10) เพื่อศึกษาการเคลื่อนไหวของร่างกาย ก็เพียงพอที่จะศึกษาการเคลื่อนไหวของส่วนเดียวเท่านั้น สของร่างกายนี้ด้วยระนาบที่ขนานกับระนาบที่อยู่กับที่ การเคลื่อนไหวของส่วน สในระนาบของมันถือได้ว่าซับซ้อนประกอบด้วยการเคลื่อนไหวเบื้องต้นสองแบบ: ก) การแปลและการหมุน; b) การหมุนสัมพันธ์กับศูนย์กลางการเคลื่อนที่ (ทันที)

ในเวอร์ชั่นแรกการเคลื่อนที่ของส่วนสามารถระบุได้โดยสมการการเคลื่อนที่ของจุดใดจุดหนึ่ง (เสา) และการหมุนของส่วนรอบเสา (รูปที่ 2.11) จุดส่วนใดก็ได้ที่สามารถใช้เป็นเสาได้

ข้าว. 2.10 รูปที่. 2.11

สมการการเคลื่อนที่จะเขียนอยู่ในรูป:

เอ็กซ์เอ = เอ็กซ์ ก (เสื้อ)

ย ก =ย ก (เสื้อ) (2.14)

ก = ก (เสื้อ)

ลักษณะทางจลนศาสตร์ของขั้วถูกกำหนดจากสมการการเคลื่อนที่

ความเร็วของจุดใดๆ ของวัตถุแบนที่เคลื่อนที่ในระนาบนั้นประกอบด้วยความเร็วของขั้ว (เลือกโดยพลการในส่วนของจุดนั้น ก) และความเร็วของการหมุนรอบเสา (การหมุนของจุด ในรอบจุด ก).

ความเร่งของจุดของรูปร่างแบนที่กำลังเคลื่อนที่ประกอบด้วยความเร่งของขั้วสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงที่อยู่กับที่ และความเร่งเนื่องจากการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบขั้ว

ในตัวเลือกที่สองการเคลื่อนไหวของส่วนนั้นถือเป็นการหมุนรอบศูนย์กลางการเคลื่อนที่ (ทันที) ป(รูปที่ 1.12) ในกรณีนี้ ความเร็วของจุด B ใดๆ ของส่วนจะถูกกำหนดโดยสูตรสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน

ความเร็วเชิงมุมรอบจุดศูนย์กลางชั่วขณะ รสามารถกำหนดได้หากทราบความเร็วของจุดส่วนใดๆ เช่น จุด A

รูปที่.2.12

ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางการหมุนทันทีสามารถกำหนดได้ตามคุณสมบัติต่อไปนี้:

เวกเตอร์ความเร็วของจุดตั้งฉากกับรัศมี

ความเร็วสัมบูรณ์ของจุดเป็นสัดส่วนกับระยะทางจากจุดถึงจุดศูนย์กลางการหมุน ( วี= อาร์) ;

ความเร็วที่จุดศูนย์กลางการหมุนเป็นศูนย์

ลองพิจารณาบางกรณีในการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์กลางทันที

1. รู้ทิศทางของความเร็วของจุดสองจุดของรูปแบน (รูปที่ 2.13) มาวาดเส้นรัศมีกันเถอะ จุดศูนย์กลางการหมุนทันทีของ P อยู่ที่จุดตัดของเส้นตั้งฉากที่วาดกับเวกเตอร์ความเร็ว

2. ทราบความเร็วของจุด A และ B และเวกเตอร์และขนานกันและเส้นตรง เอบีตั้งฉาก (รูปที่ 2. 14) ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางการหมุนทันทีจะอยู่บนเส้น เอบี. เพื่อค้นหามัน เราวาดเส้นสัดส่วนของความเร็วโดยขึ้นอยู่กับการพึ่งพา วี= อาร์.

3. ตัวรถกลิ้งโดยไม่เลื่อนไปบนพื้นผิวที่อยู่นิ่งของอีกตัวหนึ่ง (รูปที่ 2.15) จุดที่สัมผัสกันของวัตถุในขณะนี้มีความเร็วเป็นศูนย์ ในขณะที่ความเร็วของจุดอื่นๆ ของร่างกายไม่เป็นศูนย์ จุดสัมผัส P จะเป็นจุดศูนย์กลางการหมุนทันที

ข้าว. 2.13 มะเดื่อ 2.14 รูปที่. 2.15

นอกเหนือจากตัวเลือกที่พิจารณาแล้ว ความเร็วของจุดส่วนสามารถกำหนดได้ตามทฤษฎีบทของการฉายภาพความเร็วของจุดสองจุดของวัตถุแข็งเกร็ง

ทฤษฎีบท: การฉายภาพความเร็วของจุดสองจุดของวัตถุแข็งเกร็งบนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดเหล่านี้จะเท่ากันและมีทิศทางเท่ากัน.

หลักฐาน: ระยะทาง เอบีจึงไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้

วีและ cos ไม่สามารถมากหรือน้อยได้ วีใน cos (รูปที่ 2.16)

ข้าว. 2.16

เอาท์พุต: V กคอส= วี ในเพราะ (2.19)

การเคลื่อนไหวของจุดที่ซับซ้อน

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงคงที่ ซึ่งเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบสัมบูรณ์ ในทางปฏิบัติ มีปัญหาในการทราบการเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดซึ่งเคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบคงที่ ในกรณีนี้จำเป็นต้องกำหนดลักษณะทางจลนศาสตร์ของจุดที่สัมพันธ์กับระบบที่อยู่นิ่ง

โดยทั่วไปเรียกว่า: การเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับระบบที่กำลังเคลื่อนที่ - ญาติการเคลื่อนที่ของจุดร่วมกับระบบการเคลื่อนที่ - แบบพกพาการเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับระบบที่อยู่นิ่ง - แน่นอน. ความเร็วและความเร่งถูกเรียกตามลำดับ:

ญาติ - เป็นรูปเป็นร่าง; -แน่นอน

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการบวกความเร็ว ความเร็วสัมบูรณ์ของจุดจะเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของความเร็วสัมพัทธ์และความเร็วเคลื่อนที่ได้ (รูปที่)

ค่าสัมบูรณ์ของความเร็วถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทโคไซน์

รูปที่.2.17

ความเร่งตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกกำหนดไว้ เฉพาะกับการเคลื่อนไหวการแปลเท่านั้น

เมื่อมีการเคลื่อนที่ในการแปลแบบไม่แปล องค์ประกอบที่สามของการเร่งความเร็วจะปรากฏขึ้น เรียกว่าการหมุนหรือโบลิทาร์

ความเร่งโบลิทาร์มีค่าเท่ากับตัวเลข

มุมระหว่างเวกเตอร์กับอยู่ที่ไหน

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งโบลิทาร์ถูกกำหนดอย่างสะดวกตามกฎของ N.E. Zhukovsky: ฉายเวกเตอร์บนระนาบที่ตั้งฉากกับแกนของการหมุนแบบพกพา หมุนการฉายภาพ 90 องศาในทิศทางของการหมุนแบบพกพา ทิศทางที่เกิดจะสอดคล้องกับทิศทางความเร่งโบลิทาร์

คำถามเพื่อการควบคุมตนเองในส่วนนี้

1. ภารกิจหลักของจลนศาสตร์คืออะไร? ตั้งชื่อลักษณะทางจลน์ศาสตร์

2. ตั้งชื่อวิธีการระบุการเคลื่อนที่ของจุดและกำหนดคุณลักษณะทางจลน์ศาสตร์

3. ให้คำจำกัดความของการแปล การหมุนรอบแกนคงที่ การเคลื่อนที่ขนานกับระนาบของวัตถุ

4. การเคลื่อนไหวของวัตถุแข็งเกร็งถูกกำหนดอย่างไรในระหว่างการแปล การหมุนรอบแกนคงที่ และการเคลื่อนที่ขนานระนาบของร่างกาย และความเร็วและความเร่งของจุดถูกกำหนดอย่างไรในระหว่างการเคลื่อนไหวของร่างกายเหล่านี้

ความก้าวหน้าคือการเคลื่อนที่ของวัตถุที่แข็งเกร็ง โดยมีเส้นตรงใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับวัตถุนี้สม่ำเสมอคงขนานกับตำแหน่งเริ่มต้น

ทฤษฎีบท. ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุแข็งเกร็ง ทุกจุดของวัตถุจะอธิบายวิถีโคจรที่เหมือนกัน และในแต่ละช่วงเวลาจะมีความเร็วและความเร่งเท่ากันในขนาดและทิศทาง

การพิสูจน์. ลองวาดผ่านจุดสองจุดและ ส่วนของร่างกายที่เคลื่อนไหวเป็นเส้นตรง
และพิจารณาความเคลื่อนไหวของส่วนนี้ในตำแหน่ง
. ในขณะเดียวกันก็ตรงประเด็น อธิบายวิถี
และชี้ – วิถี
(รูปที่ 56)

เมื่อพิจารณาว่าส่วนนั้น
เคลื่อนที่ขนานกับตัวมันเอง และความยาวของมันไม่เปลี่ยนแปลง จึงสามารถกำหนดวิถีของจุดได้ และ จะเหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าส่วนแรกของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว เราจะกำหนดตำแหน่งของจุด และ วิธีเวกเตอร์สัมพันธ์กับจุดกำเนิดคงที่ . ยิ่งไปกว่านั้น รัศมี - เวกเตอร์เหล่านี้ยังขึ้นอยู่กับอีกด้วย
. เพราะ. ทั้งความยาวและทิศทางของส่วนนั้น
ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อร่างกายเคลื่อนไหว จากนั้นเวกเตอร์

. มาดูการกำหนดความเร็วโดยใช้การพึ่งพา (24):

, เราได้รับ
.

มาดูการพิจารณาความเร่งโดยใช้การพึ่งพา (26):

, เราได้รับ
.

จากทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว เป็นไปตามว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุจะถูกกำหนดโดยสมบูรณ์หากทราบการเคลื่อนที่ของจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้นการศึกษาการเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุแข็งเกร็งจึงลงมาที่การศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดใดจุดหนึ่งนั่นคือ จนถึงปัญหาจลนศาสตร์

หัวข้อที่ 11 การเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายแข็งเกร็ง

หมุนเวียนนี่คือการเคลื่อนไหวของร่างกายที่แข็งทื่อโดยที่จุดสองจุดยังคงไม่เคลื่อนไหวตลอดการเคลื่อนไหวทั้งหมด ในกรณีนี้จะเรียกว่าเส้นตรงที่ผ่านจุดคงที่ทั้งสองจุดนี้ แกนหมุน.

ในระหว่างการเคลื่อนไหวนี้ แต่ละจุดของร่างกายที่ไม่ได้อยู่บนแกนการหมุนจะอธิบายถึงวงกลม ซึ่งมีระนาบตั้งฉากกับแกนของการหมุน และศูนย์กลางของมันจะอยู่บนแกนนี้

เราวาดผ่านแกนการหมุนของระนาบคงที่ I และระนาบที่เคลื่อนที่ได้ II ซึ่งเชื่อมต่อกับร่างกายอย่างสม่ำเสมอและหมุนด้วย (รูปที่ 57) ตำแหน่งของระนาบ II และทั้งร่างกายสัมพันธ์กับระนาบ I ในอวกาศ ถูกกำหนดโดยมุมโดยสมบูรณ์ . เมื่อวัตถุหมุนรอบแกน มุมนี้เป็นฟังก์ชันของเวลาต่อเนื่องและไม่คลุมเครือ ดังนั้นเมื่อรู้กฎการเปลี่ยนแปลงของมุมนี้เมื่อเวลาผ่านไปเราสามารถกำหนดตำแหน่งของร่างกายในอวกาศได้:

- กฎการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย. (43)

ในกรณีนี้ เราจะถือว่ามุมนั้น วัดจากระนาบคงที่ในทิศทางตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา เมื่อมองจากปลายด้านบวกของแกน . เนื่องจากตำแหน่งของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ตัวเดียว กล่าวกันว่าวัตถุดังกล่าวมีอิสระระดับหนึ่ง

ความเร็วเชิงมุม

การเปลี่ยนแปลงมุมการหมุนของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่าเชิงมุม ความเร็วของร่างกาย และถูกกำหนดไว้
(โอเมก้า):

.(44)

ความเร็วเชิงมุม ก็เหมือนกับความเร็วเชิงเส้น คือปริมาณเวกเตอร์ และเวกเตอร์นี้ สร้างขึ้นบนแกนการหมุนของร่างกาย มันถูกกำกับตามแนวแกนของการหมุนในทิศทางนั้นเพื่อที่ว่าเมื่อมองจากปลายถึงจุดเริ่มต้นเราสามารถมองเห็นการหมุนของลำตัวทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 58) โมดูลัสของเวกเตอร์นี้ถูกกำหนดโดยการพึ่งพา (44) จุดสมัคร บนแกนสามารถเลือกได้โดยพลการเนื่องจากเวกเตอร์สามารถถ่ายโอนตามแนวการกระทำได้ หากเราแทนออร์ธเวกเตอร์ของแกนหมุนด้วย จากนั้นเราจะได้นิพจน์เวกเตอร์สำหรับความเร็วเชิงมุม:

. (45)

ความเร่งเชิงมุม

เรียกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง ความเร่งเชิงมุม ร่างกายและถูกกำหนดไว้ (เอปไซลอน):

. (46)

ความเร่งเชิงมุมเป็นปริมาณเวกเตอร์ และเวกเตอร์นี้ สร้างขึ้นบนแกนการหมุนของร่างกาย มันถูกกำกับตามแนวแกนของการหมุนในทิศทางนั้นเพื่อที่ว่าเมื่อมองจากจุดสิ้นสุดไปยังจุดเริ่มต้นเราสามารถมองเห็นทิศทางการหมุนของเอปไซลอนทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 58) โมดูลัสของเวกเตอร์นี้ถูกกำหนดโดยการพึ่งพา (46) จุดสมัคร บนแกนสามารถเลือกได้โดยพลการเนื่องจากเวกเตอร์สามารถถ่ายโอนตามแนวการกระทำได้

หากเราแทนออร์ธเวกเตอร์ของแกนหมุนด้วย จากนั้นเราจะได้นิพจน์เวกเตอร์สำหรับการเร่งความเร็วเชิงมุม:

. (47)

ถ้าความเร็วเชิงมุมและความเร่งเป็นเครื่องหมายเดียวกัน ร่างกายจะหมุน เร่งรัดและถ้าแตกต่าง - ช้า. ตัวอย่างการหมุนช้าๆ จะแสดงในรูป 58.

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของการเคลื่อนที่แบบหมุน

1. การหมุนสม่ำเสมอ:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. การหมุนเท่ากัน:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

ความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์เชิงเส้นและเชิงมุม

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดใดจุดหนึ่ง
หมุนร่างกาย ในกรณีนี้ วิถีของจุดจะเป็นวงกลมที่มีรัศมี
ตั้งอยู่ในระนาบตั้งฉากกับแกนหมุน (รูปที่ 59, ก).

ให้เราสมมุติว่าในขณะนั้น จุดอยู่ในตำแหน่ง
. สมมติว่าร่างกายหมุนไปในทิศทางบวก เช่น ในทิศทางของมุมที่เพิ่มขึ้น . ในช่วงเวลาหนึ่ง
จุดนั้นจะเข้ารับตำแหน่ง
. ลองแสดงถึงส่วนโค้ง
. ดังนั้นในช่วงเวลาหนึ่ง
จุดผ่านไปแล้ว
. ความเร็วเฉลี่ยของเธอ , และเมื่อ
,
. แต่จากรูป.. 59, ขมันชัดเจนว่า
. แล้ว. ในที่สุดเราก็ได้

. (50)

ที่นี่ - ความเร็วเชิงเส้นของจุด
. ตามที่ได้รับมาก่อนหน้านี้ ความเร็วนี้จะถูกส่งตรงไปยังวิถีการเคลื่อนที่ ณ จุดที่กำหนด เช่น สัมผัสกับวงกลม

ดังนั้น โมดูลของความเร็วเชิงเส้น (เส้นรอบวง) ของจุดของวัตถุที่กำลังหมุนจะเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของความเร็วเชิงมุมและระยะห่างจากจุดนี้ถึงแกนของการหมุน

ทีนี้ลองเชื่อมต่อองค์ประกอบเชิงเส้นของการเร่งความเร็วของจุดกับพารามิเตอร์เชิงมุม

,
. (51)

โมดูลัสของการเร่งความเร็วในวงสัมผัสของจุดของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่นั้นเท่ากับผลคูณของความเร่งเชิงมุมของร่างกายและระยะห่างจากจุดนี้ถึงแกนของการหมุน

,
. (52)

โมดูลัสของการเร่งความเร็วปกติของจุดของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่นั้นเท่ากับผลคูณของกำลังสองของความเร็วเชิงมุมของวัตถุและระยะห่างจากจุดนี้ถึงแกนหมุน

จากนั้นนิพจน์สำหรับความเร่งรวมของจุดจะอยู่ในรูปแบบ

. (53)

ทิศทางเวกเตอร์ ,,แสดงในรูปที่ 59 วี.

การเคลื่อนไหวแบบเรียบของร่างกายเกร็งคือการเคลื่อนไหวโดยทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ขนานกับระนาบที่คงที่ ตัวอย่างของการเคลื่อนไหวดังกล่าว:

การเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆ ที่ฐานเลื่อนไปตามระนาบคงที่ที่กำหนด

การกลิ้งล้อไปตามทางตรงของราง (ราง)

เราได้รับสมการการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปร่างแบนที่เคลื่อนที่ในระนาบของแผ่นงาน (รูปที่ 60) ให้เราเชื่อมโยงการเคลื่อนไหวนี้กับระบบพิกัดคงที่
และด้วยตัวเลขนั้นเอง เราจึงเชื่อมต่อระบบพิกัดเคลื่อนที่
ซึ่งเคลื่อนไหวไปพร้อมกับมัน

แน่นอนว่าตำแหน่งของร่างที่เคลื่อนไหวบนระนาบที่อยู่นิ่งนั้นถูกกำหนดโดยตำแหน่งของแกนที่กำลังเคลื่อนที่
สัมพันธ์กับแกนคงที่
. ตำแหน่งนี้ถูกกำหนดโดยตำแหน่งของจุดเริ่มต้นที่กำลังเคลื่อนที่ , เช่น. พิกัด ,และมุมการหมุน ซึ่งเป็นระบบพิกัดเคลื่อนที่ที่ค่อนข้างคงที่ซึ่งเราจะนับจากแกน ในทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา

ดังนั้นการเคลื่อนที่ของรูปทรงแบนในระนาบของมันจะถูกกำหนดโดยสมบูรณ์หากค่าของ ,,, เช่น. สมการของแบบฟอร์ม:

,
,
. (54)

สมการ (54) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ระนาบของวัตถุแข็งเกร็งเนื่องจากหากทราบฟังก์ชันเหล่านี้แล้วในแต่ละช่วงเวลาก็เป็นไปได้ที่จะค้นหาจากสมการเหล่านี้ตามลำดับ ,,, เช่น. กำหนดตำแหน่งของบุคคลที่เคลื่อนไหวในช่วงเวลาที่กำหนด

พิจารณากรณีพิเศษ:

1.

จากนั้นการเคลื่อนไหวของร่างกายจะเป็นแบบแปล เนื่องจากแกนที่กำลังเคลื่อนที่เคลื่อนที่ในขณะที่ยังคงขนานกับตำแหน่งเริ่มต้น

2.

,

. ด้วยการเคลื่อนไหวนี้เฉพาะมุมการหมุนเท่านั้นที่เปลี่ยนไป , เช่น. ร่างกายจะหมุนรอบแกนที่ผ่านตั้งฉากกับระนาบการวาดผ่านจุดนั้น .

การสลายตัวของการเคลื่อนที่ของรูปทรงแบนไปสู่การแปลและการหมุน

พิจารณาสองตำแหน่งติดต่อกัน และ
ครอบครองโดยร่างกายในช่วงเวลาหนึ่ง และ
(รูปที่ 61) ร่างกายจากตำแหน่ง เพื่อวางตำแหน่ง
สามารถโอนได้ดังนี้ เรามาขยับร่างกายกันก่อน อย่างต่อเนื่อง. ในกรณีนี้คือเซ็กเมนต์
จะเคลื่อนที่ขนานกับตัวเองไปยังตำแหน่ง
และจากนั้น เลี้ยวกันเถอะลำตัวรอบจุด (เสา) ในมุมหนึ่ง
จนกว่าคะแนนจะตรงกัน และ .

เพราะฉะนั้น, การเคลื่อนที่ของระนาบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของการเคลื่อนที่เชิงแปลร่วมกับการเคลื่อนที่ของขั้วที่เลือกและการเคลื่อนที่แบบหมุน, สัมพันธ์กับเสานี้

ลองพิจารณาวิธีการที่สามารถใช้เพื่อกำหนดความเร็วของจุดต่างๆ ของร่างกายที่ทำการเคลื่อนที่ของระนาบได้

1. วิธีโพล วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับการสลายตัวของการเคลื่อนที่ของเครื่องบินไปสู่การแปลและการหมุน ความเร็วของจุดใดๆ ของรูปทรงแบนสามารถแสดงในรูปแบบของสององค์ประกอบ: การแปลด้วยความเร็วเท่ากับความเร็วของจุดที่เลือกโดยพลการ -เสา และหมุนรอบขั้วนี้

พิจารณารูปร่างแบน (รูปที่ 62) สมการการเคลื่อนที่คือ:
,
,
.

จากสมการเหล่านี้ เราจะหาความเร็วของจุดได้ (เช่นเดียวกับวิธีพิกัดที่ระบุ)

,
,
.

ดังนั้นความเร็วของจุด - ทราบปริมาณแล้ว เราถือว่าจุดนี้เป็นขั้วและกำหนดความเร็วของจุดใดก็ได้
ร่างกาย

ความเร็ว
จะประกอบด้วยองค์ประกอบการแปล เมื่อเคลื่อนไปตามจุด และการหมุน
เมื่อหมุนจุด
สัมพันธ์กับประเด็น . ความเร็วชี้ ย้ายไปยังจุด
ขนานกับตัวมันเอง เนื่องจากในระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปล ความเร็วของทุกจุดจะเท่ากันทั้งในด้านขนาดและทิศทาง ความเร็ว
จะถูกกำหนดโดยการพึ่งพาอาศัยกัน (50)
และเวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับรัศมี
ในทิศทางการหมุน
. เวกเตอร์
จะถูกกำกับตามแนวทแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ
และโมดูลของมันถูกกำหนดโดยการขึ้นต่อกัน:

, .(55)

2. ทฤษฎีบทเรื่องการคาดการณ์ความเร็วของจุดสองจุดของร่างกาย

การฉายภาพความเร็วของจุดสองจุดของวัตถุแข็งเกร็งบนเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้มีค่าเท่ากัน

พิจารณาสองจุดของร่างกาย และ (รูปที่ 63) กำลังเข้าประเด็น เลยเสาเรากำหนดทิศทาง ขึ้นอยู่กับ (55):
. เราฉายภาพเวกเตอร์เท่ากันบนเส้นตรง
และเมื่อพิจารณาถึงสิ่งนั้นแล้ว
ตั้งฉาก
, เราได้รับ

3. ศูนย์ความเร็วชั่วขณะ

ศูนย์ความเร็วชั่วขณะ(MCS) คือจุดที่ความเร็ว ณ เวลาที่กำหนดเป็นศูนย์

ให้เราแสดงให้เห็นว่าหากร่างกายไม่เคลื่อนไหวอย่างแปลตรงตัว จุดนั้นก็มีอยู่ทุกช่วงเวลาและยิ่งไปกว่านั้นคือมีความพิเศษเฉพาะตัว ให้ทันเวลา คะแนน และ ศพนอนอยู่ในส่วน ,มีความเร็ว และ ไม่ขนานกัน (รูปที่ 64) แล้วชี้.
นอนอยู่ที่จุดตัดของเส้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ และก็จะมี MCS ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.

จริงๆ แล้วถ้าเราสมมุติว่า
จากนั้นตามทฤษฎีบท (56) เวกเตอร์
จะต้องตั้งฉากในเวลาเดียวกัน
และ
ซึ่งเป็นไปไม่ได้ จากทฤษฎีบทเดียวกันก็ชัดเจนว่าไม่มีจุดส่วนอื่น ในขณะนี้ไม่สามารถมีความเร็วเท่ากับศูนย์ได้

โดยใช้วิธีโพล
- เสากำหนดความเร็วของจุด (55): เพราะว่า
,
. (57)

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้สามารถได้รับจากจุดอื่นของร่างกาย ดังนั้น ความเร็วของจุดใดๆ บนตัวเครื่องจะเท่ากับความเร็วการหมุนของมันสัมพันธ์กับ MCS:

,
,
, เช่น. ความเร็วของจุดของร่างกายเป็นสัดส่วนกับระยะทางถึง MCS

จากวิธีที่พิจารณาทั้งสามวิธีในการกำหนดความเร็วของจุดของรูปทรงแบนเป็นที่ชัดเจนว่า MCS จะดีกว่าเนื่องจากที่นี่ความเร็วจะถูกกำหนดทันทีทั้งในขนาดและในทิศทางของส่วนประกอบเดียว อย่างไรก็ตามวิธีนี้สามารถใช้ได้หากเรารู้หรือสามารถกำหนดตำแหน่งของ MCS ให้กับร่างกายได้

การกำหนดตำแหน่งของ MCS

1. ถ้าเรารู้ทิศทางของความเร็วของจุดสองจุดของร่างกายในตำแหน่งที่กำหนด MCS จะเป็นจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วเหล่านี้

2. ความเร็วของจุดสองจุดของร่างกายนั้นตรงกันข้ามกัน (รูปที่ 65, ก). ในกรณีนี้ แนวตั้งฉากกับความเร็วจะเป็นเรื่องธรรมดา เช่น MCS ตั้งอยู่ที่ไหนสักแห่งในแนวตั้งฉากนี้ ในการกำหนดตำแหน่งของ MCS จำเป็นต้องเชื่อมต่อปลายของเวกเตอร์ความเร็ว จุดตัดของเส้นนี้กับตั้งฉากจะเป็น MCS ที่ต้องการ ในกรณีนี้ MCS จะอยู่ระหว่างสองจุดนี้

3. ความเร็วของจุดสองจุดของร่างกายขนานกันแต่มีขนาดไม่เท่ากัน (รูปที่ 65, ข). ขั้นตอนการขอรับ MDS นั้นคล้ายคลึงกับที่อธิบายไว้ในวรรค 2

d) ความเร็วของจุดสองจุดเท่ากันทั้งขนาดและทิศทาง (รูปที่ 65, วี). เราได้รับกรณีของการเคลื่อนที่แบบแปลทันทีซึ่งมีความเร็วของทุกจุดของร่างกายเท่ากัน ดังนั้น ความเร็วเชิงมุมของวัตถุในตำแหน่งนี้จึงเป็นศูนย์:

4. ให้เรากำหนด MCS สำหรับการกลิ้งล้อโดยไม่เลื่อนบนพื้นผิวที่อยู่นิ่ง (รูปที่ 65, ช). เนื่องจากการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นโดยไม่มีการเลื่อน ณ จุดที่ล้อสัมผัสกับพื้นผิว ความเร็วจะเท่ากันและเท่ากับศูนย์ เนื่องจากพื้นผิวอยู่นิ่ง ดังนั้นจุดสัมผัสของล้อกับพื้นผิวที่อยู่นิ่งคือ MCS

การหาความเร่งของจุดต่างๆ ของรูประนาบ

เมื่อพิจารณาความเร่งของจุดของรูปทรงแบน มีการเปรียบเทียบกับวิธีการกำหนดความเร็ว

1. วิธีโพล เช่นเดียวกับเมื่อกำหนดความเร็ว เราใช้จุดใดก็ได้ของร่างกายเป็นจุดใดก็ได้ตามอำเภอใจซึ่งเรารู้หรือสามารถระบุความเร่งได้ แล้ว ความเร่งของจุดใดๆ ของรูปทรงแบนจะเท่ากับผลรวมของความเร่งของขั้วและความเร่งในการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบขั้วนี้:

ในกรณีนี้คือส่วนประกอบ
กำหนดความเร่งของจุด ขณะที่มันหมุนรอบเสา . เมื่อหมุนวิถีของจุดจะโค้งซึ่งหมายถึง
(รูปที่ 66)

จากนั้นการพึ่งพาอาศัยกัน (58) จะเกิดขึ้น
. (59)

โดยคำนึงถึงการพึ่งพาบัญชี (51) และ (52) ที่เราได้รับ
,
.

2. ศูนย์เร่งความเร็วทันที

ศูนย์เร่งความเร็วทันที(MCU) คือจุดที่มีความเร่ง ณ เวลาที่กำหนดเป็นศูนย์

ขอให้เราแสดงให้เห็นว่า ณ เวลาใดก็ตาม มีจุดดังกล่าวเกิดขึ้น เราเอาจุดเป็นเสา ซึ่งมีอัตราเร่ง
พวกเรารู้. การหามุม นอนอยู่ข้างใน
และเป็นไปตามเงื่อนไข
. ถ้า
, ที่
และในทางกลับกัน กล่าวคือ มุม ล่าช้าในทิศทาง . ขอเลื่อนจากจุดนะครับ ในมุมหนึ่ง เป็นเวกเตอร์
ส่วนของเส้น
(รูปที่ 67) จุดที่ได้รับจากการก่อสร้างดังกล่าว
ก็จะมี MCU

แท้จริงความเร่งของจุดนั้น
เท่ากับผลรวมของความเร่ง
เสา และความเร่ง
ในการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบเสา :
.

,
. แล้ว
. ในทางกลับกัน การเร่งความเร็ว
รูปแบบที่มีทิศทางของส่วน
มุม
ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข
. เครื่องหมายลบวางอยู่หน้าแทนเจนต์ของมุม นับตั้งแต่การหมุน
สัมพันธ์กับเสา ทวนเข็มนาฬิกาและมุม
จะถูกฝากตามเข็มนาฬิกา แล้ว
.

เพราะฉะนั้น,
แล้ว
.

กรณีพิเศษในการกำหนด MCU

1.
. แล้ว
ดังนั้นจึงไม่มี MCU ในกรณีนี้ร่างกายเคลื่อนไหวแบบแปลความหมายเช่น ความเร็วและความเร่งของทุกจุดของร่างกายเท่ากัน

2.
. แล้ว
,
. ซึ่งหมายความว่า MCU อยู่ที่จุดตัดของแนวการกระทำของการเร่งความเร็วของจุดต่างๆ ของร่างกาย (รูปที่ 68, ก).

3.
. แล้ว,
,
. ซึ่งหมายความว่า MCU อยู่ที่จุดตัดของตั้งฉากกับความเร่งของจุดต่างๆ ของร่างกาย (รูปที่ 68, ข).

4.
. แล้ว
,

. ซึ่งหมายความว่า MCU อยู่ที่จุดตัดของรังสีที่ดึงไปยังความเร่งของจุดต่างๆ ของร่างกายในมุมหนึ่ง (รูปที่ 68, วี).

จากกรณีพิเศษที่พิจารณาแล้วสรุปได้ดังนี้ ถ้าเรายอมรับประเด็นนั้น
เลยขั้วออกไป ความเร่งของจุดใดๆ ของรูปทรงแบนจะถูกกำหนดโดยความเร่งในการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบ MCU:

. (60)

การเคลื่อนไหวของจุดที่ซับซ้อนการเคลื่อนไหวที่จุดหนึ่งมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวตั้งแต่สองการเคลื่อนไหวขึ้นไปพร้อมกันเรียกว่า ด้วยการเคลื่อนไหวดังกล่าว ตำแหน่งของจุดจะถูกกำหนดสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่เคลื่อนที่และค่อนข้างคงที่

เรียกว่าการเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับหน้าต่างอ้างอิงที่กำลังเคลื่อนที่ การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุด . เราตกลงที่จะแสดงพารามิเตอร์ของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์
.

เรียกว่าการเคลื่อนที่ของจุดนั้นของระบบอ้างอิงที่กำลังเคลื่อนที่ซึ่งจุดที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่อยู่กับที่ในปัจจุบันเกิดขึ้นพร้อมกัน การเคลื่อนไหวของจุดแบบพกพา . เราตกลงที่จะแสดงพารามิเตอร์ของการเคลื่อนไหวแบบพกพา
.

เรียกว่าการเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงคงที่ สัมบูรณ์ (ซับซ้อน) การเคลื่อนไหวของจุด . เราตกลงที่จะแสดงพารามิเตอร์ของการเคลื่อนที่แบบสัมบูรณ์
.

ตัวอย่างของการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อน เราสามารถพิจารณาการเคลื่อนไหวของบุคคลในยานพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่ (รถราง) ในกรณีนี้ การเคลื่อนไหวของมนุษย์เกี่ยวข้องกับระบบพิกัดการเคลื่อนที่ - รถราง และระบบพิกัดคงที่ - ดิน (ถนน) จากนั้น ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้น การเคลื่อนที่ของบุคคลที่สัมพันธ์กับรถรางจะสัมพันธ์กัน การเคลื่อนที่ร่วมกับรถรางที่สัมพันธ์กับพื้นสามารถเคลื่อนย้ายได้ และการเคลื่อนที่ของบุคคลที่สัมพันธ์กับพื้นดินถือเป็นการเคลื่อนที่โดยสมบูรณ์

เราจะกำหนดตำแหน่งของจุด
รัศมี - เวกเตอร์สัมพันธ์กับการเคลื่อนที่
และไม่เคลื่อนไหว
ระบบพิกัด (รูปที่ 69) ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: - เวกเตอร์รัศมีที่กำหนดตำแหน่งของจุด
สัมพันธ์กับระบบพิกัดการเคลื่อนที่
,
;- เวกเตอร์รัศมีที่กำหนดตำแหน่งของจุดเริ่มต้นของระบบพิกัดเคลื่อนที่ (จุดที่ ) (จุด );- รัศมี – เวกเตอร์ที่กำหนดตำแหน่งของจุด
สัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่
;
,.

ขอให้เราได้รับเงื่อนไข (ข้อจำกัด) ที่สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวแบบสัมพัทธ์ แบบเคลื่อนที่ได้ และแบบสัมบูรณ์

1. เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ เราจะถือว่าจุดนั้น
เคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดการเคลื่อนที่
และระบบพิกัดเคลื่อนที่นั่นเอง
สัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่
ไม่ขยับ

แล้วพิกัดของจุดนั้น
จะเปลี่ยนไปตามการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ แต่ออร์ธ-เวกเตอร์ของระบบพิกัดที่กำลังเคลื่อนที่จะไม่เปลี่ยนทิศทาง:

,

,

.

2. เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่แบบพกพา เราจะถือว่าพิกัดของจุดนั้น
สัมพันธ์กับระบบพิกัดการเคลื่อนที่ได้รับการแก้ไข และจุดเคลื่อนที่ไปพร้อมกับระบบพิกัดการเคลื่อนที่
ค่อนข้างนิ่ง
:

,

,

,.

3. เมื่อมีการเคลื่อนไหวสัมบูรณ์ จุดก็จะเคลื่อนที่ค่อนข้างมากเช่นกัน
และร่วมกับระบบพิกัด
ค่อนข้างนิ่ง
:

จากนั้นนิพจน์สำหรับความเร็วโดยคำนึงถึง (27) จะมีรูปแบบ

,
,

เมื่อเปรียบเทียบการขึ้นต่อกันเหล่านี้ เราจะได้นิพจน์สำหรับความเร็วสัมบูรณ์:
. (61)

เราได้รับทฤษฎีบทเกี่ยวกับการบวกความเร็วของจุดในการเคลื่อนที่เชิงซ้อน: ความเร็วสัมบูรณ์ของจุดเท่ากับผลรวมเรขาคณิตของส่วนประกอบความเร็วสัมพัทธ์และความเร็วแบบพกพา

เมื่อใช้การพึ่งพา (31) เราจะได้นิพจน์สำหรับการเร่งความเร็ว:

,

เมื่อเปรียบเทียบการขึ้นต่อกันเหล่านี้ เราจะได้นิพจน์สำหรับการเร่งความเร็วสัมบูรณ์:
.

เราพบว่าความเร่งสัมบูรณ์ของจุดไม่เท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของส่วนประกอบความเร่งแบบสัมพันธ์และความเร่งแบบพกพา ให้เรากำหนดองค์ประกอบความเร่งสัมบูรณ์ในวงเล็บสำหรับกรณีพิเศษ

1. การเคลื่อนที่ของจุดแปลแบบพกพา
. ในกรณีนี้แกนของระบบพิกัดเคลื่อนที่
เคลื่อนที่ขนานไปกับตัวเองตลอดเวลา

,

,

,
,
,
, แล้ว
. ในที่สุดเราก็ได้

. (62)

ถ้าการเคลื่อนที่แบบพกพาของจุดเป็นแบบแปลค่า ความเร่งสัมบูรณ์ของจุดจะเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตขององค์ประกอบสัมพัทธ์และส่วนประกอบเคลื่อนที่ได้ของการเร่งความเร็ว

2. การเคลื่อนที่ของจุดแบบพกพานั้นไม่สามารถแปลได้ ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ระบบพิกัดเคลื่อนที่
หมุนรอบแกนการหมุนชั่วขณะด้วยความเร็วเชิงมุม (รูปที่ 70) ให้เราแสดงจุดที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์ ผ่าน . จากนั้น เมื่อใช้วิธีการเวกเตอร์ระบุ (15) เราจะได้เวกเตอร์ความเร็วของจุดนี้
.

อีกด้านหนึ่ง
. เมื่อปรับด้านขวามือของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์เหล่านี้ เราจะได้:
. ดำเนินการในทำนองเดียวกันสำหรับเวกเตอร์หน่วยที่เหลือเราได้รับ:
,
.

ในกรณีทั่วไป ความเร่งสัมบูรณ์ของจุดจะเท่ากับผลรวมเรขาคณิตของส่วนประกอบความเร่งสัมพัทธ์และความเร่งเคลื่อนที่ บวกกับผลคูณเวกเตอร์สองเท่าของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบพกพาและเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์

ผลคูณเวกเตอร์สองเท่าของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบพกพาและเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์เรียกว่า การเร่งความเร็วของโบลิทาร์ และถูกกำหนดไว้

. (64)

ความเร่งโบลิทาร์แสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของความเร็วสัมพัทธ์ในการเคลื่อนที่เชิงแปลและการเปลี่ยนแปลงความเร็วในการแปลในการเคลื่อนที่สัมพัทธ์

มุ่งหน้า
ตามกฎผลคูณเวกเตอร์ เวกเตอร์ความเร่งโบลิทาร์จะตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจากเวกเตอร์เสมอ และ ในลักษณะที่มองจากปลายเวกเตอร์
ให้ดูทางเลี้ยว ถึง ผ่านมุมที่เล็กที่สุดทวนเข็มนาฬิกา

โมดูลัสความเร่งโบลิทาร์เท่ากับ

ร่างกายแข็งทื่ออย่างแน่นอน -ร่างกาย ตำแหน่งสัมพัทธ์ของส่วนต่างๆ จะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเคลื่อนไหว

การเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุแข็งเกร็ง - นี่คือการเคลื่อนไหวโดยที่เส้นตรงใดๆ ที่เชื่อมต่ออย่างเหนียวแน่นกับลำตัวเคลื่อนที่โดยยังคงขนานกับทิศทางเดิม

ในระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุแข็งเกร็ง จุดทุกจุดจะเคลื่อนที่เท่ากันในช่วงเวลาสั้นๆ dt เวกเตอร์รัศมีของจุดเหล่านี้จะเปลี่ยนไปด้วยจำนวนที่เท่ากัน ดังนั้น ในแต่ละช่วงเวลา ความเร็วของจุดทั้งหมดจะเท่ากันและเท่ากัน ดังนั้นจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบแปลนที่พิจารณาแล้วของวัตถุแข็งเกร็งจึงขึ้นอยู่กับการศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดใด ๆ ของมัน โดยปกติแล้วเราจะพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งที่เคลื่อนที่อย่างอิสระในอวกาศ

การเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายแข็งเกร็ง - นี่คือการเคลื่อนไหวที่จุดทั้งหมดเคลื่อนที่เป็นวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่นอกร่างกาย . เส้นตรงเรียกว่าแกนหมุนของร่างกาย

ความเร็วเชิงมุม– ปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะความเร็วของการหมุนของวัตถุ อัตราส่วนของมุมการหมุนต่อเวลาที่การหมุนนี้เกิดขึ้น เวกเตอร์ที่กำหนดโดยอนุพันธ์อันดับหนึ่งของมุมการหมุนของวัตถุเทียบกับเวลา เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมถูกกำหนดทิศทางไปตามแกนการหมุนตามกฎของสกรูด้านขวา ω=φ/t=2π/T=2πn โดยที่ T คือคาบการหมุน n คือความถี่การหมุน ω=ลิม Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt

ความเร่งเชิงมุม– เวกเตอร์ที่กำหนดโดยอนุพันธ์อันดับหนึ่งของความเร็วเชิงมุมเทียบกับเวลา เมื่อวัตถุหมุนรอบแกนคงที่ เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมจะพุ่งไปตามแกนการหมุนไปทางเวกเตอร์ของการเพิ่มขึ้นเบื้องต้นของความเร็วเชิงมุม อนุพันธ์อันดับสองของมุมการหมุนเทียบกับเวลา เมื่อวัตถุหมุนรอบแกนคงที่ เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมจะพุ่งไปตามแกนการหมุนไปทางเวกเตอร์ของการเพิ่มขึ้นเบื้องต้นของความเร็วเชิงมุม เมื่อการเคลื่อนที่ถูกเร่ง เวกเตอร์ ε จะเป็นโคทิศทางกับเวกเตอร์ φ และเมื่อมันเคลื่อนที่ช้า มันจะอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์นั้น ε=dω/dt.

ถ้า dω/dt> 0 แล้ว εω

ถ้า dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. หลักการของความเฉื่อย (กฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน) ระบบอ้างอิงเฉื่อย หลักสัมพัทธภาพ

กฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน (กฎความเฉื่อย): ทุกจุดวัตถุ (วัตถุ) จะรักษาสภาวะการนิ่งหรือการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอจนกว่าอิทธิพลของวัตถุอื่นจะบังคับให้มันเปลี่ยนสถานะนี้

ความปรารถนาของร่างกายที่จะรักษาสภาวะการพักผ่อนหรือการเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงสม่ำเสมอนั้นเรียกว่า ความเฉื่อย. ดังนั้นกฎข้อแรกของนิวตันจึงเรียกว่ากฎความเฉื่อย

กฎข้อแรกของนิวตันระบุว่ามีกรอบอ้างอิงเฉื่อยอยู่

กรอบอ้างอิงเฉื่อย– นี่คือระบบอ้างอิงที่สัมพันธ์กับจุดวัสดุอิสระซึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากวัตถุอื่น เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอเป็นเส้นตรง นี่คือระบบที่อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงโดยสัมพันธ์กับระบบเฉื่อยอื่นๆ

หลักสัมพัทธภาพ- กฎฟิสิกส์พื้นฐาน ซึ่งกระบวนการใดๆ ดำเนินไปในลักษณะเดียวกันในระบบวัสดุแยกเดี่ยวที่อยู่นิ่ง และในระบบเดียวกันในสภาวะการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ สถานะของการเคลื่อนที่หรือการหยุดนิ่งถูกกำหนดโดยคำนึงถึงกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่เลือกโดยพลการ หลักการสัมพัทธภาพเป็นรากฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์

5. การเปลี่ยนแปลงแบบกาลิลี

หลักสัมพัทธภาพ (กาลิลี): ไม่มีการทดลอง (ทางกล ไฟฟ้า ทางแสง) ภายในระบบอ้างอิงเฉื่อยที่กำหนด ทำให้สามารถตรวจจับได้ว่าระบบนี้อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง กฎแห่งธรรมชาติทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลงในส่วนที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงหนึ่ง

ลองพิจารณาระบบอ้างอิงสองระบบ: กรอบเฉื่อย K (ที่มีพิกัด x, y, z) ซึ่งตามอัตภาพเราจะพิจารณาให้นิ่ง และระบบ K' (ที่มีพิกัด x', y', z') ซึ่งเคลื่อนที่สัมพันธ์กับ K อย่างสม่ำเสมอ และตั้งฉากด้วยความเร็ว U ( U = const) เรามาค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างพิกัดของจุด A โดยพลการในทั้งสองระบบกัน r = r'+r0=r'+Ut (1.)

สมการ (1.) สามารถเขียนเป็นเส้นโครงบนแกนพิกัดได้:

y=y'+Uyt; (2.)

z=z’+อุซต์; สมการ (1.) และ (2.) เรียกว่าการแปลงพิกัดแบบกาลิเลียน

ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานศักย์และแรง

ในด้านหนึ่งแต่ละจุดของสนามศักย์นั้นสอดคล้องกับค่าหนึ่งของเวกเตอร์แรงที่กระทำต่อร่างกาย และในทางกลับกันกับค่าหนึ่งของพลังงานศักย์ ดังนั้นจึงต้องมีความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างแรงกับพลังงานศักย์

เพื่อสร้างการเชื่อมต่อนี้ ให้เราคำนวณงานเบื้องต้นที่ดำเนินการโดยกองกำลังสนามในระหว่างการกระจัดเล็กน้อยของร่างกายที่เกิดขึ้นตามทิศทางที่เลือกโดยพลการในอวกาศ ซึ่งเราแสดงด้วยตัวอักษร . งานนี้เท่าเทียมกับ

การฉายแรงไปที่ทิศทางอยู่ที่ไหน

เนื่องจากในกรณีนี้ งานเสร็จสิ้นเนื่องจากการสำรองพลังงานศักย์ จึงเท่ากับการสูญเสียพลังงานศักย์บนส่วนของแกน:

จากสองสำนวนสุดท้ายที่เราได้รับ

สูตรนี้กำหนดเส้นโครงของเวกเตอร์แรงบนแกนพิกัด หากทราบเส้นโครงเหล่านี้ จะมีการกำหนดเวกเตอร์แรงเอง:

ในเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ ,

โดยที่ a คือฟังก์ชันสเกลาร์ของ x, y, z เรียกว่าเกรเดียนต์ของสเกลาร์นี้และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ . ดังนั้นแรงจึงเท่ากับการไล่ระดับพลังงานศักย์ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

นี่คือการเคลื่อนไหวที่ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่เป็นวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนการหมุน

ตำแหน่งของร่างกายถูกกำหนดโดยมุมไดฮีดรัล (มุมการหมุน)

 =  (t) - สมการการเคลื่อนที่

ลักษณะทางจลนศาสตร์ของร่างกาย:

- ความเร็วเชิงมุม s -1;

- ความเร่งเชิงมุม, s -2

ปริมาณ  และ  สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้
ซึ่งอยู่บนแกนหมุนซึ่งเป็นทิศทางของเวกเตอร์ จนเมื่อมองจากปลายสุดจะเห็นการหมุนของลำตัวในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ทิศทาง เกิดขึ้นพร้อมกับ , ถ้า >โอ้

ป ตำแหน่งจุดของร่างกาย: M 0 M 1 = S = h

ความเร็วคะแนน
; สิ่งนั้น
.

ที่ไหน
;
;
.

การเร่งความเร็วจุดของร่างกาย
- ความเร่งในการหมุน (ในจลนศาสตร์ของจุด - แทนเจนต์ - ):
- การเร่งความเร็วแบบจุดต่อจุด (ในจลนศาสตร์ของจุด - ปกติ - ).

โมดูล:
;
;

.

การหมุนสม่ำเสมอและสม่ำเสมอ

1. ชุดเครื่องแบบ:  = const,
;
;
- สมการของการเคลื่อนที่

2. ตัวแปรเท่ากัน:  = const,
;
;
;
;
- สมการของการเคลื่อนที่

2). ระบบขับเคลื่อนเชิงกลประกอบด้วยรอก 1 สายพาน 2 และล้อขั้นที่ 3 และ 4 ค้นหาความเร็วของแร็ค 5 ตลอดจนความเร่งของจุด M ที่เวลา t 1 = 1 วินาที หากความเร็วเชิงมุมของรอกคือ  1 = 0.2t, s -1; ร 1 = 15; ร 3 = 40; ร 3 = 5; R4 = 20; r 4 = 8 (เป็นเซนติเมตร)

ความเร็วแร็ค

;

;
;
.

ที่ไหน
;
;
, ส -1 .

จาก (1) และ (2) เราได้รับดู

ความเร่งของจุด M

, s -2 ที่ เสื้อ 1 = 1 วินาที; a = 34.84 ซม./วินาที 2

3.3 การเคลื่อนที่ระนาบขนาน (ระนาบ) ของวัตถุแข็งเกร็ง

อี การเคลื่อนไหวนั้นซึ่งทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ในระนาบขนานกับระนาบที่คงที่

ทุกจุดของร่างกายบนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบคงที่จะเคลื่อนที่เท่ากัน ดังนั้น การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุในระนาบจึงลดลงเหลือเพียงการศึกษาการเคลื่อนที่ของรูปทรงเครื่องบิน (ส่วน S) ในระนาบของมัน (xy)

การเคลื่อนไหวนี้สามารถแสดงเป็นชุดของการเคลื่อนไหวเชิงแปลร่วมกับบางส่วนได้ โดยพลการเลือกจุด a เรียกว่า เสาและการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบเสา

สมการการเคลื่อนที่รูปร่างแบน

x ก = x ก (t); ใช่ = ใช่; เจ = เจ(เสื้อ)

ลักษณะทางจลนศาสตร์ ki ของร่างแบน:

- ความเร็วและความเร่งของเสา w, e - ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม (ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกขั้ว)

ยู การจัดตำแหน่งการเคลื่อนไหวของจุดใด ๆรูประนาบ (B) สามารถหาได้โดยการฉายภาพความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์
บนแกน x และ y

x 1 B , y 1 B - พิกัดของจุดในระบบพิกัดที่เกี่ยวข้องกับรูป

การกำหนดความเร็วของจุด

1). วิธีการวิเคราะห์.

รู้สมการการเคลื่อนที่ xn = xn (t); y n = y n (t) เราพบ
;
;
.

2). ทฤษฎีบทการกระจายความเร็ว

ดี สร้างความเท่าเทียมที่แตกต่าง
, เราได้รับ
,

- ความเร็วของจุด B เมื่อหมุนร่างแบนรอบขั้ว A
;

สูตรการกระจายความเร็วของจุดต่างๆ บนระนาบ
.

กับ ความเร็วจุด M ของล้อที่หมุนโดยไม่ลื่นไถล

;
.

3). ทฤษฎีบทการฉายภาพความเร็ว

การฉายภาพความเร็วของจุดสองจุดของร่างกายบนแกนที่ผ่านจุดเหล่านี้มีค่าเท่ากัน การออกแบบความเท่าเทียมกัน
บนแกน x เราก็ได้

ป ตัวอย่าง

จงหาความเร็วของน้ำที่ไหล v N ไปที่หางเสือเรือ หากทราบ (จุดศูนย์ถ่วงของเรือ) b และ b K (มุมดริฟท์)

สารละลาย: .

4). ศูนย์ความเร็วชั่วขณะ (IVC)

ความเร็วของจุดระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถกำหนดได้จากสูตรการเคลื่อนที่แบบหมุนโดยใช้แนวคิดของ MCS

MCS คือจุดที่เกี่ยวข้องกับรูปแบน โดยมีความเร็ว ณ เวลาที่กำหนดเป็นศูนย์ (v p = 0)

ในกรณีทั่วไป MCS คือจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากกับทิศทางความเร็วของจุดสองจุดของรูป

เมื่อเอาจุด P เป็นขั้ว เราก็จะได้จุดที่ต้องการ

, แล้ว

ที่ไหน
- ความเร็วเชิงมุมของรูปและ
,เหล่านั้น. ความเร็วของจุดต่างๆ ของรูปทรงแบนนั้นแปรผันตามระยะห่างของจุดเหล่านั้นกับ MCS

กรณีที่เป็นไปได้ในการค้นหา MCS
			กลิ้งได้ไม่ลื่น
		MCS - ที่อนันต์

กรณี b สอดคล้องกับการกระจายความเร็วการแปลทันที

1). สำหรับตำแหน่งที่กำหนดของกลไก ให้หา v B, v C, v D, w 1, w 2, w 3 ถ้าในขณะนั้น v A = 20 cm/s; BC = ซีดี = 40 ซม.; โอซี = 25 ซม. ร = 20 ซม.

คำตอบของ MCS ของลูกกลิ้ง 1 - จุด P 1:

ส -1 ;
ซม./วินาที

MCS ของลิงค์ 2 - จุด P 2 ของจุดตัดของตั้งฉากกับทิศทางความเร็วของจุด B และ C:

ส -1 ;
ซม./วินาที;
ซม./วินาที;
ส -1 .

2). โหลด Q ถูกยกขึ้นโดยใช้ดรัมแบบก้าว 1 ซึ่งมีความเร็วเชิงมุมคือ w 1 = 1 s -1 ; R 1 = 3r 1 = 15 ซม. เอ || บี.ดี. จงหาความเร็ว v C ของแกนของบล็อกที่กำลังเคลื่อนที่ 2

ค้นหาความเร็วของจุด A และ B:

โวลต์ A = โวลต์ E = วัตต์ 1* R 1 = 15 ซม./วินาที; v B = v D = ก 1* r 1 = 5 ซม./วินาที

MCS ของบล็อก 2 - จุด P จากนั้น
, ที่ไหน
;
;
ซม./วินาที